教會學生類比 提高數學能力

錢晨

[摘 ?要] 利用類比可以引導學生更好地理解數學，培養學生的自主學習能力與創新意識，幫助學生構建完整的數學知識體系，提高數學能力. 研究者結合教學實踐，提出“教會學生類比，提高數學能力”的策略，即類比概念形式，理解異同;類比學習方法，指導學法;類比解題方法，激活思維.

[關鍵詞] 類比;概念;學法;解題

類比是指依據兩個對象之間存在著某些相同或相似的屬性，推出其存在其他相同或相似屬性的一種思維方法.教育家波利亞說過，類比是一個偉大的領路人. 可見，類比對發展學生思維水平的重要性. 在高中數學教學中，利用類比可以引導學生更好地理解數學，培養學生的自主學習能力與創新意識，幫助學生構建完整的數學知識體系，提高數學能力.

[?]類比概念形式，理解異同

數學概念是構建數學大廈的“基本單位”. 在數學教學中，概念教學是至關重要的一個環節，尤其是對概念本質及概念引發的相關性質的理解. 概念定義形式類比教學是一種值得推崇的有效途徑和方法. 在數學學習中，學生學習大量的數學概念，如果只是孤立地去理解或記憶，則會讓學習成為一個沉重的負擔，且學習效果不佳，而引導學生用聯系的觀點和類比的思維去審視概念，學生的思維就會變得流暢，會加深對概念的理解.

例如等差數列與等比數列，兩個數列的概念雖有差別，但它們也有驚人相似的一幕. 通過概念定義的類比，由等差數列的“等差”與“公差”，可類比出等比數列的“等比”與“公比”;由等差數列與一次函數的關系，可類比出等比數列與指數函數的關系;由等差數列的等差中項，可類比出等比數列中的等比中項;由等差數列中“若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），則a+a=a+a”，可類比出等比數列中“若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），則apaq=aman”，等等. 在數學概念教學中，教師引導學生抓住概念間的相似之處進行類比，有利于學生抓住概念的本質，更加輕松地理解概念并解決相關問題.

例1 若數列{a}的每一項都是正數，且為等比數列，則b=（n∈N*）是等比數列通項. 如果數列{a}是等差數列，那么可以類比得出關于等差數列的一個性質是（ ?）

A. b=是等差數列通項

B. b=是等差數列通項

C. b=是等差數列通項

D. b=是等差數列通項

在等比數列中，許多性質是通過乘除運算和乘方開方運算得到的，而在等差數列中，自然可以想到加減運算和數乘運算. 本題中的等比數列用到了乘法運算和開方運算，因此類比等比數列，將乘法運算類比成加法運算，將開方運算類比成除法運算. 所以，若{a}是等差數列，則b=是等差數列通項.

證明：設等差數列{a}的公差為d，則b-b=-==.

因為{a}為等差數列，所以a-a=（n+1-i）d，i=1，2，…，n.

所以b-b====.

所以{b}是公差為的等差數列.

[?]類比學習方法，指導學法

著名的學習理論家奧蘇貝爾說過，要進行有意義的學習必須知道學生已經知道了什么. 學習橢圓后，學生已經知道了橢圓的產生過程，即動點到定點的距離之和為定值（

F=2c，a>c），也知道了橢圓的有關性質，因此教學雙曲線時，教師就可以利用類比思想，借助橢圓的學習過程幫助學生學習雙曲線，具體步驟見圖1.

授人以魚，不如授人以漁. 在數學學習中，由一個數學知識點的學習方法類比另一個數學知識點的學習方法，在減輕教師教學負擔的同時，還能提高學生的學習效率. 例如，從命題“以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與拋物線的準線相切”出發，可以類比得出下面兩個命題：（1）在橢圓中，以任意一條焦半徑為直徑的圓一定與以長軸為直徑的圓內切;（2）在雙曲線中，以任意一條焦半徑為直徑的圓一定與以實軸為直徑的圓相切.

例2 對圓O：x2+y2=r2，由直徑上的圓周角是直角出發，可得：若AB是圓O的直徑，M是圓O上一點（異于A，B），則k·k=-1.那么對橢圓+=1和雙曲線-=1，是否有類似的結論？

在教師的引導下，學生合作探究，通過類比發現：k·k=-和k·k=分別為橢圓、雙曲線的結論，這與圓的結論非常相似. 于是教師趁熱打鐵，進一步指出：（1）與圓類似，以圓錐曲線上任意兩點為端點的線段稱為圓錐曲線的弦，橢圓與雙曲線是有心曲線，過它們中心的弦也可稱為它們的直徑;（2）拋物線沒有中心，所以它沒有與圓類似的結論.不難發現，通過這個問題的類比探究，學生對圓錐曲線的特征有了一個整體認識.

[?]類比解題方法，激活思維

類比是科學發現的一條途徑，也是數學解題的一種方法. 解題教學，是數學教學的主旋律之一. 教會學生利用類比思想探究有關數學問題，教師責無旁貸. 數學解題中的類比主要有三種：橫向類比、縱向類比和聯想特征類比. 在解題教學中，引入相關問題，利用類比思想加以分析，可以激活學生的思維，培養學生的創造力.

例3 已知結論：在△ABC中，各邊和它所對角的正弦比相等，即==. 若把該結論推廣到空間，則結論為：在三棱錐A-BCD中，側棱AB與平面ACD，平面BCD所成的角為α，β，則有（ ? ）

A. =

B. =

C. =

D. =

本題屬于維度推廣題，將平面中的線段夾角推廣成空間中的線面角，因此，可以把正弦定理中的邊長類比推廣成面積，即將一維推廣為二維，而正弦定理中的角所對的邊長，在三棱錐中就可以推廣成線面角所對的側面面積，即α所對的側面為平面BCD，β所對的側面為平面ACD，所以猜測=. 為證明其正確性，分別過B，A作平面ACD，平面BCD的垂線，垂足分別為E，F. 由線面角的定義可知∠BAE=α，∠ABF=β，所以V=·S·BE=·S·AB·sinα;同理，V=·S·AF=·S·AB·sinβ. 所以·S·AB·sinα=·S·AB·sinβ?S·sinα=S·sinβ，所以=.

基于數學學科的特點，數學思維的呈現往往不明顯，具有一定的隱蔽性，學生很難從教材中直接獲取，這時需要教師在教學中有意識、有目的地將思維方法滲透其中.通過數學思維的多角度類比，積極為學生創設類比情境，并加以深化引導，如此，學生的數學思維能力和數學素養自然會相應得以提高.

本文最后值得一說的是，類比推理有時是一把“雙刃劍”，應用類比推理應當注意：類比不具有隨意性，只有在本質上相同或相似的兩類問題才能相類比. 如果只注重形式而不關注內容進行類比，則會造成知識“錯位”，對學生的數學思維的培養反而起到副作用. 此外，類比不能僅僅停留在敘述方式或數學結構等外層表象上，還應對類比所得的數學結論加以科學分析和詳盡推理，引導學生從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內在關聯，這樣的類比，才是幫助學生提高數學能力的好助手.