串聯新舊知識，激發復習課的生長點

梁希

［摘? 要］ 復習課是鞏固所學知識，提升知識應用技能的重要環節. 在教學中要通過串聯新舊知識，建構知識體系，提升復習課的效率，觸發復習課新的生長點.

［關鍵詞］ 新舊知識；復習課；知識體系

復習課是教學中的重要環節，對于學生鞏固復習舊知，構建知識體系，深化對知識的認識起著關鍵性的作用. 然而復習課卻常常陷入“炒冷飯”的誤區，課堂沉悶枯燥. 教師將學生已學知識進行簡單的羅列，或者將復習課變成習題講解課，影響了復習課的效率，達不到真正的復習效果，反而浪費了課堂的教學時間. 筆者在教學中進行了一些嘗試，通過教學設計的試講、修改，不斷提升復習課的效果，落實培養學生核心素養的目標，現將修改教學設計的過程進行呈現，與各位同行進行交流探討.

教學設計初稿

（一）試題練習復習一元二次方程根與系數的關系；

（二）求解對稱式與非對稱式的值，體會數學化歸思想；

（三）判別含參數的一元二次方程的實數根；

（四）求解一元二次方程整數根的問題；

（五）課堂小結提升.

設計意圖 以習題的方式進行一元二次方程知識點的復習，通過不同板塊的設計，以問題引導學生進行探究，培養學生自主學習的能力，滲透數學思想和數學方法，提升學生運用知識的技能，為二次函數的學習打下良好的基礎.

試講之后的改進方案

（一）計算題化繁為簡

選取典型試題引導學生進行討論：

案例1 已知方程x2+3x-99=0有兩個實數根α和β，并且α<β，請計算下列各式的值：（1）α+β；（2）α-β；（3）+；（4）α2+2α-β.

師：同學們還記得學習一元二次方程時計算過方程的根，如果已知方程x2+3x-1=0的兩個實數根是α和β，那么α與β的和是多少？說一說理由.

生1：α與β的和等于-，也就等于-3.

師：那么α與β的積呢？

生2：α與β的積等于等于-1.

師：請計算+的值.

生3：+等于α與β的和與α與β的積的比值，因此等于3.

師：很好，這個是對稱式，可以先進行通分，再利用根與系數的關系進行計算.因此我們可以進行公式的提煉，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實數根是α與β，可以得到+=-，那么同學們知道α-β的值是多少嗎？

生3：因為（α-β）2=（α+β）2-4αβ=13，所以α-β的值為.

師：你是怎么想到要這樣計算的呢？

生3：因為我們知道了α與β的和與α與β的積，我就想到了學過的兩個數的差的平方與兩個數的和的平方之間的關系.

師：學會了聯想，非常好！雖然α-β也是一個對稱式，但是無法直接求解，需要對它進行變形，變成α與β的差的平方，因此我們可以繼續推廣到一般的情形：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實數根是α與β，那么α-β的值等于（Δ≥0）.

那么我們還有其他方法求α-β的值嗎？

生4：可以利用求根公式進行求解，當Δ≥0時，x=，所以α-β等于

-=

=.

師：非常精彩！這個結論我們在今后的學習中將會經常用到，請同學們要加深印象.

下面我們再來想一個問題，剛才我們解決的都是對稱式的結構，那么如果是非對稱式α2+2α-β的值是多少呢？

生5：因為α是方程的實數根，所以α2+3α-1=0，經過求解可以得到α2+2α=1-α，代入原式可以得到1-α-β=1-（α+β）=1-（-3）=4.

生6：利用根的定義可知，因為α是方程的實數根，所以α2+3α-1=0，化簡可以得到α2=1-3α，代入原式可以得到結果為4.

師：兩位同學的解答都非常精彩，在解題的過程中體現了等量轉換和化歸的思想.

改進后的教學設計，通過“問題串”的設計，引導學生一步步深入探究一元二次方程的解答過程，讓學生在解題的過程中逐漸理解了問題的本質. 同時，通過解題引導學生進行觀察和總結，讓學生理解結論的由來，減少了熱身的題目數量，真正體現了減負增效，并且滲透了數學思想和數學方法的學習.

（二）前后聯系，引導深入探究

復習課不是新課的重新講授，也不能變成簡單的習題課，復習課是引導學生進行深入探究，去發現和解決問題，提升對問題的認識.

師：已知一元二次方程x2+2（m+1）x+m2+2=0的兩個根x和x，求x+x的最值.

生8：要計算x+x的最值，可以先對x+x進行化簡整理.根據已知條件可得x+x=-2（m+1），xx=m2+2，因此代入x+x，可以得到x+x的值為2m2+8m.

師：好的，那么接下來應該怎樣繼續計算才能求出最值呢？

生9：可以進行配方求解. 原式=2（m2+4m）=2（m2+4m+4-4）=2（m+2）2-8，因為（m+2）2≥0，所以當m=-2時，2（m+2）2-8的最小值是-8.

師：同學們覺得這個答案有問題嗎？

生11：這個答案有問題，這個一元二次方程有實數根的前提是Δ≥0，但是剛才的答案沒有考慮Δ.

師：觀察得很仔細，在Δ≥0的前提下，這個方程才有實數根，所以上面的結論還正確嗎？

生11：不正確，因為Δ≥0，可以得到m≥，所以m=-2與題意不符.

師：那么我們該怎樣求x+x的最值呢？

（學生紛紛陷入思考，覺得很有難度）

師：那我們一起來看一下函數y=2（m+2）2-8，說一說它的性質是什么？

生12：它的圖像是一條開口向上的拋物線，它的對稱軸是直線x=-2，頂點坐標是（-2，-8）. 在對稱軸的左側和右側，y分別隨x的增大而減小和隨x的增大而增大. 因此當x=-2時，y的最小值是-8（如圖1）.

師：我們觀察圖像可以發現，當m≥時，它的圖像只是其中的一段曲線，不是一條完整的拋物線，那么，你發現了什么呢？

生13：在這段曲線的右側，y隨x的增大而增大，所以在這條曲線上我們可以發現最低點，因此當m=時，x+x的最小值是.

經過改進后的教學設計使學生在教師的引導下開展探究活動，問題更具開放性，學生的主體地位得到尊重，自主學習能力得到提升，從一元二次方程的學習過渡到二次函數的學習，新舊知識產生聯系，銜接自然，加深了學生對知識的理解，將方程和函數知識進行了串聯，構建起新的知識體系.

教學反思

教師在課堂中的主導地位主要體現在能夠給學生創設一個主動探究、理解數學的環境，充分調動學生的學習積極性，在復習課中發現新的學習增長點.

復習課不是簡單的知識重復，最忌諱無意義的重復，消耗學生的學習熱情，那么如何才能讓復習課上出新意，讓復習課觸發學生新的增長點呢？筆者認為：

首先，教師要鉆研教材，明確教學目標. 部分教師常常忽略教學目標的確定，使得很多復習課非常隨意，以至于浪費時間. 有的教師把復習的知識挨個重復，有的教師準備了一系列習題，學生做到哪里算哪里，這都偏離了復習課的目的. 教師在準備復習課時，同樣要準備好復習課的教學目標，從哪些知識點展開，通過哪些活動培養學生的學習能力，知識之間進行怎樣的聯系等，只有精心準備才能提高學生的復習效率.

其次，數學復習課需要教師設計教學活動，教學活動是達成教學目標的重要抓手和載體. 在數學活動中激發學生的學習興趣，這是復習課是否達到效果的關鍵之一. 教師可以巧妙地設計問題，通過問題引領將新舊知識進行串聯，將復習課進行拓展和延伸，觸發學生新的增長點，發揮復習課最大的效果. 復習課上也可以通過創設情境，從學生熟悉的知識進行導入，讓學生能夠快速地進入復習的狀態，并自覺進行新舊知識的串聯. 此外還可以設計探究活動，讓學生在探究中體會數學思想和數學方法. 總之，豐富多樣的活動可以有效提高課堂效率.

最后，數學復習課需要進行典型題的訓練和評析，試題練習是復習課中不可回避的重要環節，但是在試題選擇上，要注重典型性和引導性，從典型試題中復習知識，發現學生知識的漏洞，培養學生應用知識的能力. 試題的訓練并不是最終的目的，教師讓學生在習題練習中學會自主分析和解決問題，提高解題能力才是復習的目標. 因此在習題練習之后教師的評析就顯得尤為重要，根據學生的困惑和錯誤，教師要進行有重點的分析和總結，從試題中引導學生進行歸納，總結數學的解題思路，發現數學的規律，真正理解數學的本質.

綜上所述，數學復習課是提升學生對知識的認知能力，鞏固內化所學，感悟數學思想的關鍵環節. 在教學中教師要鉆研教學目標，了解學情，在學生已有知識的基礎上彌補缺漏，并引導學生進行總結和探究，建構起知識體系和數學模型，不斷增強學生對數學的興趣，提升綜合素養.