巧用數學建模滲透思想方法

張海文

［摘 要］ 為了巧用數學建模，滲透思想方法，培養學生的模型意識，教師可借助加法故事、減法故事、乘法故事引導學生學習數與代數的知識，幫助他們建立加法、減法、乘法模型。這樣，為學生跨學科學習和再創造提供活動經驗與解決問題的思路，讓他們學會運用數學知識解決生活實際問題，提高學生解決問題的能力。

［關鍵詞］數學建模；思想方法；模型意識；數與代數；人教版

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）33-0007-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版新課標”）中指出：“模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋。模型意識有助于開展跨學科主題學習，增強對數學的應用意識，是形成模型觀念的經驗基礎。”從廣義的角度來講，數學的概念、定律、法則、公式、數量關系、統計圖表等屬于數學模型。

同時，2022版新課標對模型意識在小學數學教學中的落實提出兩個要求：一是滲透模型思想，二是教會學生如何建立數學模型。數學建模對學生來說是一個具有挑戰性的任務，需要經過以下幾個步驟：第一，明確要解決的問題是什么，這個問題是什么模型系統；第二，把復雜的情境和數字化繁為簡，從較多信息中篩選出有用的信息，并確定有用的數據；第三，根據實際問題建立數量關系式或圖形模型；第四，通過模型解決實際問題，并拓展模型的應用價值。經歷數學建模的過程，是讓學生像數學家那樣經歷探索和再創造的過程。雖然在這個過程中，學生會不斷遇到挫折和困難，但這有利于他們朝著解決問題的正確方向不斷前進。那么，作為數學教師，我們應當怎樣在數學課堂上引導學生有效建立數學模型，并讓學生運用數學模型解決生活中的實際問題呢？

一、借助加法故事，建立加法模型

學生學習加法運算時需要掌握三種語言之間的轉化：先呈現圓片等模型，再借助文字呈現問題，最后用算式表示模型的計算方法。如教學加法運算4+3=7時，教師出示4個圓片和3個圓片，讓學生結合模型來講一講4+3=7的加法故事以及用圓片說明等式的含義。

在小學數學學習階段，加法運算包括四種不同的模型：一是“添加型”，即知道起始量和改變量，計算結果量的問題；二是“拿走型”，即知道改變量和結果量，計算起始量的問題；三是“組合型”，即知道部分量和另一個部分量，計算整體量的問題；四是“比較型”，即知道小的集合和差異量，計算大的集合的問題。

例如，教學人教版數學教材二年級上冊《100以內的加法和減法（三）》一課后，教師在教材情境的基礎上增加了其他加法運算模型，讓學生對加法運算模型有更加全面、深刻的理解。

活動1：學習“添加型”加法運算模型

出示題目：公共汽車上原來有5人，到站后又上來3人，現在一共有多少人？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計算現在一共有多少人。

生1：5+3=8（人）。

師：為什么用加法計算？

生2：因為“公共汽車上原來有5人，到站后又上來3人”，這時候公共汽車上的人變多了，所以要用加法計算。

師：用1個圓片表示1人，原來有5個圓片，后來增加了3個圓片，我們一起來數一數現在有多少個圓片。

……

活動2：學習“拿走型”加法運算模型

出示題目：鉛筆盒里有一些鉛筆，明明拿走4支鉛筆后，還剩2支鉛筆，鉛筆盒里原來有多少支鉛筆？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計算鉛筆盒里原來有多少支鉛筆。

生3：4-2=2（支）。

生4：4+2=6（支）。

師：要計算鉛筆盒里原來有多少支鉛筆，到底用加法還是減法呢？誰能說明理由？

生5：（邊說邊操作）我認為這道題目要用加法計算。看，這是明明拿走的4支鉛筆，這是剩下的2支鉛筆，計算原來鉛筆的支數，就是把拿走的和剩下的合起來。

……

活動3：學習“組合型”加法運算模型

出示題目：媽媽買了3個蘋果和4個梨，一共有多少個水果？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計算一共有多少個水果。

生6：3+4=7（個）。

師：為什么用加法計算？

生7：因為蘋果和梨都屬于水果，要算一共有多少個水果，就要把3個蘋果和4個梨合起來，所以要用加法來計算。

……

活動4：學習“比較型”加法運算模型

出示題目：迪迪有7元，佳佳比迪迪多1元，佳佳有多少元？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計算佳佳有多少元。

生8：題目告訴我們“迪迪有7元，佳佳比迪迪多1元”，由此知道佳佳多、迪迪少，而要算佳佳有多少元，就是算多的，所以用加法計算。

師：（邊講邊畫線段圖）如果我們用這樣一條線段表示迪迪的7元，那么表示佳佳的線段就要畫得長一些，這是多出來的1元……

上述教學，教師將生活中的情景轉化為數學問題，通過圓片、鉛筆、線段圖等模型幫助學生理解題意，最終抽象出用算式和符號表示結果。同時，教師借助問題串聯起加法運算中的四個模型，有利于學生對加法運算的解決問題形成網狀結構，結構化地學習數學知識。

二、借助減法故事，建立減法模型

減法運算模型和加法運算模型一樣，也有四種基本運算模型：一是“添加型”，即知道結果量和起始量，計算改變量的問題，或知道結果量和改變量，計算起始量的問題；二是“拿走型”，即知道起始量和結果量，計算改變量的問題，或知道起始量和改變量，計算結果量的問題；三是“組合型”，即知道整體量和部分量，計算部分量的問題；四是“比較型”，即知道大的集合和小的集合，計算差異量的問題，或知道大的集合和差異量，計算小的集合的問題。運用哪個模型，主要看哪個量是由未知量來決定的。

例如，教學人教版數學教材二年級下冊《兩、三位數的加法和減法》后，教師設計了一節有關減法運算模型的數學課，讓學生對減法運算的四種模型有更加系統、全面的理解。

活動1：學習“添加型”減法運算模型

出示題目：樹上現在有16只小鳥，原來有10只小鳥，多了多少只小鳥？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計算多了多少只小鳥。

生1：16-10=6（只）。因為“樹上現在有16只小鳥，原來有10只小鳥”，要計算多了多少只小鳥，就是計算現在和原來相差多少只小鳥，所以要用減法計算。

師：小朋友們，請你們想一想，能用這道題中的信息編一道減法題嗎？同時寫出減法算式。

生2：樹上飛來了6只小鳥，現在有16只小鳥，樹上原來有多少只小鳥？算式是16-6=10（只）。

……

活動2：學習“拿走型”減法運算模型

出示題目：粉筆盒里有36支粉筆，聰聰拿走了11支，還剩多少支粉筆？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計算還剩多少支粉筆。

生3：36-11=25（支）。因為聰聰拿走11支粉筆，粉筆盒里的粉筆變少了，所以用減法計算。

師：小朋友們，請你們想一想，能用這道題中的信息編一道減法題嗎？同時寫出減法算式。

生4：粉筆盒里有36支粉筆，聰聰拿走一些粉筆后，盒子里還有25支粉筆，聰聰拿走了多少支粉筆？算式是36-25=11（支）。

……

活動3：學習“組合型”減法運算模型

出示題目：小華和小軍一共跳了86下，小華跳了45下，小軍跳了多少下？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計算小軍跳了多少下。

生5：86-45=41（下）。因為題目告訴我們“小華和小軍一共跳了86下，小華跳了45下”，算部分量——小軍跳了多少下，所以用減法計算。

師：小朋友們，請你們想一想，能用這道題中的信息編一道減法題嗎？同時寫出減法算式。

生6：小華和小軍一共跳了86下，小軍跳了41下，小華跳了多少下？算式是86-41=45（下）。

……

活動4：學習“比較型”減法運算模型

出示題目：小明有56枚郵票，小芳比小明少24枚郵票，小芳有多少枚郵票？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計算小芳有多少枚郵票。

生7：題目中說“小芳比小明少24枚郵票”，由此知道小芳的郵票少、小明的郵票多，所以計算小芳的郵票數量要用減法，算式是56-24=32（枚）。

師：小朋友們，請你們想一想，能用這道題中的信息編一道減法題嗎？同時寫出減法算式。

生8：小明有56枚郵票，小芳有32枚郵票，小芳比小明少多少枚郵票？算式是56-32=24（枚）。

……

上述教學，教師先讓學生根據已有的數學信息編寫減法運算的問題，再讓學生自己解決這些減法問題。在分析和解決減法問題時，學生需要提取題目中的有用信息，利用已有的數學知識建立模型，從而解決新的減法問題。

三、借助乘法故事，建立乘法模型

乘法運算也包括四種不同的模型：一是“等值群組型”，即求若干個相等集合的和的問題；二是“倍數比較型”，即每一個相等的子集合對應參考集合，求子集合的幾倍是多少的問題；三是“搭配組合型”，即計算出兩種集合之間可以制造出的搭配種數的問題；四是“面積測量型”，如長乘寬求面積的問題。在小學數學學習階段，學生經常遇到的是“等值群組型”和“倍數比較型”的問題。

例如，教學人教版數學教材三年級上冊《兩、三位數乘一位數》后，教師設計了一節有關乘法運算模型的數學課，幫助學生梳理哪些情況下要用乘法計算，解決問題。

活動1：學習“等值群組型”乘法運算模型

出示題目：杰克有4袋蘋果，每袋有7個蘋果，杰克一共有多少個蘋果？

師：同學們，先讀一讀題目，再在學習單上列式計算。

生1：4×7=28（個）。題目告訴我們“杰克有4袋蘋果，每袋有7個蘋果”，就是求4個7是多少，用乘法計算。

師：同學們，求幾個相同加數的和用乘法計算。想一想，還有哪些題目也是用乘法計算的？你能編道題目嗎？

生2：知道速度和時間，計算路程用乘法。比如：客車的速度是80千米/時，4小時行駛多少千米？

生3：知道單價和數量，計算總價用乘法。比如：一條毛巾的價格是8元，10條毛巾要多少元？

……

活動2：學習“倍數比較型”乘法運算模型

師：你還能想到哪些乘法運算模型呢？

生4：求一個數的幾倍是多少。

師：那你能編一道有關倍的問題的題目嗎？

生5：紅花有8朵，藍花的朵數是紅花的3倍，藍花有多少朵？

……

活動3：學習“搭配組合型”乘法運算模型

生6：我還想到了上衣和褲子的搭配問題，求搭配種數也是用乘法計算的。

師：那你能編一道有關搭配問題的題目嗎？

生7：上衣有5件，褲子有3條，能搭配出多少套不同的衣服？

師：請你試著通過畫圖解決問題。

……

活動4：學習“面積測量型”乘法運算模型

生8：知道長方形的長和寬，求長方形的面積用乘法；知道正方形的邊長，求正方形的面積也是用乘法。

師：那你能編一道有關面積計算問題的題目嗎？

生9：長方形的長是6厘米，寬是4厘米，它的面積是多少平方厘米？

……

上述教學，教師引導學生回憶乘法運算模型，共同總結出“等值群組型”“倍數比較型”“搭配組合型”“面積測量型”等乘法運算模型，有利于學生整體把握乘法學習的規律。

總之，教師要精心設計課堂教學，引導學生經歷數學建模的過程，并且利用模型解決數學問題。數學課堂中，教師滲透模型意識，能為學生跨學科學習和再創造提供活動經驗與解決問題的思路，讓他們學會運用數學知識解決實際生活的問題。

（責編 杜 華）