借題發(fā)揮 以導(dǎo)促探 提升素養(yǎng)

吳景峰

［摘? 要］ 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的思維過程，關(guān)注學(xué)生是否會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.“說數(shù)學(xué)”作為重要的數(shù)學(xué)交流方式之一，受很多高中數(shù)學(xué)教師重視. 在教學(xué)中，教師找準(zhǔn)契機(jī)鼓勵(lì)學(xué)生“說數(shù)學(xué)”常能帶來驚喜，文章以案例研究法對(duì)一次“說數(shù)學(xué)”實(shí)踐的意外收獲進(jìn)行探討.

［關(guān)鍵詞］ 說數(shù)學(xué)；案例研究；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[?]問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)要提倡學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展［1］. 由此可見，教師在教學(xué)過程中，要多鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行生成性輸出，并善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn).

“說數(shù)學(xué)”是“數(shù)學(xué)交流”的重要方式之一，受到很多高中數(shù)學(xué)教師的重視.“說數(shù)學(xué)”包括四種方式，分別為①“說知識(shí)”：個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的口頭表達(dá)；②“說異見”：個(gè)體對(duì)某數(shù)學(xué)問題不同看法的口頭表達(dá)；③“說過程”：個(gè)體對(duì)某數(shù)學(xué)問題探究過程的口頭表達(dá)；④“說體會(huì)”：個(gè)體把探究某數(shù)學(xué)問題后的情感進(jìn)行口頭表達(dá)［2］.

在實(shí)踐中，找準(zhǔn)契機(jī)鼓勵(lì)學(xué)生“說數(shù)學(xué)”常能帶來驚喜，本文以案例研究法對(duì)一次“說數(shù)學(xué)”實(shí)踐的意外收獲進(jìn)行探討.

[?]案例描述

學(xué)生Y思維活躍，喜歡鉆研各類問題，并常與同學(xué)或老師討論，成績較好卻不穩(wěn)定，數(shù)學(xué)解題書寫常跳步或粗心.一天，解三角形的復(fù)習(xí)課下課后，Y有了新發(fā)現(xiàn)，興奮地拿著草稿紙來找教師：“老師，我發(fā)現(xiàn)你在課堂上歸納的三角形面積公式S△ABC=absinC（邊角邊），可寫成S△ABC=

sinC的向量形式，這也是‘邊角邊的形式，然后可以化成S△ABC=·……”教師培養(yǎng)學(xué)生要大膽表達(dá)自己的想法，抓住機(jī)會(huì)讓學(xué)生“說數(shù)學(xué)”，本想打住，但忍住了，點(diǎn)點(diǎn)頭讓Y繼續(xù)說. Y接著說道：“如果我已知這兩邊對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，=（x，y），=（x，y），就能得到S△ABC=（xx+yy），坐標(biāo)形式啊！是課本上沒有的新大陸！”教師看Y興致勃勃，微笑著說：“值得表揚(yáng)！探究的角度很好！很有創(chuàng)意！你從三角形面積公式的幾何形式，通過向量推導(dǎo)其坐標(biāo)形式. 但數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，你推導(dǎo)的每一步都必須是正確的，所以你在探究時(shí)，應(yīng)自查一下推導(dǎo)過程，看看有沒有粗心大意的地方.”Y認(rèn)真檢查后發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤，原來把向量的數(shù)量積公式記錯(cuò)了，頓時(shí)非常失落.教師接著說道：“說一下你的體會(huì)是什么.”Y說：“自己推導(dǎo)時(shí)沒有經(jīng)過檢查，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，以后要注意.”教師看Y失落的樣子，接著問：“那你就放棄了嗎？”Y默默地點(diǎn)點(diǎn)頭，本以為就這樣結(jié)束了，教師發(fā)現(xiàn)這或許是一個(gè)契機(jī)，說道：“雖然出現(xiàn)了失誤，但新大陸發(fā)現(xiàn)的過程本來就是曲折的，你的探究角度和思路都很好，公式改寫后，形式上也與向量數(shù)量積公式相似，那你就類比當(dāng)時(shí)探究向量數(shù)量積的思路，堅(jiān)持下去，我相信你一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).”Y受到鼓舞后重拾信心，表示要把這個(gè)探究任務(wù)作為課后作業(yè)繼續(xù)鉆研下去.

第二天的數(shù)學(xué)課前，教師提前到了課室，學(xué)生Y興沖沖地來到講臺(tái)，說要把研究的成果拿給教師看，以下是Y研究的成果.

問題：已知空間中任意三點(diǎn)A，B，C（不共線），在這三點(diǎn)的所在平面建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示，若已知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x，y），B（x，y），C（x，y），求△ABC的面積.

解：由已知得=（x-x，y-y），=（x-x，y-y），令x-x=a，y-y=b，x-x=m，y-y=n，則=（a，b），=（m，n），所以S△ABC=

·

·sinA=··. 又cosA==，所以S△ABC=··=·=，所以S△ABC=an-bm=

（x-x）·（y-y）-（y-y）（x-x）

. （*）

當(dāng)教師看Y的解法時(shí)，引來了很多學(xué)生的圍觀，教師看完后，對(duì)著Y微笑著說：“恭喜你！你發(fā)現(xiàn)新大陸了！”其他學(xué)生都發(fā)出了贊嘆的聲音，這時(shí)上課鈴聲響了，學(xué)生都回到了自己的座位，教師對(duì)著全班學(xué)生說道：“昨天我們的數(shù)學(xué)課復(fù)習(xí)了解三角形中三角形的面積公式，也是昨天，有一位同學(xué)進(jìn)一步探究了這條面積公式，雖然遭遇到了挫折，但他沒有放棄，經(jīng)過不斷努力，終于推導(dǎo)出了一條全新的三角形面積公式，非常厲害！大家想不想也看看這條公式？”全班學(xué)生異口同聲地回答道：“想！”教師接著說：“好！大家以熱烈的掌聲邀請(qǐng)Y上黑板介紹他最新的研究成果！”

Y拿著他的草稿紙，略顯緊張地走上講臺(tái). 他先把圖畫在黑板上，接著一口氣把他的問題和推導(dǎo)過程也寫在黑板上，最后簡單地進(jìn)行講解，語氣略欠通順，教師及時(shí)對(duì)其進(jìn)行肯定和表揚(yáng)，并詢問其他同學(xué)是否有疑問. 學(xué)生X舉手問道：“你是怎樣想到這個(gè)向量的方法進(jìn)行推導(dǎo)的呢？”Y回答道：“其實(shí)是源于自己的一個(gè)失誤.”說完，教師鼓勵(lì)Y把錯(cuò)誤的推導(dǎo)過程也寫在黑板上，然后Y接著說道：“就是誤把余弦記為正弦，我本想著放棄，但在老師的鼓勵(lì)下，我后來想明白了，既然

a

·

b

·cosθ能有這么簡潔的坐標(biāo)運(yùn)算形式，那么

a

·

b

·sinθ也一定會(huì)有，于是我就堅(jiān)持用坐標(biāo)形式進(jìn)行推導(dǎo)，不出所料，讓我推導(dǎo)出來了！”教師再次對(duì)Y的表現(xiàn)進(jìn)行表揚(yáng)和點(diǎn)評(píng)，并指出學(xué)無止境：“同學(xué)們可以進(jìn)一步研究此公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，一定會(huì)有收獲.”然后教師把Y的研究成果貼在了課室的數(shù)學(xué)角（數(shù)學(xué)角的功能主要是張貼學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)作業(yè)、優(yōu)秀的數(shù)學(xué)測驗(yàn)卷或考試卷等），以供學(xué)生學(xué)習(xí)與討論.

這次的“說數(shù)學(xué)”在班里掀起了一陣數(shù)學(xué)討論潮，讓教師驚喜的是，第二天數(shù)學(xué)角又貼出了新的研究成果，原來這是Y與其他同學(xué)討論后，對(duì)面積公式又有了新的理解，以下是部分學(xué)生的代表性成果.

成果1：已知任意一個(gè)三角形，我們可以從三角形中的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)出發(fā)，必定能把三角形補(bǔ)全為一個(gè)矩形，如圖2所示，使三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形不同的兩條邊上. 命名三角形為△ABC，其中A為銳角，矩形為AFED，其中AD=n，CD=m，AF=a，BF=b，a>m>0，n>b>0，求△ABC的面積.

解：因?yàn)镾=an，S△ACD=mn，S△AFB=ab，S△BCE=（a-m）（n-b），所以S△ABC=an-［mn+ab+（a-m）（n-b）］=an-（an+mb）=（an-mb）. 所以，三角形面積公式的坐標(biāo)形式（*），歸根到底就是初中的“割補(bǔ)法”.

成果2：如圖2所示，由向量的投影公式得

·cosA=，類比投影公式得

·sinA==，所以S△ABC=

·

·sinA=

=，把=（a，b），=（m，n）代入上式，即可得到式子（*）.

成果3：可以引入行列式的概念，于是（*）的形式可以大大簡化，即

S△ABC=

an-bm

=

a? b

m? n

，即S△ABC=

（x2-x1）（y3-y1）-（y2-y1）（x3-x1）

=

1? 1? 1

x1 x2 x3

y1 y2 y3.

教師對(duì)學(xué)生的研究成果及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，表揚(yáng)了學(xué)生的鉆研精神. 在數(shù)學(xué)課上，教師鼓勵(lì)這些學(xué)生一一走上講臺(tái)，以“說數(shù)學(xué)”的形式把研究成果、發(fā)現(xiàn)過程分享給大家.最后“說體會(huì)”時(shí)，有學(xué)生感嘆道：“與同學(xué)們探討和推導(dǎo)公式，太有趣了！數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)沒有止境！”此后，有學(xué)生提出此公式在高考中該如何應(yīng)用，教師對(duì)此開展了研究，在解析幾何單元復(fù)習(xí)后，以“三角形面積的計(jì)算”為主題組織了一次單元教學(xué).

[?]案例分析

1. 核心素養(yǎng)視角下的分析

“核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段教育的過程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格、關(guān)鍵能力和價(jià)值觀念.”［3］對(duì)高中數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具體包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六要素. 因此，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，教師要從傳統(tǒng)的“學(xué)科教學(xué)”觀轉(zhuǎn)向“學(xué)科教育”觀，這是從“知識(shí)核心時(shí)代”走向“核心素養(yǎng)時(shí)代”的必然要求［3］. 本案例中，“說數(shù)學(xué)”作為一種通過語言輸出的數(shù)學(xué)交流形式，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有獨(dú)特作用［4］.

首先，由“章節(jié)教學(xué)”轉(zhuǎn)向“單元教學(xué)”，在主題單元下融合多個(gè)關(guān)鍵能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平提高.本案例的內(nèi)容是解三角形章節(jié)中的三角形面積公式，它屬于解三角形的單元內(nèi)容，往往用幾何關(guān)系即可推導(dǎo)出來；但由于學(xué)生失誤，巧合地與向量內(nèi)容融合在一起，于是教師借此機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在課堂上“說數(shù)學(xué)”，打破了原單元教學(xué)的限制，將三角形面積公式的探討和推導(dǎo)作為一個(gè)新的單元任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的自主能動(dòng)性進(jìn)行研究. 學(xué)生從三角形面積抽象出與向量的關(guān)系進(jìn)行類比，又從幾何角度重新進(jìn)行解釋，甚至用到了行列式對(duì)公式進(jìn)行簡化. 在這些過程中，融合了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等多個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

其次，由“知識(shí)中心”轉(zhuǎn)向“素養(yǎng)中心”，重視知識(shí)生成的過程，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 本案例中，教師即便預(yù)料到學(xué)生Y推導(dǎo)的面積公式是錯(cuò)誤的，但沒有中途打斷、指出錯(cuò)誤后結(jié)束了事，而是讓學(xué)生繼續(xù)“說數(shù)學(xué)”，充分暴露其思維過程，目的就是找出學(xué)生思維過程中的閃光點(diǎn)，這與發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤同樣重要.在一些知識(shí)生成的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，生成過程很有可能就會(huì)中斷，但如果思維過程是正確的，教師及時(shí)給予充分肯定，那么學(xué)生中斷的地方就有了轉(zhuǎn)化的可能，這是在學(xué)生的研究過程中恰當(dāng)合理的教學(xué)方法，而學(xué)生這種不懈追求的學(xué)習(xí)態(tài)度也是其堅(jiān)定意志的體現(xiàn). 在平時(shí)的教學(xué)中，教師重視學(xué)生這方面精神的培養(yǎng)，必然有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

最后，由“教師中心”轉(zhuǎn)向“學(xué)生中心”，教師看準(zhǔn)時(shí)機(jī)給學(xué)生搭建平臺(tái)，充分發(fā)揮學(xué)生的能動(dòng)性，有助于提高學(xué)生的核心素養(yǎng). 本案例中，教師多次給學(xué)生“說數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)，還利用“數(shù)學(xué)角”對(duì)學(xué)生的“研究成果”進(jìn)行展示，給學(xué)生搭建好了平臺(tái). 學(xué)生所說的三角形面積公式是教師還沒有教給學(xué)生的，而是學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的，這點(diǎn)大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，因?yàn)檫@是屬于他們自己的東西，即便這些公式在一些文章或其他教輔上已發(fā)表過，但這并不影響學(xué)生的積極性. 他們通過交流，思維碰撞，發(fā)現(xiàn)了新的幾何角度去解釋三角形面積公式坐標(biāo)形式的內(nèi)涵，還發(fā)現(xiàn)了新的推導(dǎo)方法和表達(dá)形式，這些都是教師充分發(fā)揮學(xué)生能動(dòng)性的意外收獲. 在這樣的教學(xué)過程中，提高了學(xué)生的交流能力和探索精神，充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，達(dá)到了提高學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

2. 建構(gòu)主義視角下的分析

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)者的知識(shí)并非被動(dòng)接受的，而是通過主動(dòng)建構(gòu)生長出來的. 學(xué)習(xí)是在原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)新信息進(jìn)行加工處理、意義生成、建構(gòu)理解的過程，而此過程往往是在社會(huì)文化互動(dòng)中完成的. 本案例中，教師先引導(dǎo)Y從推導(dǎo)過程中發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并及時(shí)糾正，鼓勵(lì)Y堅(jiān)持研究思路，積極探索，激發(fā)了Y的主動(dòng)性. 然后，當(dāng)Y探索出三角形面積公式的新形式后，教師抓住契機(jī)讓Y上臺(tái)“說”自己的“研究成果”. 通過“說數(shù)學(xué)”，教師和其他學(xué)生都能更好地了解Y是“如何建構(gòu)自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解”的，而Y的“說”，體現(xiàn)了Y對(duì)新發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題的“加工處理、意義生成和建構(gòu)理解”，也體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)課堂中學(xué)生的主體地位. 最后，教師利用“數(shù)學(xué)角”，進(jìn)一步激發(fā)了其他學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，得出了系列“研究成果”，體現(xiàn)了不同學(xué)生對(duì)相同命題有不同的理解. 由此可見，“說數(shù)學(xué)”促使學(xué)生與教師能更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，正是這種“社會(huì)文化互動(dòng)”，促進(jìn)數(shù)學(xué)高效課堂的建立.

3. 深度學(xué)習(xí)視角下的分析

深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程［5］. 這是對(duì)深度學(xué)習(xí)性質(zhì)的一種界定. 本案例中，首先，學(xué)生Y在復(fù)習(xí)課上受到教師啟發(fā)，通過對(duì)教師“說”，發(fā)現(xiàn)了自己的錯(cuò)誤，課下繼續(xù)研究問題……這個(gè)過程中，教師只是起了引導(dǎo)作用，并沒有直接把結(jié)論告訴給學(xué)生Y. 其次，學(xué)生Y通過進(jìn)一步研究問題，使得教學(xué)活動(dòng)突破了課堂的限制. 再次，學(xué)生Y發(fā)現(xiàn)三角形面積公式（舊知識(shí)）與向量知識(shí)有關(guān)聯(lián)，得到三角形面積公式的坐標(biāo)形式（新知識(shí)），將課堂上的“說數(shù)學(xué)”分享給其他學(xué)生后，學(xué)生Y接著此“研究成果”進(jìn)一步推導(dǎo)出了一些新結(jié)論，這樣的學(xué)習(xí)過程才是“有意義的學(xué)習(xí)”.

深度學(xué)習(xí)的目的與任務(wù)，是讓學(xué)生“掌握學(xué)科的核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀”［5］. 本案例中，新推導(dǎo)的面積公式其實(shí)并不在教師計(jì)劃的教學(xué)范圍內(nèi)，但教師以學(xué)生的一個(gè)巧合發(fā)現(xiàn)為契機(jī)，通過學(xué)生“說數(shù)學(xué)”，把新公式的發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的主動(dòng)活動(dòng)，引起了學(xué)生的激烈討論，激發(fā)了學(xué)生的精神力量和發(fā)展能力. 這是由“說數(shù)學(xué)”引發(fā)的一次深度學(xué)習(xí)，也說明了“說數(shù)學(xué)”可以大大激發(fā)學(xué)生的潛能，這是其價(jià)值所在.

[?]結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是課堂教學(xué)還是課下答疑，教師抓準(zhǔn)時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生“說數(shù)學(xué)”，或許會(huì)有意外收獲，能帶給教師在教學(xué)過程中不一樣的思考. 因此，如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效開展“說數(shù)學(xué)”，是一個(gè)很有研究價(jià)值的課題.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］? 鐘進(jìn)均. 基于語言學(xué)視角的“說數(shù)學(xué)”探究［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（03）：11-14+17.

［3］? 李志敏. 怎樣教好高中數(shù)學(xué)［M］. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2020.

［4］? 鐘進(jìn)均. 對(duì)一則高中“說數(shù)學(xué)”案例的探討［J］. 教學(xué)月刊（中學(xué)版），2008（11）：41-42.

［5］? 劉月霞. 深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)［M］. 北京：教育科學(xué)出版社，2018.