探最值 尋本質(zhì) 歸方法

張麗

圓中的最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)問(wèn)題，這類問(wèn)題具有知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，是考試中的熱門(mén)題型。因此，本文選取了圓中兩類常見(jiàn)的線段最值問(wèn)題，透過(guò)問(wèn)題，尋找本質(zhì)，歸納方法，以幫助大家構(gòu)建“會(huì)一題通一類”的方法策略。

基于“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的最值問(wèn)題

例1 如圖1，設(shè)⊙O的半徑為r，圓外一點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則點(diǎn)P到⊙O圓周上的點(diǎn)的最小距離為_(kāi)_________ ，最大距離為 __________ 。

【解析】點(diǎn)P的位置、⊙O的大小和位置是確定的，但圓周上的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)。

如圖2，在⊙O上任取一點(diǎn)C（異于點(diǎn)A、B）。在△PCO中，PO+CO＞PC＞PO-CO（三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊），PO+BO＞PC＞PO-AO，即PB＞PC＞PA。

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，即點(diǎn)C在線段PO上時(shí)，PC取最小值=PA=d-r；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，即點(diǎn)C在線段PO的延長(zhǎng)線上時(shí)，PC取最大值=PB=d+r。

例2 如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF⊥AE交CD于點(diǎn)F，垂足為G，連接CG。求CG的最值。

【解析】由“定邊AB=2，且定邊所對(duì)的定角∠BGA=90°”可知，點(diǎn)G在以AB的中點(diǎn)O為圓心，AO長(zhǎng)為半徑的隱圓上，點(diǎn)G隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G最左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，最右運(yùn)動(dòng)到AC與BD的交點(diǎn)N，即點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為[BN]。如圖4，CG的最小值=CO-BO=[5]-1；由于點(diǎn)G取不到線段CO的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)處，所以CG的最大值不等于CO+BO，此時(shí)由CN=[12]AC=[2]，CB=2，得CG的最大值=BC=2。

【歸納】圓外定點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值：連接圓外定點(diǎn)與圓心，與圓交于一點(diǎn)，圓外定點(diǎn)到這個(gè)交點(diǎn)的距離為最小值；延長(zhǎng)圓外定點(diǎn)與圓心的線段，和圓交于另一點(diǎn)，圓外定點(diǎn)到這個(gè)交點(diǎn)的距離為最大值。利用這一結(jié)論可以快速地解決圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，做到化動(dòng)為靜，轉(zhuǎn)為定量計(jì)算。

基于“垂線段最短”的最值問(wèn)題

例3 如圖5，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1，點(diǎn)P為直線y=-[34]x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為。

【解析】由于PQ是⊙A的切線，由切線的性質(zhì)知PQ⊥AQ，因此構(gòu)造Rt△APQ，由勾股定理可得PQ=[PA2-AQ2]=[PA2-1]，所以PQ的最小值就轉(zhuǎn)化為PA的最小值。點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)P在定直線上運(yùn)動(dòng)，由“垂線段最短”知，當(dāng)AP垂直于直線y=-[34]x+3時(shí)，AP最小，得PQ的最小值為[22]。

例4 如圖6，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=[22]，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF，則線段EF的最小值為 。

【解析】如圖7，根據(jù)弦EF所對(duì)的圓周角∠BAC為定角，同弦所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，可將∠BAC轉(zhuǎn)化為Rt△EMF中的∠EMF，得到EF=[32]AD。或如圖8，在⊙O中，由垂徑定理、圓周角定理，在Rt△EOH中找到EH=[32]EO，即EF=[32]AD。由“垂線段最短”知，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，即求出線段EF的最小值。該最小值為[3]。

【歸納】綜合運(yùn)用圓的垂徑定理、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理，把所求線段長(zhǎng)度的最小值轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)到定直線（線段）的最小值，根據(jù)“垂線段最短”，即可求解。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué)）