神奇的黃金三角形

孫杜衡

開普勒曾贊美“黃金分割”是幾何學中的“瑰寶”。黃金分割法最初由畢達哥拉斯發現，即整段與較大分段之比等于較大分段與較小分段之比，數學史上稱為“中外比分割”。底邊與腰的比為黃金數的等腰三角形被人們譽為最美黃金三角形。下面，讓我們一起來感受黃金三角形的神奇吧。

黃金三角形分兩類，如圖1，一類是頂角為36°，兩個底角為72°的三角形，其底邊與腰之比等于[5-12]；另一類是頂角為108°，兩個底角為36°，其腰與底邊之比等于[5-12]，我們分別稱它們為“黃金一號”和“黃金二號”。

我們只要能抓住黃金三角形“角”和“邊”的特征，就容易識別它，然后用數學工具作出它，并能運用它解決數學題。

作一作：不用量角器，使用直尺和圓規，你可以作出黃金三角形嗎？

沒有量角器，我們只能從“邊”去思考，比較直接的思路是構造出兩條長度之比為[5-12]的線段，如果能聯想到在數軸上可以表示出[5]的點，那么，問題就迎刃而解了，如圖2。

其實，解決問題的關鍵是找出一條線段上的黃金分割點。如圖3，設線段AC=1，過點C作CD⊥AC，使CD=[12]AC，連接AD，以點D為圓心，DC的長為半徑畫弧，交AD于點E，以點A為圓心，AE長為半徑畫弧，交AC于點B，點B就是線段AC的黃金分割點。

歐幾里得曾經介紹過一種作法。如圖4，設正方形邊長為1，E為AC中點，連接BE，延長CA到F，使EF=EB，以FA為邊長做正方形FAHG，點H是線段AB的黃金分割點。只要找到了線段的黃金分割點，就可以輕而易舉地畫出黃金三角形。

分一分：“黃金一號”的72°角與“黃金二號”的108°角是互補關系，這兩個圖形可以拼成一個大的黃金三角形，如圖5，那么一個黃金三角形是否可以分割成若干個小的黃金三角形？如圖6，在△ABC中，∠A=36°，∠ACB=72°，CD是∠ACB的平分線，試找出圖中所有的黃金三角形，并說明理由。

圖6中有3個明顯的黃金三角形，但我們如果作出∠B的平分線BE，連接DE，如圖7，這時就能找出5個“黃金一號”：△ADE、△CBD、△BCE、△COE、△BOD；4個“黃金二號”：△DOE、△COB、△CED、△BDE。再作出△ADE兩個底角的平分線，重復上述的操作，最上面總有一個黃金三角形等著我們去操作，然后得到無窮個黃金三角形，就像一條黃金鏈一樣，十分神奇。如果我們再把OF、OG連接起來，在出現倒置的黃金三角形△OFG時，還能清晰地發現“五角星”，如圖8，每個“五角星”是由5個“黃金一號”和5個重疊的“黃金二號”組成的。

黃金三角形在古代中東和中世紀西方建筑中經常出現，如古埃及的金字塔、埃菲爾鐵塔等。現代建筑中的黃金三角形也顯示出和諧、簡潔之美，如蘇州拙政園中的亭臺樓閣，蘇州大學的鐘樓、方塔以及貝聿銘設計的蘇州博物館新館。

（作者單位：蘇州大學數學科學學院）