深思考 巧轉化 重積累

陳緩

縱觀2022年全國各地的中考數學試題，考點豐富、形式多樣的圓仍是各地區考查的重頭戲之一。其中，對圓的相關概念和性質、與圓有關的位置關系、圓的內接多邊形等知識的考查頻頻出現。下面，本文精選2022年的部分中考題進行剖析，以幫助同學們更好地了解圓的中考命題動向，掌握基本解題思路和方法。

一、圓的有關概念和性質

例1 （2022·四川瀘州）如圖1，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E。若AC=[42]，DE=4，則BC的長度是（ ）。

A.1 B.[2] C.2 D.4

【分析】由垂徑定理可知，點D是AC的中點，則OD是△ABC的中位線，從而得到BC=2OD。要求OD的長度，不妨設OD=x，則AO=OE=4-x，BC=2x。在Rt△AOD中，由勾股定理可得AD2+OD2=AO2，即（[22]）2+x2=（4-x）2，求出x的值則可以進一步求出BC。

解：∵OD⊥AC于點D，OE是半徑，

∴∠ODA=90°，

AD=DC=[12]AC=[12]×[42]=[22]。

在△ABC中，OA=OB，AD=DC，

∴OD是△ABC的中位線。

∴OD∥BC，OD=[12]BC。

設OD=x，則AO=OE=4-x，BC=2x。

在Rt△AOD中，∠ODA=90°，由勾股定理可得AD2+OD2=AO2。

∴（[22]）2+x2=（4-x）2，解得x=1。

∴BC=2x=2。

故選C。

【點評】本題巧妙地將圓與三角形的相關知識結合起來，求圓中弦的長度，重點考查垂徑定理、三角形中位線的判定與性質、勾股定理等知識。解決本題的關鍵是能夠根據勾股定理列出方程，再結合三角形中位線的性質求解。

二、與圓有關的位置關系

例2 （2022·浙江紹興）如圖2，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點A，交邊BC于點C、D，∠B=90°，連接OD、AD。

（1）若∠ACB=20°，求[AD]的長（結果保留π）；

（2）求證：AD平分∠BDO。

【分析】（1）連接OA，已知∠ACB=20°，根據圓周角定理，可得∠AOD=40°，再利用弧長公式求得[AD]的長。

（2）根據AB切⊙O于點A，∠B=90°，可得OA∥BC，則∠OAD=∠ADB，另一方面，由OA=OD，得∠OAD=∠ODA，從而得AD平分∠BDO。

解：（1）如圖2，連接OA。

∵∠ACB=20°，[AD]=[AD]，

∴∠AOD=2∠ACB=2×20°=40°。

∴[AD]的長為[40×π×6180]=[4π3]。

（2）∵AB與⊙O相切于點A，

∴OA⊥AB。

∴∠OAB=90°。

∴∠OAB+∠B=90°+90°=180°。

∴OA∥BC。

∴∠ADB=∠OAD。

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA。

∴∠ODA=∠ADB。

∴AD平分∠BDO。

【點評】本題是一道有關直線與圓的位置關系的問題，主要考查弧長公式、圓周角定理、切線的性質等知識。同學們要注意：遇到切線時，一般要作過切點的半徑，以便利用切線的性質定理來求解。

三、圓的內接多邊形

例3 （2022·江蘇常州）如圖3，△ABC是⊙O的內接三角形，若∠ABC=45°，AC=[2]，則⊙O的半徑是 。

【分析】如何巧妙地利用∠ABC=45°這個條件呢？連接CO并延長，交⊙O于點D，連接AD。根據同弧所對的圓周角相等，可得∠ADC=45°，再利用直徑所對的圓周角是直角可得∠CAD=90°，然后在Rt△ACD中，利用等腰直角三角形的性質求出CD的長，從而求出⊙O的半徑。

解：連接CO并延長，交⊙O于點D，連接AD。

∵[AC]=[AC]，

∴∠ADC=∠ABC=45°。

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CAD=90°。

∴AD=AC=[2]。

在Rt△ACD中，∠CAD=90°，由勾股定理可得CD2=AC2+AD2。

∴CD=[22+22]=2。

∴⊙O的半徑是1。

【點評】本題是求三角形外接圓半徑的問題，重點考查了三角形的外接圓和外心，圓周角定理及其推論，以及轉化思想的應用。解決本題的關鍵是能根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線，從而實現有效的轉化。

例4 （2022·四川自貢）如圖4，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD=20°，則∠BCD的度數是（ ）。

A.90° B.100° C.110° D.120°

【分析】根據AB是⊙O的直徑，可以得到∠ADB=90°，再根據∠ABD=20°和直角三角形兩銳角互余，可以得到∠A的度數，最后根據圓內接四邊形對角互補，即可得到∠BCD的度數。

解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°。

∴∠A+∠ABD=90°。

∴∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°。

∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠BCD+∠A=180°。

∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°。

故選C。

【點評】本題是一道圓內接四邊形中求內角度數的問題，考查了圓內接四邊形的性質、圓周角定理的推論、直角三角形兩銳角互余等。解決本題的關鍵是能夠審清題意，明確角之間的數量關系。同學們可以開動腦筋，繼續想一想不同的方法，你一定會有更多的收獲和體會。

在近幾年各地的中考中，圓的有關性質，如垂徑定理、圓周角定理、切線的判定與性質等，一般以計算或證明的形式考查，與圓有關的應用題、閱讀理解題仍是中考命題的熱點。同學們要學會不斷地總結，提煉方法和經驗，將問題化隱為顯、化難為易，進而巧妙地解決。

（作者單位：江蘇省南京市致遠初級中學）