對一道幾何綜合題的解法探究與優化

李孝敏

[摘? 要] 幾何綜合題的解題過程是教學的重點，該過程中需要指導學生掌握復合圖形的分析方法，建模思路，性質運用的技巧.文章以2021年江蘇南通市的中考幾何壓軸題為例，深入探索問題的構建思路，并對問題解法進行優化，開展教學反思，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 幾何;多解;結構;四點共圓;分類討論

幾何綜合題的圖形往往是眾多幾何特性的組合，掌握圖形拆解、性質分析是解題的關鍵，而從不同視角探究問題，對方法進行優化則有助于提升解題能力. 下面將對一道幾何綜合題開展解法探究，并深入探索問題，優化解題方法.

問題呈現

問題：（2021年江蘇南通市中考卷第25題）如圖1所示，在正方形ABCD中，點E在邊AD上（不與端點A和D重合），點A關于直線BE的對稱點為點F，連接CF，設∠ABE=α.

（1）求∠BCF的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?

（2）過點C作CG⊥AF，垂足為G，連接DG. 判斷DG與CF的位置關系，并說明理由;

（3）將△ABE繞點B順時針旋轉90°得到△CBH，點E的對應點為點H，連接BF，HF. 當△BFH為等腰三角形時，求sinα的值.

解法探究

本題為幾何綜合題，以正方形為背景，融合了對稱、旋轉、三角函數等知識. 問題共分三問，分別探究角度關系、分析兩線的位置關系，依托幾何求角度的三角函數值，解析過程要充分把握圖形結構，結合對應知識來構建思路，下面逐問探究.

（1）該問求∠BCF的大小，需用α來表示其大小，實則是探究角度之間的大小關系. 題干設定點F與A關于直線為對稱關系，可作輔助線BF，則BE就為AF的垂直平分線，其中存在等角關系，結合正方形性質及三角形內角可推導角度關系.

連接BF，如圖2所示，BE為AF的垂直平分線，則有∠BAF=∠BFA，AB=BF. 已知∠ABE=α，則∠BFA=90°-α，∠EBF=α. 四邊形ABCD為正方形，由正方形性質可推得∠FBC=90°-2α. 又知AB=BF=BC，則△BFC為等腰三角形，即∠BFC=∠BCF. 結合三角形內角和可推得∠BCF==45°+α.

（2）該問探究CF與DG的位置關系，在幾何綜合中線段關系一般為相交、平行、垂直，探究時可結合角度來確定.

設FG與DC的交點為M，AF與BE的交點為N，如圖3所示. 由（1）問可知∠ABE=∠FBE=α，∠BAF=∠BFA=90°-α，∠BCF=∠BFC=45°+α，所以∠AFC=∠AFB+∠CFB=135°，∠CFG=180°-∠AFC=45°. 又知CG⊥AF，則△CFG為等腰直角三角形，所以=. 結合正方形的性質可推得△ADC為等腰直角三角形，所以=. 由條件可推知∠NAE=∠ABE=α.

在△ADM和△CGM中，已知∠ADC=∠AGC=90°，∠AMD=∠CMG，可證△ADM∽△CGM，所以∠MAD=∠MCG=α，進而可推得∠ACF=∠BCF-∠BCA=α. 在△DGC和△AFC中，已知==，∠DCG=∠ACF=α，可證△DGC∽△AFC，由相似性質可得∠DGC=∠AFC=135°，所以∠DGA=∠DGC-∠AGC=45°，則∠DGA=∠CFG=45°，從而可證CF∥DG，即DG與CF為平行關系.

（3）該問引入了三角形旋轉，旋轉前后的三角形為全等關系，探究△BFH為等腰三角形時sinα的值，沒有設定三角形的腰，故有三種情形需要分別討論，構建等腰三角形后，利用直角三角形的三邊關系來求sinα的值.

當△BFH為等腰三角形，有三種情形，①FH=BH，②BF=FH，③BF=BH.

①當FH=BH時，過點H作BF的垂線，設垂足為M，如圖4所示. 可設AB=BF=BC=a，根據旋轉特性可知∠CBH=∠ABE=α，BH=BE，可推知∠FBH=∠ABC-∠ABF=90°-α. 由條件可得∠FHB=2α. 由于△BFH為等腰三角形，且FH=BH，則∠BHM=∠FHM=α，由等腰三角形的“三線合一”可得BM=MF=BF=. 由條件可證Rt△ABE≌Rt△MHB，可得BM=AE=，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得BE==a，則sinα==.

②當BF=FH時，設FH與BC的交點為O，如圖5所示，由旋轉性質可知∠CBH=∠ABE=α，結合（1）問可得∠FBH=∠FBC+∠CBH=90°-α. 因為BF=FH，可推得∠BOH=180°-∠CBH-∠BHF=90°，此時∠BOH與∠BCH相重合，與題目不符，故舍去.

③當BF=BH時，可設 AB=BF=a，由正方形性質可得AB=BC=a，從而可推得BF=BH=BC=a，題目中BC、BH分別為Rt△BCH的直角邊和斜邊，故不可相等，顯然與題目不相符，將其舍去.

綜上可知，sinα的值為.

優化探索

上述對一道幾何綜合題進行了解法探究，圖形的綜合性強，所涉三問的問題形式較為常見，但融合了眾多考點，重點考查學生對幾何性質定理的靈活運用. 上述呈現了問題的基本解法，但從問題的構建過程來看，解題難度大、步驟繁雜，尤其是考題的后兩問，多次運用特殊三角形和特殊關系來推導等角和線段比例. 下面進一步探索考題后兩問的解法，開展解法優化探究.

1. 優化第（2）問解法——四點共圓推角度

第（2）問構建了正方形ABCD外的垂足G，探究DG與CF的位置關系，實際上可以利用隱圓模型，即A，D，G，C四點共圓，具體過程如下.

由（1）問可知∠BCF=45°+α，又知∠BCD=90°，所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=45°-α. 連接AC，設AC的中點為O，再連接OD，OG. 因為∠ADC=∠AGC=90°，所以OD=OA=OC=OG，由圓的定義可知A，D，G，C四點共圓，故可知點O為圓心，以AO為半徑畫圓，如圖6所示. 由圓的性質可得∠CDG=∠CAG，又知∠CAG=∠CAD-∠DAG=45°-α，所以∠CDG=45°-α=∠DCF，從而有DG∥CF，即兩線為平行關系.

2. 優化第（3）問解法——簡化討論情形

上述基于等腰三角形的三種情形進行了分別討論，而其中的兩種情形是不成立，實際上可以在解答的初始就對部分情形簡單分析，具體如下.

設AB=a，AE=b（0BA，所以BH>BF=BA，因此要使△BFH為等腰三角形，只存在BF=FH和BH=FH兩種情形，故下面只需討論兩種情形即可.

情形一：當BF=FH時，有∠FBH=∠FHB=∠BAF=∠BFA，可證△ABF∽△HFB，由相似性質可得=，所以=，代入線段長可得=，可解得a=b. 因為0

情形二：當BH=FH時，有∠FBH=∠BFH=∠BAF=∠BFA，可證△ABF∽△BHF，由相似性質可得=，代入線段長可得=，可解得a=2b，可繪制如圖7. 在Rt△ABE中，sinα===.

綜上可知，sinα的值為.

評析? 上述對考題的后兩問進行了解法優化，其中第（2）問把握幾何特性構建隱圓模型，由圓的特性推得了關鍵的等角關系;而第（3）問則首先討論了三角形內的邊長關系，排除了其中的一種情形，顯著的簡化討論過程.

解后反思

考題探究的重點有兩點：一是引導學生掌握問題解法，二是提升學生解題思維. 故完成解題教學后還需要進一步開展反思考題，拓展學生思維，下面提出幾點教學建議.

1. 重視結構分析，提取圖形特性

幾何綜合題圖形往往較為復雜，最為顯著的特點是考查學生對復合圖形的分析能力，即結合幾何條件理解圖形，把握幾何要素之間的關系，從中剖離特殊圖形，提取幾何特性. 因此在實際教學中，需要引導學生掌握讀題構形，特性提取的方法，充分提升學生的圖形分析、構建與拆解模型的能力. 教學中可分三個階段進行：第一階段，理解幾何語言，歸納總結幾何特性;第二階段，指導模型的解讀方法，幫助學生積累圖形拆解經驗;第三階段，開展復合圖形分析教學，指導學生掌握圖形解析的步驟及方法.

2. 開展解法優化，拓展學生思維

綜合性問題的解法往往不唯一，可從不同視角切入解析，構建相應的解題思路，而不同解法之間存在差異，開展方法對比，解法優化是十分必要的. 如上述探索了問題的常規解法之外，對方法思路進行了優化，第一問構建四點共圓模型，利用模型直接推導等角關系;而第二問討論等腰三角形的情形，簡化了討論的過程. 因此教學中要重視考題的方法總結及優化，使學生充分理解方法，可合理開展一題多解，引導學生從不同視角分析圖形，探索方法. 探究過程要注意給學生留足思考空間，以提升學生的數學思維為教學重點.

3. 滲透數學思想，提升綜合素養

從上述幾何綜合題的解析過程可知，其中滲透了化歸轉化、構造模型、數形結合、分類討論等思想方法，即在數學思想的指導下轉化問題，解讀構建模型，通過數形結合構建思路，逐個討論破解. 因此在實際教學中，不僅要指導學生掌握解題方法，還應合理滲透數學思想，讓學生在解題中感悟思想，理解思想的精髓，達到內化吸收的效果. 同時章節教學中可結合對應內容來滲透數學思想，如函數與圖像教學中滲透數形結合思想，等腰三角形教學中分步討論特性等，讓學生逐步感知思想，體會思想真諦.