前伸后延構(gòu)體系 上下貫通促思維

車淑麗

“分數(shù)的基本性質(zhì)”一課是“數(shù)與符號的認識”單元主題中的內(nèi)容，是在學生已經(jīng)掌握了商不變的規(guī)律、小數(shù)的性質(zhì)、分數(shù)的意義以及分數(shù)與除法的關(guān)系的基礎(chǔ)上進行教學的。從商不變的規(guī)律到小數(shù)的性質(zhì)再到分數(shù)的基本性質(zhì)，這些規(guī)律都是在“變與不變”中凸顯本質(zhì)特征、感悟數(shù)學思想的。因此，作為一節(jié)生長課，本節(jié)課我力求從學生已有的知識經(jīng)驗引入，通過數(shù)學思維方法的再現(xiàn)和遷移，將學生帶到“最近發(fā)展區(qū)”，為學生鋪設(shè)一條思維路徑。在探究過程中，我引導學生運用數(shù)形結(jié)合的方法歸納概括分數(shù)的基本性質(zhì)，并且借助圖形揭示分數(shù)相等的秘密，引導學生理解規(guī)律背后的本質(zhì)特征。學生經(jīng)歷猜想、實踐、觀察、驗證的全過程，在“變與不變”中探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步感知“等價類”以及“無限”的數(shù)學思想，培養(yǎng)了數(shù)感，發(fā)展了數(shù)學推理意識。這樣，能夠為學生后續(xù)學習約分、通分提供依據(jù)，為“分數(shù)的計算”及“比的基本性質(zhì)”的學習打下堅實的基礎(chǔ)。

一、從點出發(fā)，激活學習經(jīng)驗

小學數(shù)學知識是一條線。“前伸”就是弄清楚知識（包括數(shù)學概念、原理、方法、規(guī)則、思想、思維等）的源頭和發(fā)展脈絡(luò)，解決“從哪里來”的問題;“后延”就是要弄清楚知識的發(fā)展趨勢，解決“到哪兒去”的問題，兩者是統(tǒng)一的。只要從這樣的視角來備課、上課，數(shù)學課就會變得有意思、有意義。

（一）憶舊導新，鋪設(shè)思維路徑

江蘇省特級教師許衛(wèi)兵認為，數(shù)學是一門“關(guān)系”學。如果我們從“關(guān)系”的視角來研究教材內(nèi)容和教學方法，就會使知識系統(tǒng)化，使教學結(jié)構(gòu)化，從而使學生的思維走向“自能”化。“分數(shù)的基本性質(zhì)”一課就是在舊知的基礎(chǔ)上延伸生長而來的。學生在學習小數(shù)的性質(zhì)和商不變規(guī)律的時候已經(jīng)在不經(jīng)意間應(yīng)用到了“于變中把握不變”這一思想方法，積累了相關(guān)的思維經(jīng)驗。因此，本節(jié)課可從商不變的規(guī)律和小數(shù)的性質(zhì)入手，讓學生認識到“研究數(shù)學現(xiàn)象的變化特點，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要方法和途徑”，為本節(jié)課的學習奠定堅實的方法基礎(chǔ)。

教師可提出問題：（1） 8÷4 →80÷40 ;（2）24÷6→12÷3。觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)每組算式中被除數(shù)和除數(shù)都變了，但是商卻沒變。

生：第一組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時乘以10，第二組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時除以2。

生：我想到了商不變的規(guī)律——被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以一個相同的數(shù)（0 除外），商不變。

師：商不變的規(guī)律就是我們從“變與不變”的大量除法算式研究中歸納發(fā)現(xiàn)的。等式0.1=（）你會填嗎？看看什么變了？怎樣變的？什么沒變？

生：0.1=0.10=0.100=0.1000=0.10000……可以寫出無數(shù)個。

生：雖然小數(shù)末尾 0的個數(shù)逐個增多，但小數(shù)的大小是不變的。

生：我想到的是小數(shù)的性質(zhì)——小數(shù)的末尾添上 0 或去掉0，小數(shù)的大小不變。

師：小數(shù)的性質(zhì)也是從大量“變與不變”的例子中研究發(fā)現(xiàn)的。看來，研究數(shù)學現(xiàn)象的變化特點，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一個重要方法和途徑。（板書，變、怎么變、不變）

（二）溝通聯(lián)系，引發(fā)合理猜想

教師通過新舊知識之間的聯(lián)系，引發(fā)學生合理猜想，學生能自然地將學習內(nèi)容納入其已有的認知結(jié)構(gòu)體系。

師：整數(shù)除法中有商不變的規(guī)律，小數(shù)中有小數(shù)的性質(zhì)。那么，請同學們結(jié)合本單元學習的內(nèi)容，猜想一下，分數(shù)中有可能存在什么規(guī)律？你的依據(jù)是什么？同桌之間互相說一說。

生：我認為分數(shù)中也存在著一定規(guī)律。根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，我們可以把“被除數(shù)”看作“分子”，把“除數(shù)”看作“分母”，把“商”看作“分數(shù)值”，所以我認為分數(shù)中存在的規(guī)律與商不變的規(guī)律是基本相同的。

生：我認為分數(shù)中存在著一定的規(guī)律，而且這個規(guī)律也一定是在“變與不變”中發(fā)現(xiàn)的。

師：同學們，你們抓住了知識之間的聯(lián)系進行猜想，還想到了運用“變與不變”這一思維方法來研究，真了不起！老師為你們點贊！（板書，猜想）

二、自主探究，理解規(guī)律本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，學生的學習應(yīng)該是一個主動的過程，認真聽講，獨立思考，動手實踐，自主探索，合作交流等是學習數(shù)學的重要方式，教學活動應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學生學習興趣，引發(fā)學生積極思考，鼓勵學生質(zhì)疑問難，引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。數(shù)學學習的過程也是動態(tài)建構(gòu)的過程，我們不但要引導學生在數(shù)學課堂中形成學科知識結(jié)構(gòu)，還要讓課堂具有吸引力，讓學生的學習過程充滿新奇、疑惑、探索、發(fā)現(xiàn)、驚喜、贊嘆，使學生經(jīng)歷曲折多變的“探險”過程，建構(gòu)起數(shù)學知識的完整樣態(tài)，這樣的數(shù)學學習才會“有意思”“有意義”。

（一）比較大小，形象感知相等

美國心理學家布魯納曾經(jīng)說過：“數(shù)學的生命在于探索，教師的任務(wù)是讓學生親歷探索的過程，在探索中發(fā)現(xiàn)，在探索中創(chuàng)新。”因此，本環(huán)節(jié)教師設(shè)計了不同層次的探究內(nèi)容，通過對分數(shù)大小的比較，借助直觀圖形，引出一組相等分數(shù)，讓學生初步感知相等的內(nèi)涵。

師：你能比較[38]、[58]，[12]、[24]的大小嗎？說明你的理由。

生：[38]和[58]比較，[58]大于[38]。因為他們都表示把單位“1”平均分成了8份，[38]表示取其中的3份，[58]表示取其中的5份，所以[58]大于[38]。

生：根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，[12]=1÷2=0.5，[24]=2÷4=0.5，所以[12]=[24]。

生：可以畫圖演示，把一張紙平均分成2份，表示其中的1份和把同一張紙平均分成4份，表示其中的2份，大小是相等的，所以[12]=[24]。

師：根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系來比較分數(shù)的大小和借助圖形來說理，都是好方法。同學們請看圖（如圖1）。

通過畫圖我們可以直觀地看出，[12]確實等于[24]。實際上，在數(shù)學學習中，數(shù)形結(jié)合確實是一種有效的學習方法。

（二）實踐操作，嘗試尋找相等

教師要提供豐富的學習材料，引導學生動手實踐，用畫一畫、折一折、擺一擺、說一說等方法找相等的分數(shù)，使學生初步感受其中的“變與不變”，從而對變化規(guī)律有淺顯的、感性的認識。同時，教師還可引導學生聯(lián)系生活找相等的分數(shù)，或者利用分數(shù)與除法的關(guān)系找相等的分數(shù)，這樣能擴大相等分數(shù)的研究范圍。

師：[12]等于[24]，這只是一個特例嗎？在“分數(shù)的世界”中，像這樣分子、分母不同，但大小相等的分數(shù)還有嗎？你還能舉出這樣的例子嗎？請看自學提示。

自學提示：請打開學具袋（相同的圓形、正方形、長方形紙片各4張，10根小棒，線段圖，彩筆），用畫一畫、折一折、算一算、寫一寫等方法，嘗試找出“分子、分母不同，但大小相等”的分數(shù)。（至少找出兩個）你也可以聯(lián)系生活實際，找一找生活中相等的分數(shù)。把你找到的分數(shù)寫在練習本上，與小組內(nèi)同學交流，說明為什么相等。

師：通過實踐操作，相信你們一定找出了很多相等的分數(shù)，誰來說一說？

生：我把圓形（或正方形）的紙片對折，涂上其中的1份，就是[12];然后，我再對折，涂色部分就占圓形的[24];再對折，涂色部分就占圓形的[48]。涂色部分沒變，所以分數(shù)的大小相等，也就是[12]=[24]=[48]。

師：如果再對折一次，涂色部分就占圓形的幾分之幾？它們的大小還相等嗎？

生：占[816]，它們還是相等的，因為涂色部分沒變。

師：如果給你足夠大的紙，讓你一直折下去，想一想，你會得到多少個相等的分數(shù)？

生：我想我會得到無數(shù)個相等的分數(shù)，因為涂色部分始終沒變，所以分數(shù)的大小也不變。

（三）借圖揭秘，凸顯相等本質(zhì)

教師要抓住學生匯報中對折的方法，借助圖形直觀演示，揭示性質(zhì)背后的本質(zhì)特征，即不同分數(shù)之間為什么相等，滲透“等價類”的數(shù)學思想。教師通過讓學生想象“如果一直對折下去，你會找到多少相等的分數(shù)？”滲透“無限”的數(shù)學思想，這也為下面怎樣“變”才會“不變”以及規(guī)律的概括提供了有力的支撐。教師課件演示。（如圖2）

圖2

師：確實，如果我們無限地對折下去，可以得到無數(shù)個相等的分數(shù)。借助直觀圖形，我們來觀察一下，這個圖形究竟發(fā)生了什么變化？

生：我發(fā)現(xiàn)無論怎么分，只不過是涂色部分和整體分的份數(shù)變多了，但涂色部分的大小是不變的。

生：從圖中我們可以看到，將圓形平均分成2份時，涂色部分是1份，當將圓形平均分成4份時，涂色部分就隨之變成了2份，當將圓形平均分成8份時，涂色部分就隨之變成了4份，分得份數(shù)變多了，也就是分子和分母同時變大了，但變化前后他們所表示涂色部分的大小是相等的。

生：因為我們平均分的是整個圓，所以分子和分母是同時分的，份數(shù)多了，每一份變小了，但所表示涂色部分的大小是不變的。

師：其實，無論是哪一個分數(shù)，只要它所對應(yīng)圖形中的每一份發(fā)生了相同的變化，所得到分數(shù)的大小就是相等的。

三、整體建構(gòu)，形成知識體系

學習的過程也是學生認知基礎(chǔ)與新知相互協(xié)同、整體建構(gòu)的過程。課堂上，教師要將新知化歸舊知，在溝通聯(lián)系中滲透“類比”的數(shù)學思想方法;要利用舊知解釋新知，進一步實現(xiàn)知識的遷移和內(nèi)化，形成知識體系。

師：同學們，你能根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系以及除法中商不變的性質(zhì)來說明分數(shù)的基本性質(zhì)嗎？

生：分數(shù)的分子相當于（被除數(shù)），分母相當于（除數(shù)）。如[12]可以寫成1÷2，這時我們把分子和分母時乘2、乘4，變成了[24]和[48]。其實就相當于把1÷2中的被除數(shù)和除數(shù)同時乘以2、乘以4，變成2÷4、4÷8，符合商不變規(guī)律。

師：我們利用以前學習的商不變的規(guī)律推理、解釋了分數(shù)的基本性質(zhì)。實際上，商不變的規(guī)律與分數(shù)的基本性質(zhì)是可以相互轉(zhuǎn)化的，等我們到了六年級還會認識比的基本性質(zhì)，到那時你們就會更加深刻地體會到數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，真是“數(shù)學很奇妙，關(guān)系最重要”。

四、內(nèi)化延伸，探尋本質(zhì)特征

本課練習不能只停留在對知識和技能的掌握上，教師還要引導學生通過練習獲得一定的感悟、聯(lián)想和提升。

教師可先設(shè)置一個轉(zhuǎn)化題：把[23]和[1024]化成分母是12而大小不變的分數(shù)。

[23]=[2×□3×4]=[□12][1024]=[10○□24○□]=[□12]

本題是直接應(yīng)用分數(shù)基本性質(zhì)的基礎(chǔ)題，也是教材中的例題，學生這樣理解：要想使分數(shù)的大小不變，可以根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)來填寫，[23]的分母乘4是12，所以分子2也要同時乘4，即[23]=[812];[1024]的分子、分母同時除以2，變成[512]。

然后，教師可設(shè)置“找朋友”游戲題：請在分數(shù)中[12];[36];[46];[48];[612];[812];[23]找出[12]和[23]的好朋友，你是怎么找到的？

學生回答“是根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)找到的”之后，教師可引導學生通過討論交流，形成如下的理解：

[等于[12]的分數(shù)][等于[23]的分數(shù)][[12]? [36]? [48]? [612]][[23]? [46]? [812]]

通過“找朋友”的游戲，讓學生找相等的分數(shù)，加深了學生對分數(shù)基本性質(zhì)的理解和運用。

接著，教師可設(shè)置“實際應(yīng)用”題：我們班[25]的同學參加了舞蹈小組，[410]的同學參加了書法小組，哪個小組的人數(shù)多？

學生理解為根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)[25]=[410]，所以兩個小組的人數(shù)一樣多。

最后，教師可設(shè)置“寫數(shù)”題：A、B點分別表示哪些數(shù)？你能寫出多少個？

生：A點既可以用整數(shù)2表示，同時也可以用[21]，[42]，[147]，[105]……表示，還可以用2.0，2.00……表示。

生：B點可以用[27]，[414]，[828]……表示。

點B代表（[27]，[414]，[828]……）]

師：分別觀察A點和B點所寫出的數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)A點用分數(shù)或小數(shù)表示，都可以寫出無數(shù)個，用整數(shù)表示只有一個;而B點不能用整數(shù)或小數(shù)表示，只能用分數(shù)表示，也有無數(shù)個。

師：同學們真是善于觀察和總結(jié)！確實，數(shù)軸上所有的點（0除外）都可以用無限個分數(shù)表示，盡管這些分數(shù)不同，但是它們表示的是同一個點，所以大小是相等的。我們還發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上的點，有的能用整數(shù)表示，而且只有一個。有的點卻不能用整數(shù)表示，由此也就產(chǎn)生了分數(shù)。

本題將分數(shù)和整數(shù)的重要區(qū)別直觀地呈現(xiàn)在學生面前，學生進一步感悟到分數(shù)不同于整數(shù)的重要特性之一就在于“等價性”，感受“無限”的數(shù)學思想，進一步加深理解了分數(shù)產(chǎn)生的意義。

（責任編輯：楊強）