重視邏輯推理　關注全局變化

陸萍　王劍

摘 要：通過對2022年高考三角函數與解三角形有關試題的歸類解析，對比近幾年高考中本專題考查的幾個側重點，分析考查的變化. 在此基礎上總結解決三角函數問題的一般思想方法，并給出三角函數與解三角形的教學建議與高考復習備考建議.

關鍵詞：2022年高考;三角函數;解三角形;試題分析;解法分析;備考建議

根據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》），三角函數作為函數主線中的重要組成部分，成為高中數學教學的主要內容，也是歷年高考的熱點之一. 一方面，作為研究周期性現象的重要數學模型，三角函數是函數主線不可或缺的內容，在現行各版本高中數學教材中，三角函數知識基本上由三部分構成，即“三角函數”“三角恒等變換” “解三角形”. 其主要內容有：任意角三角函數的定義、同角三角函數的關系式、誘導公式、三角函數的圖象與性質、兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等. 另一方面，三角函數部分的教學在提升學生邏輯推理、直觀想象和數學運算等素養方面起到了較大的作用. 在 2022 年的高考數學試題中，既有對三角函數基礎知識和基本方法的考查，也出現了體現知識的綜合性和三角函數的工具性等有一定難度的試題，對學生的基本運算能力和知識綜合應用能力有一定的要求.

下面通過對2022年部分高考試題的解答與分析，歸納三角函數與解三角形的知識和方法，總結出一般的解題方法和解題規律，并對高考復習備考提出合理建議.

一、試題特點分析

2022年高考數學試卷中，對三角函數與解三角形考查最多的是浙江卷，分值將近30分;考查最少的是全國甲卷（文、理科），只考查了兩道客觀題，分值為10分;其余試卷基本以一道客觀題和一道主觀題的形式考查. 整體來看，與前幾年的高考考查情況基本持平，難度穩中有升. 從命題風格上看，與過去一致，三角函數與解三角形試題未出現創新形式的命題，結構不良試題未在此內容中進行考查. 從內容上看，有以下兩個層次的分析.

1. 從考查題型分析，分為客觀題和主觀題

客觀題以三角函數的圖象與性質和三角恒等變換為主，囊括了對方程思想、函數思想、化歸思想和數形結合思想的考查，靈活多變，對學生的基礎知識和基本運算能力要求較高. 除常規的三角函數性質考查外，以函數觀點解讀三角函數的性質解決三角函數有關問題成為命題的新趨勢，所占比重越來越大，這符合 《標準》 中對“函數”部分的要求：選取“函數”為核心，將整個領域的知識組織成以“函數”為核心的輻射狀的網絡體系，并以“函數”的某些子概念與其他領域知識的聯系為載體，發展不同領域間的聯系.

解答題常以三角形為命題背景，以正弦定理和余弦定理為工具，結合適當的三角恒等變形解決三角形的邊角關系，難度不大，屬于基礎題. 除全國新高考Ⅰ卷要求較高外，其他均屬于容易題. 全國新高考Ⅰ卷第18題綜合考查了三角恒等變換、正弦定理，以及運用方程思想和函數思想解決問題，除對基礎公式的考查外，對邏輯推理和數學運算等素養有較高要求.

2. 從考查方式分析，可分為顯性考查和隱性考查

三角函數的圖象與性質、圖象變換、兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理都是顯性考查的主要對象，命題形式也是歷年高考三角函數部分的常規形式;隱性考查包括用作為數學工具的三角函數來解決平面向量、立體幾何、解析幾何和函數等問題，以及在這些章節內容中出現的與三角函數相關的且可結合三角函數知識來解決的內容. 運用三角函數知識解決有關問題，著重考查了數學建模、數學運算和邏輯推理等素養，對學生的綜合能力要求較高.

二、優秀試題分析

通過分析近年來高考數學中三角函數與解三角形的試題，可以看到該部分試題對學生素養的考查比較全面，關注對數學基本技能和基本思想方法的考查，關注對數學問題解決的通性、通法的考查，重視邏輯推理，關注全局變化. 具體表現為：關注數形結合和整體代換，關注“角”“名”“次”恒等變換，關注公式、方程、函數之間的轉換，關注三角綜合性問題的全局分析，關注多角度運用三角函數解題，等等.

三、復習備考建議

1. 夯實基礎，搭建牢固的知識體系

三角函數與解三角形有三部分基本內容. 一是任意角三角函數的定義和三角函數的圖象與性質. 在學習這部分內容時，教師應該幫助學生將單位圓和三角函數圖象結合起來全面理解三角函數，建構研究三角函數問題的思路，有效提升學生的直觀想象素養. 二是三角恒等變換，公式多，從和 （差） 角公式和倍角公式的推導過程可以發現，這些公式之間存在緊密的邏輯關系，且推導過程中蘊含豐富的思想方法. 這部分內容對學生邏輯推理素養的提升起到了重要的作用. 三是解三角形，需要學生具備直觀想象和數學建模素養. 以上所述三部分內容相互關聯. 除了知識內容的聯系外，教師還應該幫助學生建立研究三角函數與解三角形的邏輯體系. 教師不但要清晰地知道研究內容，更要知道研究方法，掌握研究脈絡，這樣才能有效培養學生研究問題的能力.

2. 加強聯系，形成解題的基本策略

聯系既有學習內容上的聯系，也有解題分析時的聯系. 從內容上聯系，即三角函數與解三角形內部知識的聯系. 例如，在解三角形中研究角時需要具備三角恒等變換知識，研究三角函數性質時需要聯系導數知識研究函數局部性質. 解題能力是邏輯推理和數學運算等素養的綜合體現，不能一蹴而就，而要在平時一步步形成. 在三角恒等變換時，觀察角、函數名、次數，聯系條件與解題目標;在研究三角函數性質時，運用整體代換思想刪繁就簡，將復雜式子的研究化歸到研究較為簡單的 y = sin x ， y = cos x ， y = tan x的圖象與性質. 這些都是對學生解題綜合能力的考查，也是對學生全面掌握數學知識、應用數學思想的考查. 復習時，教師應該多講聯系 （知識的聯系和方法的聯系），從而幫助學生形成對三角函數與解三角形內容的全面認識.

3. 回歸教材，尋找試題的命制原型

《普通高中數學課程標準 （2017年版）》解讀中提到：數學本質不在于它的結論，而在于它的思想. 在學習三角函數與解三角形知識時，學生會認為這部分內容公式多，難記憶;方向多，難化簡. 這就需要教師在教學中用數學的思維方法和推理方法幫助學生學習，讓學生在掌握“四基”的基礎上提升“四能”. 例 如，在教學“誘導公式”的內容時，借助單位圓，抓住兩角終邊的對稱關系和任意角三角函數的定義，既能讓學生掌握具有特殊關系的兩個角的三角函數特征，即誘導公式的內容，也能獲得研究特殊幾何位置關系的方法. 在研究解三角形的兩個基本工具——正弦定理和余弦定理時，平面向量的工具性優勢更能體現，人教A版新教材直接將這部分內容作為平面向量的應用部分的內容. 這些是教材上的知識講解素材，利用好這些素材，可以有效提升學生的數學核心素養. 如果在平時的教學中注意挖掘教材中的素材，就可以對三角函數與解三角形內容在高中數學教學中的地位有整體的認識. 教材上的習題也是可以挖掘的素材. 例如，2022年全國新高考Ⅰ卷第18題雖然難度較大，但是在各版本教材中都可以獲得原型. 可見，體現重要知識、重要方法和關鍵思想方法的試題在教材中都有所體現. 教師要帶領學生厘清、想透這樣的題目. 在新授課教學時，就應用好教材及其習題，打好基礎;在高考第一輪復習時，還應該不脫離教材，再次將教材中的優秀素材融入復習環節，如必要的定理推導要重新回顧，好的習題要進行變形、聯系形成問題鏈，使學生獲得新的收獲.

在高考復習教學中，教師要有大局觀和全局觀，不脫離教材，取之用之，著重提升學生研究數學問題的能力，從而更好地幫助學生學習數學，提升學生的數學核心素養.

四、典型模擬題1. （多選題） 圖 1 是函數 f （x） = sin（ ） ωx + φ （ω > 0）的部分圖象，則下列說法正確的有（ ）

參考文獻：

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