高中新增投影向量的合理性與可行性分析

何嘉穎

摘? 要] 投影向量是課標新增的概念. 在新人教A版教材中，不僅新增了投影向量，而且投影的含義也發生了改變. 文章陳述了投影與投影向量含義的變化情況，對新增的投影向量的合理性進行了分析，為投影與投影向量概念的教學提供了建議.

[關鍵詞] 投影;投影向量;數量積;正交分解;直角坐標系

[?]投影與投影向量含義的變化

《普通高中數學課程標準（2003年版）》對投影的要求是“體會平面向量的數量積與向量投影的關系”[1];《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對投影以及投影向量的要求是“通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義”“了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義”[2].

課本定義1（舊人教A版教材，簡稱“舊教材”）：設a，b是兩個非零向量，θ是a與b的夾角，

a

cosθ叫做向量a在b方向上的投影，OA=

a

cosθ[3].

課本定義2（新人教A版教材，簡稱“新教材”）：設a，b是兩個非零向量，=a，=b，過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A，B，得到，稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量[4].

對比新舊課程標準以及人教A版教材，主要有兩處變化：

一是課程標準的變化.《普通高中數學課程標準（2003年版）》對投影概念的理解本身沒有具體要求，僅對投影與數量積的關系有要求，即對投影的要求更側重投影與數量積的關系，而非投影本身. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》對投影以及投影向量本身有明確要求，其中包括對投影概念的要求以及對投影……