巧借數學錯誤 實現教學相長

劉雁冰

[摘? 要] 錯誤往往是伴隨著學習自然生成的，是無法避免的，因此師生要學會接受錯誤、利用錯誤，將其轉化為學習的動力和成長的鋪路石. 在面對錯誤時不要過于急躁，應給學生一定的時間進行總結和反思，引導學生自己發現并解決問題，從而培養學生良好的學習習慣和思維習慣，促進學習能力提升.

[關鍵詞] 錯誤;反思;習慣;能力

隨著知識容量和難度的不斷增加，學習過程中出錯的概率勢必有所提升，因此面對錯誤時，師生應有秉持寬容、客觀的態度，避免因過度焦慮而影響教學效果. 錯誤在學習過程中是必不可少的，是教學中寶貴的生成性資源，只有經歷一些錯誤，才能順利地走出思維誤區，進而培養思維的深刻性[1]. 其實，在教學過程中，教師也會犯錯，即使教學經驗豐富的教師，面對動態生成的課堂時也會出現瑕疵和不足. 因此，面對“教”與“學”中的不足時不應急于全盤否定，而應進行深刻的反思，從而找到錯誤的根源，只有這樣才能合理地進行開發和利用，將“不足”轉化為優質的教學資源，使教學能力和教學素養得到優化和提升. 因此，教學中不僅要正視錯誤，而且要合理地應用錯誤，進而實現“教”與“學”的共同進步. 基于此，筆者結合“教”與“學”中的錯誤，淺談幾點應對策略，僅供參考！

[?]預設錯誤，鼓勵質疑

教師也會犯錯，有時可能是故意而為之，有時可能是受到了外界的干擾，有時可能是課前準備不充分，等等. 出現錯誤后不要急于改正，有時可以借題發揮，進而培養學生的質疑能力;也可以借助教師的錯誤讓學生面對錯誤時能夠更加自信和從容，從而將錯誤轉化為學習的動力和學習的信心.

例1 已知函數f（x）=x2+1，x≥0，

1，x<0， 則滿足不等式f（1-x2）>f（2x）的x的范圍是________.

在復習“函數與不等式”時，教師精選了一道高考真題作為例題，進而通過真題的滲透樹立學生解題的信心. 在本題的求解過程中，教師故意“犯錯”，引導學生去發現、去質疑，從而在激發學生學習熱情的同時，培養思維的深刻性.

解：畫出函數的圖像，如圖1所示. 由于函數f（x）是單調遞增的，所以不等式f（1-x2）>f（2x）等價于1-x2>2x，解得-1-

問題求解后，學生都沒有表示異議，并且認為應用了數形結合思想，解題思路清晰，運算簡單，可見學生都掉入了教師預設的“陷阱”.

師：解題后，我們還需要做什么呢？

生齊聲答：檢查！

師：很好！現在把檢查的任務交給大家來完成. （教師引導學生借助檢查“回頭望”，從而發現問題）

生1：上面的答案有問題. x=-2不是不等式f（1-x2）>f（2x）的解.

師：很好，生1檢查時應用了特殊值法，是一個好辦法. 那么問題到底出現在哪里呢？（教師引導學生一起探究）

生2：函數f（x）在R上不是單調遞增的，其在區間[0，+∞）上才是單調遞增的，因此不等式f（1-x2）>f（2x）和不等式1-x2>2x并不是等價的，應加上條件1-x2>0，即-1

師：說得非常好，看來是我做題時考慮不周.

在學生的潛意識里認為教師是不會犯錯的，教材更不會有問題，于是很少對教材內容和教學過程產生疑問，即使有異議也是從自身尋找原因，即使不能說服自己也不會去質疑，而是用教師或教材的解題方法來替代原有的解題思路，然沒有釋疑地盲目套用可能會造成更多的錯誤，得不償失. 因此，教師可以讓學生多經歷一些糾錯的過程，打破學生對教師和課本的過度迷信，讓學生敢于質疑，敢于提出新思路、新見解，從而將錯誤轉化為學生不斷前行的動力.

[?]自我發現，全面提升

教學中容易發現，同樣的教學內容，同樣的教師，其在不同班級講授往往會得到不同的教學效果，這也就印證了課堂是動態的、是變化的. 教學中教師不能忽視學生，不能忽視課堂的生成性資源，這往往是高效課堂的最佳切入點. 對于同一問題若觀察的角度不同，勢必會出現不同的解法;對于同一知識點若出發點不同，勢必會出現不同的結果;若師生對待問題的態度不同，其最終效果也會有所不同. 因此教學中不能搞“一刀切”，不能用一成不變的眼光去看待問題、看待學生，那樣勢必會影響學生的積極性. 教學中教師應鼓勵學生積極思考，允許學生自由地表達，同時容許學生犯錯，這樣既能發現學生的閃光點，又能找到學習中存在的不足，從而通過思考、交流、爭辯、糾錯等學習過程，讓學生對相關知識形成更加深入的、全面的、系統的認識，進而彌補學生認識的不足，促進學習能力提升[2].

例2 已知函數f（x）=（a，b是常數，a≠0）滿足f（2）=1，且方程f（x）=x有唯一解，求函數f（x）的解析式.

解：由f（x）=x，即=x，得（ax+b）x=x，整理得ax2+（b-1）x=0（a≠0）. 又方程f（x）=x有唯一解，所以Δ=（b-1）2=0，即b=1. 又f（2）==1，解得a=. 所以函數f（x）的解析式為f（x）=.

師：請大家分析一下，以上求解過程是否存在問題呢？（在本題的評講過程中，教師“以生為主”，讓學生自主糾錯）

生3：問題應該出現在去分母的過程中，由=x得到（ax+b）x=x，在分式中ax+b≠0，然解題中忽略了這一點，因此不是等價轉化.

生4：表達不夠嚴謹，需要說明當b=1時，方程ax2+（b-1）x=0（a≠0）才有唯一解x=0，這個解滿足ax+b≠0. 加上這個說明，應該就沒有問題了.

師：經過生3和生4的補充，這樣是不是就沒有問題了呢？（教師給學生充足的時間再探究）

生5：由方程f（x）=x有唯一解，Δ=（b-1）2=0不一定成立，還可能是Δ=（b-1）2>0，此時b≠1，方程ax2+（b-1）x=0（a≠0）有兩個解，x=0，x=≠0. 其中x=一定是方程的解，說明x=0不是方程的解，是增根，這時ax+b=b=0;又f（2）==1，所以a=1，此時f（x）==1（x≠0）. 所以函數的解析式應該是兩個，即f（x）=或f（x）=1（x≠0）.

這樣學生經歷思考、補充、再探究，對問題又有了更深層的理解. 在該教學環節中，教師將問題交給學生進行自主探究，學生獲得了更多展示的機會，學生學習的積極性被迅速激發了出來，有利于課堂效率提升. 因此，當學生犯錯時，教師不要急于指正，應該給學生一定的時間進行自我反思、自我糾錯，即使不能順利訂正，然因其經歷了反思的過程，同樣可以達到深層理解的目的，這樣就將錯誤轉化為了學生成長路上的鋪路石.

[?]治好病根，避免再錯

在學習過程中容易發現，很多學生對錯誤的認識不夠充分，常籠統地將錯誤歸結為“馬虎”或“不會”，并未對錯誤追根溯源，從而使得學生解題時常出現“一錯再錯”的現象. 其實，產生錯誤的原因是各種各樣的，有可能是基礎知識掌握不牢，有可能是運算出現了問題，有可能是知識出現了負遷移，也有可能是解題時過度依賴直覺思維，忽視了嚴謹的邏輯推理，從而使解題思路出現了偏差，等等. 因此，教學中要引導學生正確地認識自己的錯誤，這樣才能及時地查漏補缺，從而培養學生嚴謹的思維習慣.

例如，在計算中誤認為lg（x+y）=lgx+lgy，=a+b等，表面上看是馬虎所致，然實質上是受思維定式的影響，出現了知識的負遷移. 對待類似的錯誤，絕不能一點帶過，應重點進行剖析，通過特例進行重點說明，讓學生留下深刻印象，避免再錯. 又如，學生判斷函數的奇偶性時，常因忽視定義域而造成錯解，出現這一錯誤的根源大多是學生對函數奇偶性的概念理解不清.

總之，在糾錯過程中，只有找到真正的錯因，才能有針對性地查漏補缺，從而通過知識的梳理和強化避免再錯.

[?]實時診斷，實時評價

教學中，部分教師為了趕進度，常對學生的錯誤置之不理，這樣因矯正不及時而出現了理解偏差，久而久之讓學生形成了錯誤意識，后期進行“回爐改造”往往需要更多的時間，得不償失. 其實，對于學生的錯誤應該越早糾正效果會越好，這樣可以有效避免出現“夾生飯”的現象. 因此，教學中當學生的理解出現偏差時，教師要及時進行引導;當學生的作業出現錯誤時，也要及時做出評價. 當然，因為學生的學習能力不同，作業中出現錯解的情況也會有所不同，對于典型問題教師要集中進行講解，對于個別問題教師可以通過“互評互助”的方式進行評價，這樣不僅可以有效保證課堂時間不被浪費，而且通過合作可以實現優勢互補，有助于學生的共同進步. 總之，對于錯誤的診斷和評講要保證實時性，避免積少成多而讓學生產生厭學情緒，影響學生學習的信心.

總之，教師要合理地利用好這些寶貴的錯誤資源，結合學生反饋及時調整教學方案，以此提高教學質量，提升學習能力，實現教學相長.

參考文獻：

[1]?孫四周. “錯誤”是一種重要的教學資源[J]. 中國教育學刊，2012（03）：79-81.

[2] 李允. 教學錯誤資源：理性認識與有效開發[J]. 中國教育學刊，2011（04）：40-42.