諳命題之道　明解題之本

林春明　張如椿

摘 要：本文針對2021-2022學年佛山第一次質量檢測導數壓軸題給出解題策略剖析、命制策略揣析、命題手法綜析、新題命制探析，幫助學生有效應對此類高考問題的求解，在過程中感知數學命題之道，感悟數學解題之本.

關鍵詞：命題;函數;導數;解題;不等式

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（202222-0002-03

1 試題呈現

題目 已知函數f（x=1aex-1+x，其中a∈R且a≠0.

當a=1或0

本題是2021-2022學年佛山第一次質量檢測第22題的第（2）問，試題設問清新自然又頗具特色，立意樸實又不失新穎.以含參不等式的證明進行呈現，乍看平淡無奇，細細品味后卻感覺內涵豐富.本題在考查基礎知識的同時，注重考查能力，將知識、能力與素質的考查融為一體，突出考查數學理性思維，著重考查對數學本質的理解，真正全面考查數學素養.

2 解題策略剖析

命題組采用分類討論來求解.

當a=1時，利用常見的不等式ex≥1+x得到f（x≥1+x-1+x，要證明f（x≥12x，只需證明1+x-1+x≥12x，只需證明1+12x≥1+x，此不等式兩邊平方顯然成立.

當0

令φ（x=1aex-12ax-（ex-12x，得φ′（x=（1-a（1aex+12>0，φ（x在[-1，+SymboleB@上是單調遞增函數.所以φ（x≥φ（-1=（1-a（1ae-12≥0，故1aex-12ax≥ex-12x.要證明f（x≥

12ax，只需證明ex-12x≥1+x，此即a=1的情形，已證成立.

綜上，當a=1或0

在充分理解上述過程的基礎上，筆者發現，利用不等式ex≥1+x，可將待證不等式f（x≥12ax轉化為1+xa-1+x≥12ax，經過適當代換，并結合基本不等式，即可將問題輕松求解，更彰顯了問題的本質.

另解 （以直代曲）由ex≥1+x得1aex≥1+xa.故只需證明1+xa-1+x≥12ax.

所謂命題如制謎，解題如猜謎，至此，我們不難揣析到：命題者將一個常規的問題，通過逐步包裝轉換，將其變為一個新穎的試題.

而作為解題者的我們，則需通過轉換手段，將一個陌生的問題，不斷地轉換到我們熟悉的情境和問題，就可輕松將其解決.

4 命題手法綜析對上述命題手法作進一步的綜合分析，我們可得到關于此類問題的一般化命制思路.

（1選擇構成不等式模型的基本素材ex，1+x及x.

（2將基本素材進行線性組合，構成不等式原始模型.本題所構成的不等式原始模型為1aex-

b1+x≥cx（其中a>0）.

（3利用不等式ex≥1+x實現以直代曲，得到不等式原始模型的簡化.本題得到不等式1+xa-b1+x≥cx.

（4作代換1+x=t，實現第三步所得不等式形式的進一步簡化.本題得到（1-act2-abt+ac≥0（1-ac≥0，ac≥0）.

（5利用基本不等式將第四步所得不等式進一步簡化，消去變量t，尋找使不等式成立的充分條件.本題中（1-act2+ac≥2ac（1-act，則只需2ac（1-act-abt≥0，只需2ac（1-ac≥ab，只需c（1a-c≥b2.

（6對參數賦值，使得不等式中僅剩下一個參數.本題中令b=1，c=12a，由c（1a-c≥b2可得a≤1，此時c=12a≤12，符合1-ac≥0，ac≥0.從而得到使不等式exa-12ax≥1+x成立的一個充分條件是0

（7進行合理設問.

由此步驟，可產生與此類似的一系列試題.

5 新題命制探析

基于上述試題命制手法，筆者嘗試命制一些新題.

新題1 已知函數f（x=1a（2+x-12alnx，其中a∈R且a≠0.

（1）討論f（x的單調性;

（2）證明：當0

為了體現兩個設問的連貫性，問題（1）為問題（2）的證明提供線索，可嘗試微調f（x的形式，將不等式lnx≤x-1蘊含其中.如令f（x=1a（2x-2-12alnx，當a=2時，f（x=（x-1-lnx，f（x≥0，即lnx≤x-1.從而可命制如下試題.

新題2 已知函數f（x=1a（2x-2-12alnx，其中a∈R且a≠0.

（1）討論f（x的單調性;

（2）證明：當0

隨著構成不等式模型的基本素材的調整，參數取值的不同設定，函數f（x形式的改變，問題設問的不同鋪陳，根據上述命題思路，還可命制出各類相關試題，此處不再一一闡述.

數學解題有五重境界，從低階到高階分別是：“正確解題”“一題多解”“多題一解”“發現定理”“自己編題”.通過上述基于命題視角的試題研究，我們實現了解題策略分析、命題手法剖析、新題命制探析，對試題有了更深入的認識，在這個命題探究過程中，提升了自己的解題境界.

參考文獻：

[1] 何燈.一道高考導數壓軸題的命制手法[J].中學數學研究，2021（06：17-19.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：林春明（1963.11-，男，福建省福清人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

張如椿（1980.3-，男，福建省福清人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

基金項目：福建省教育科學“十三五”規劃2019年度教育教學改革專項課題“新高考背景下情境化試題設計的導向和規律研究”（項目編號：jjgzx19-017）.[]