立足經驗生長　實現解答自然

摘 要：本文以一道解析幾何求定值問題為例，講述例題講解要立足學生的經驗，從學生的最近發展區出發，讓問題的解答過程流暢、自然，易于學生理解.

關鍵詞：解析幾何;經驗;特例;最近發展區

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0089-03

解析幾何為每年高考考查的熱點內容，解析幾何的大題基本上以準壓軸題的形式出現，常與其他知識交匯命題，主要考查學生的邏輯推理能力和數學運算能力.由于解析幾何大題涉及的知識面廣、數學運算復雜等原因，導致學生在解答這類題時不知道從哪里下手.因此教師在講解這類問題時一定要立足學生的經驗，從學生最近發展區出發，使得問題的解答流暢、自然，易于學生理解.

1 例題呈現

例題 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為33，且橢圓C過點P1，233.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設橢圓C的右焦點為F，直線l與橢圓C相切于點A，與直線x=3相交于點B，求證：∠AFB的大小為定值.

以上是資料提供的解答過程，問題（1）比較基礎，學生都能掌握.對于問題（2），學生看完答案以后都有著同樣的疑問：我怎么就能想到去計算FA·FB呢？難道靠猜測嗎？如果猜測錯誤，怎么辦呢？

資料提供的解答是通過計算得到FA=-3km-1，2m，FB=2，3k+m，然后由FA·FB=0，得∠AFB=90°，即∠AFB的大小為定值.這樣的解答過程跳躍性很強，脫離學生的經驗，未從學生的最近發展區出發，學生很難接受.為了易于學生理解，筆者在本例題第（2）問的講解過程中進行了以下兩種途徑的嘗試.

2 途徑嘗試

2.1 從特殊情況出發

根據題意從特殊情況出發得出一個值（此值一般就是定值），然后證明定值，即將問題轉化為證明待證式與參數（某些變量）無關.

②當直線l的斜率存在且不為0時，設直線l的方程為y=kx+m，直線x=3與x軸交于點E，如圖2所示.以下同資料提供的解答.

綜上，∠AFB的大小為定值.

點評 處理問題（2）時，從直線l的斜率為0開始，此時的計算比較簡單，通過計算得到所求角∠AFB=90°.這樣給解答提供了方向，使得學生明白接下來只要證明當直線l的斜率存在且不為0時，能得到∠AFB=90°即可.可以通過計算FA·FB=0，得∠AFB=90°.也可以借助三角形相似證明.過點A作AH⊥x軸于點H，如圖3所示.通過計算可得AH=2m，FE=2，HF=1+3km=m+3km，EB=3k+m.因為AHFE=HFEB=1m，所以

2.2 從問題結論出發

將要證明的結論用動點坐標或動線中的參數表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值.

點評 解法2的思維非常簡單，因為要證明∠AFB的大小為定值，所以只需要根據已知條件計算出cos∠AFB的值為定值即可.

3 結論拓展

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，設橢圓C的右焦點為F，直線l與橢圓C相切于點A，與直線x=a2c相交于點B，則∠AFB的大小為90°.

4 總結反思

4.1 夯實基礎知識

平時的教學要立足于課本，強化基礎知識.教師應從教材的例題和習題中尋找試題的“根”，加強基礎知識的復習，要列出具有典型性和代表性的題目進行講解分析和訓練，而且還要進行一題多變的訓練.通過對題目的式子、圖形、條件、結論、表達方式等的變化轉換，促進學生觸類旁通，鞏固基礎知識.

4.2 強化通性通法

在數學教學中，重視通性通法的使用和理解，通過通性通法揭示問題的本質.只有真正重視通性通法教學，才能使得學生抓住數學問題的本質，學生的核心素養才能得到提高.如解法1中，從直線l的斜率為0時開始研究，這樣便于學生理解.

4.3 反思解題過程

在日常的教學中教師要指導學生如何進行反思，幫助學生養成反思的習慣.教師可以和學生一起回憶問題的解答過程，找出問題所在，幫助學生分析不能順利答題的原因，提出改進方法.教師要帶領學生立足已有的經驗，從他們的最近發展區出發，思考有沒有更簡潔、更佳的解決問題的途徑.學生在教師的帶領反思中領悟方法，學會真正的反思，養成反思的好習慣.在反思中提升自我，提高解題效率.

參考文獻：

[1]姬彩生.高考數學圓錐曲線解題技巧研究[J].數理化解題研究，2022（10）：18-20.

[2] 金家慶.探究高中數學解題思路以及解題能力的訓練[J].數理化解題研究，2022（12）：50-52.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：管良梁（1982.12-），男，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：2021年度合肥市教育科學規劃課題“核心素養導向下的高中數學單元教學課例研究”（項目編號HJG21098）.