探討有約束條件下水平盤上物體做圓周運動的臨界條件

鄧柳詠　李廣凌

摘 要：在水平面做圓周運動的物體是常見的現象，比如：水平面轉彎的汽車，水平轉盤上的物體等等，同時，研究勻速轉動的水平盤上的物體運動特點也是高考中比較重要的考題設計模型，比如2014·新課標全國卷Ⅰ第20題.在高考復習備考中，加強學生對水平轉盤上圓周運動規律的認識是非常必要的.本文通過分析一道關于勻速轉動水平盤上物體運動的臨界條件來得到一個有用的結論，并探討可以推廣的分析方法.

關鍵詞：臨界狀態;水平圓盤的圓圍運動;系統質心;隔離體

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0110-03

題目 如圖1所示，在勻速轉動的水平盤上，沿半徑方向放著用細線相連的質量分別為mA和mB的物體A 和B;它們分居圓心兩側，與圓心距離分別為RA和RB，且RA

該題目主要是考查有約束條件下勻速轉動水平盤的臨界狀態的分析，解題的關鍵是判斷發生滑動時作離心運動時的狀態，究竟是物體A離心運動，從而拉動物體B，還是物體B離心運動，從而拉動物體A.

思路分析 假設兩物體剛好發生滑動時，A作離心運動，B作近心運動，列出各自的牛頓第二定律方程，聯立解出對應的角速度，并討論對應的運動狀態是否存在.圖2

分析過程 假設兩物體剛好發生滑動時，由于繩子的作用，A作離心運動，B作近心運動， A和B受到圓盤的摩擦力為滑動摩擦力，分別表示為fA=μAmAg和fB=μBmBg.對A和B受力分析，如圖2所示，應用牛頓第二定律：

（1）mARA-mBRB>0，則假設是成立的，得到臨界角速度大小表達式為：

討論 對比③式和⑥式，可以得出下列可以直接應用的結論：

（1）系統剛好發生滑動時，物體的運動狀態由mARA-mBRB的數值決定.若mARA>mBRB，則物體A離心運動，從而拉動物體B;若mARA

（2）臨界角速度的大小既與系統 “質心”的軌道半徑有關，也與接觸面的粗糙程度、接觸面的正壓力有關，可以簡單表示為ω=μAmAg+μBmBgr.

應用 如圖3所示，勻速轉動的水平圓盤上放有質量分別為2 kg和3 kg的小物體A、B，A、B間用細線沿半徑方向相連.它們到轉軸的距離分別為rA=0.2 m、rB=0.3 m.A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍.g取10 m/s2，現極其緩慢地增大圓盤的角速度，當兩物體剛好發生滑動時，圓盤的角速度約為.

解答 由前文分析可知，先找到系統 “質心”的軌道半徑r，由于A、B是分布在轉軸的同側，則有系統“質心”軌道半徑為r=mARA+mBRB=1.3kg·m，由③式或⑥式，可寫出系統的臨界角速度大小的表達式為ω=μAmAg+μBmBgr，代入數據可得ω=20013rad/s，約為ω≈4rad/s.

概而論之，對于有約束條件的水平面的圓周運動，通過引入系統 “質心”的軌道半徑r，其臨界條件可以簡單表示為ω=μAmAg+μBmBgr，其中r由mARA和mBRB的數值關系以及A、B兩個物體處于轉軸的同側或異側（相對于轉軸的空間位置）共同決定.同時若A、B兩個物體處于轉軸的異側，根據mARA和mBRB的數值關系可以簡單地判斷發生滑動時的運動狀態.

深入探討 回歸問題可以知道，上文得到的臨界角速度的表達式屬于我們常說的“二級結論”.在應用時，“二級結論”有特定的情景要求，使得其適用性受限.為了解決適用性受限的問題，現在利用上文的提到的分析方法來分析水平盤上作圓周運動的其他種情況來來深入探討一般的分析方法.

如圖4所示，粗糙水平圓盤上，可視為質點的木塊A、B疊放在一起，放在水平轉臺上隨轉臺一起繞固定轉軸勻速轉動，A的質量為mA，B的質量為mB.已知A、B到轉動軸的距離為r，A與B間的動摩擦因數為μAB，B與轉臺間的動摩擦因數為μ，（最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g）.現緩慢地增大圓盤的角速度，請分析需要什么條件才能使A與B保持相對靜止.

結合情景觀察，可能出現兩種不同的運動情景：

（1）物體A和B同時向外作離心運動.

（2）物體A作離心運動，物體B還可以跟隨圓盤作圓周運動.

分析方法 隔離分析物體A和B的受力情況，假設可能存在情景（2），列出各自的牛頓第二定律方程組，并結合情景所隱含的數量條件，解出特定的數量關系，并討論對應運動狀態是否存在.解答過程如下：

若物體A作離心運動，物體B還可以跟隨圓盤作圓周運動，從動力學角度可得到以下動力學條件：fAB=μABmAg，f<μ（mA+mB）g，結合條件和聯立⑦⑧，可得到：此運動狀態的動力學條件為：μ>μAB，對應的臨界角速度為ω=μABgr.同理可得，若物體A和B同時向外作離心運動，動力學條件和臨界角速度分別為：μ<μAB，ω=μgr.聯系單個物體在水平圓盤上做圓周運動的情況，上述情況的結論與單個物體的情況是一致的，但對一些學生的理解來說，“疊體型”問題由于有一定的關聯性，學生很難理解其中的邏輯關系和深刻的物理含義.經過上述處理后，我們可以知道“疊體型”物體在水平面作圓周運動的臨界角速度條件與單個物體是一樣的，都可以用公式ω=μgr來描述，而發生相對滑動的物體則由接觸面的摩擦因數來決定.

綜上所述，通過對物體在水平面上作圓周運動臨界條件的分析，可以歸納出分析臨界條件的方法，其可以大致分為三大部分：結合觀察分析可能存在的運動情況，并寫出對應的動力學條件;隔離分析在不同運動情況下各個物體的受力特點，列出對應的牛頓第二定律方程組;聯立解出牛頓第二定律方程組，并討論數量關系的物理意義.將上述方法應用在不同的情景，如“疊體型”和有約束條件的物體.“疊體型”物體在水平面上作圓周運動的問題，雖然物體間相互影響，但其臨界角速度還可以簡單表達為ω=μgr，且接觸面的摩擦因數決定發生相對運動的物體.有約束條件的物體，引入系統 “質心”的軌道半徑r，其臨界條件可以簡單表示為ω=μAmAg+μBmBgr，并分析系統 “質心”的軌道半徑r的特點來判斷發生相對運動的情景.

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[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：鄧柳詠（1981.12-），男，廣東省湛江人，碩士，中學一級教師，從事中學物理教學研究.