半偏法測電表內阻的“根”“本”“關鍵”

摘 要：半偏法測電阻的方法，涉及到歐姆定律、串并聯電路的特點及系統誤差分析，此法操作簡單，而誤差分析是此法之關鍵.按常規，若誤差允許的范圍是4%，由相對誤差的定義δ=|R測-R真R真|×100%（根據本實驗的原理，R測=R2，R真=R21-R2/（R1+r），電路圖如圖1所示）可知，若僅考慮因R2的并入造成的系統誤差，按半偏法得出R測=R2的條件是R1+r>24R2.半偏法測電表內阻是歐姆定律、串并聯電路基本特點及系統誤差分析在電路實驗中的具體體現.其中，歐姆定律是本實驗之“根”， 串并聯電路分壓分流原理是本實驗之“本” ，系統誤差的主要來源是本實驗之“關鍵”.只有抓住“根”和“本”，才能理解本實驗的原理，只有抓住“關鍵”所在，才能確保實驗成功.此法操作簡單，精度較高，但是必須知其然更要知其所以然，才能有效應考.

關鍵詞：半偏法;歐姆定律是根;串并聯是本;系統誤差是關鍵

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0116-03

教輔資料《走進云南師大附中》高三月考試題精選匯編的主編是云南師范大學附屬中學物理教研組，此書第92頁第9題和第10題分別是2020屆第8次月考理綜23題和2020屆第9次月考理綜23題，考的都是半偏法測電流表的內阻，連續兩次月考都沒有突破原理，只是機械地考查步驟，得出結果，全然不顧結論成立的條件.也許命題老師并未吃透本實驗之關鍵，偏離了新課標要求的“核心素養”，不利于培養學生尊重科學、善于思考的優秀品質，故以此文，提醒廣大師生，注意此實驗的“根”“本”“關鍵”所在.

1 電流半偏法測電流表內阻原題再現：《走進云南師大附中》高三月考試題精選匯編（2020屆第8次月考理綜23題）：有一個電流表，它的滿偏電流為Ig=1mA，如果要將它改裝成3A量程的大量程電流表.

（1）先用圖1所示電路測量此電流表的內阻，操作如下，請你將空缺內容補充完整.（①②填寫電路圖上對應的電學元件的字母符號）

①將R1調至最大，閉合開關S1，斷開開關S2，調節R1，使電流表的指針偏轉到最大量程處;

②閉合S2，調節R2，使電流表指針半偏;

③讀出電阻箱R2的阻值為600Ω.

（2）應將阻值為R=Ω的電阻與該電流表并聯.就能將此電流表改裝成量程為3A的電流表，（結果取一位有效數字）

顯然，命題老師的問題（1）的命題意圖是想考查“半偏法測電流表內阻”這一方法，卻忽視了該方法可行的條件：并聯R2前后，干路電流幾乎不變，即是（R1+r）Rg.由于未給出電源電動勢，若認為Rg=R2，顯然是不可靠的.比如：若電源用的是一節干電池，則電流表滿偏時的回路總電阻為R=EIg=1500Ω，若認為Rg=600Ω，則R1+r=900Ω，值只是Rg的1.5倍，并非是遠大于Rg，故這里的半偏法也就失去了前提條件，只能利用歐姆定律通過計算求得Rg.由E=Ir（Rg+R1+r）與E=

12IgRg+（12Ig+12IgRgR2）（R1+r），可得

Rg=R2（R1+r）（R1+r）-R2，若電源用的是一節干電池，則電流表滿偏時R1+r+Rg=EIg=1500Ω，若電流表半偏時R2=600Ω，利用Rg=R2（R1+r）R1+r）-R2可知：Rg無解！由Rg=R2（R1+r）R1+r）-R2及R1+r+Rg=1500Ω可知，要Rg有解，R2應小于375Ω！由Rg=R2（R1+r）R1+r）-R2=R21-R2R1+r可知，只有當R1+rR2時，Rg才近似等于R2.

那么，如何界定“遠大于”的條件呢？這得根據實驗允許存在的精度要求來界定.按常規，若誤差允許的范圍是4%，由相對誤差的定義δ=|R測-R真R真|×100%

（根據本實驗的原理，R測=R2，R真=R21-R2/（R1+r））可知，若僅考慮因R2的并入造成的系統誤差，按半偏法得出R測=R2的條件是R1+r>24R2.

其實，只要把握好串并聯電路的基本特征和歐姆定律，就不會忽視半偏法的前提條件，還能根據本實驗的原理來減小誤差，也可以利用半偏法的“根”“本”“關鍵”，對實驗器材的選擇上做一些改進，以提高測量的精度.比如：下面兩種電路，都能消除因RB的并入所造成的系統誤差.

圖2中當支路電流表的示數是干路電流表示數的一半時就有Rg=RB.

圖3中當與RB串聯的電流表示數與另一個電流表示數相等時就有Rg=RB， 所以抓“根”抓“本”抓“關鍵”，是正確選擇實驗器材的保證，萬變不離其宗，各種測量方法都必須先抓“根”“本”，才能抓住“關鍵”：系統誤差，以達到最佳的實驗效果.

2 電壓半偏法測電壓表內阻

“半偏法測電壓表內阻”的電路圖如圖4所示， 操作步驟：

（1）按圖連線;

（2）將R1的滑動觸頭滑到最左端，電阻箱R2的阻值調到0，閉合開S1;

（3）緩慢移動R1的滑片，直到電壓表的指針指到滿刻度處;

（4）調節電阻箱R2，直到電壓表指針指到半刻度處;

（5）若RVR1左，則可以認為RV=R2.

那么，如何判斷RVR1左呢？

滑動變阻器的阻值是不可知的，“遠大于”該如何認定呢？其實，只需利用電源電動勢及電壓表的量程，以及滑動變阻器的總電阻（銘牌上有標注），即可估算電壓表滿偏時的R左 ，再根據電壓表半偏時電阻箱的讀數R2，即可估算出R2與R左的倍數關系，根據誤差允許的范圍，就可斷定此法是否可行.現舉例如下：

設所要測的電壓表量程為0.3V，所用電源為內阻不計電動勢為6V的電源，滑動變阻器R1的總阻值為100Ω，電壓表可視為理想的電壓表，則當其滿偏時，與之并聯部分的滑動變阻器R1的阻值為50Ω;若電阻箱阻值調到3000Ω時，電壓表半偏，則R左為R2的1.7%，若測量誤差允許的范圍是4%以內，則可認為此法可行，及RV=R2=3000Ω. 這是粗略的估算方法，可能還是會有學生不能理解，畢竟電壓表內阻并非無窮大，但我們只需回到并聯電路的基本特征，寫出并聯電阻的表達式就能明白.令電阻R1和R2并聯且R2>R1，則并聯后的等效電阻為R并=R1·R2R1+R2=R11+R1R2 ，若誤差在4%以內可用R1近似替代R并（也就是把R2視為斷路），根據相對誤差的定義，由δ=R1-R并R并×100%<4%可知R2應大于25R1， 若誤差要求控制在1%以內可用R1近似替代R并，則R2應大于100R1 .也就是說，R2是否遠大于R1，取決于實驗本身對精度的要求.

本實驗中，若電壓表串聯了R2后，當電壓表半偏時R2連入電路中的值是滑動變阻器滑片左側電阻R左的25倍以上，即可認為系統誤差小于4%，若這一誤差是本實驗允許的誤差范圍，則RV測=R2.然而，根據串聯電路分壓原理，R2串入電路時使滑動變阻器左側電阻兩端電壓增大，即電壓表半偏時，R2兩端的電壓就大于了12U滿

，這就意味著，RV測=R2>RV真，即測量結果偏大了.

本實驗要嚴格算出相對誤差比較繁瑣，但只要讓學生明白，兩個電阻并聯，如果大電阻是小電阻的25倍以上，相對誤差就在4%以內，大電阻即可視為斷路，則本實驗半偏法的原理也就突破了.

若希望消除串入R2后造成的系統誤差，可對實驗做如下改進：

圖5、圖6兩圖中，電壓表V1、V2完全相同，則當U1=2U2時（須同時調節R1、R2使V1滿偏、V2半偏），則RV=R2.

那么，改進后的實驗方法是否就完全消除了本實驗的系統誤差呢？當然沒有，該方案只是消除了原方案中因R2的串入引起了并聯部分的電壓升高造成的系統誤差，而電壓表和電阻箱的精度也會造成系統誤差.事實上，我們在調節過程中也是不能絕對達到U1=2U2的，實驗的難度會比原方案大一些.實際上，原方案“半偏法測電壓表內阻”的實驗，若R2是R左的100倍以上（相對誤差小于1%），可能電壓表的精度已經測不出因R2的串入造成的系統誤差了，這種方案測得的電壓表內阻的精度已經較高了，而且操作也比較簡單.明確了“R2遠大于R1”的含義后，對這種測量方法的原理、誤差分析及改進方案也就清晰明了了.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：陳必興（1978.3-），男，云南省昭通人，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究.