促進(jìn)高層次理解 強(qiáng)化統(tǒng)計(jì)學(xué)意義

仲秋月

一、憑借直覺體驗(yàn)，感受代表性

【教學(xué)片段1】

1. 課前活動(dòng)。

教師組織男女生代表玩套圈游戲。

學(xué)生議一議：怎樣做到游戲公平？

2. 情境創(chuàng)設(shè)。

師：數(shù)學(xué)可以幫助我們解決很多實(shí)際問題。

出示情境圖：四個(gè)小組進(jìn)行套圈比賽，每人套15個(gè)。哪一組套得準(zhǔn)些？（圖略）

師：老師用條形統(tǒng)計(jì)圖表示出第一組和第二組的套圈情況，你能看懂嗎？（圖1）

3. 交流思辨。

師：第一組和第二組比，哪一組套得準(zhǔn)些？你是怎么想的？

生：第二組，因?yàn)榈诙M中的1號(hào)隊(duì)員套中了10個(gè)！

師：真厲害，我宣布第二組獲勝！

生：我不同意，雖然1號(hào)隊(duì)員套了10個(gè)，但是其他隊(duì)員都套得比較少。

師：1號(hào)隊(duì)員能代表第二組的水平嗎？

師：看來，套中10個(gè)或者套中4個(gè)，這些成績(jī)都只能代表某個(gè)隊(duì)員的水平，不能代表這一組的整體水平。那該怎么辦？

生：把第一組、第二組套中的總和算出來比一比。

師：第一組總成績(jī)是28個(gè)，第二組總成績(jī)是30個(gè)，能比出結(jié)果了吧？

生：我不同意，第二小組多了一個(gè)隊(duì)員，假如再加上一個(gè)隊(duì)員，總數(shù)還會(huì)更多，比總數(shù)不公平！

4. 自主探究。

師：選其中一個(gè)隊(duì)員的成績(jī)比不行，比總數(shù)也不行，看來這個(gè)比較整體水平的代表數(shù)需要我們自己來創(chuàng)造。哪個(gè)數(shù)能代表第一組的整體水平呢？哪個(gè)數(shù)能代表第二組的整體水平呢？小組討論，把想法記錄在學(xué)習(xí)單“探究一”中。

師：請(qǐng)問你找到了哪個(gè)數(shù)代表第一組的成績(jī)呢？

生：我找的數(shù)是“7”。（圖略）

師：你們能看懂他圖上畫的兩個(gè)箭頭嗎？

生：他的意思是把2號(hào)同學(xué)套中的9個(gè)里面拿一個(gè)給1號(hào)，再拿一個(gè)給4號(hào)。

師：為什么要給1號(hào)和4號(hào)呢？

生：因?yàn)樗麄兲字械谋容^少。

師（演示移動(dòng)過程）：這時(shí)候4個(gè)隊(duì)員套中的個(gè)數(shù)變得怎樣？

師：用“7”這個(gè)數(shù)代表第一組的整體水平，可以嗎？你們有沒有其他意見？

揭示：“7”就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

【賞析】平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量，其意義在于刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)（可能碰巧與某個(gè)數(shù)據(jù)相等），但又與每一個(gè)原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對(duì)兩組數(shù)據(jù)的總體水平進(jìn)行比較，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)槠骄鶖?shù)具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。劉老師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生感興趣的游戲情境，選擇兩組精心設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)，通過動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)和思辨追問，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生直觀體驗(yàn)到每一個(gè)數(shù)據(jù)都難以代表整體水平，必須創(chuàng)造一個(gè)“新數(shù)”。

二、通過問題引領(lǐng)，理解虛擬性

【教學(xué)片段2】

1. 對(duì)話交流。

師：巧了，3號(hào)隊(duì)員的成績(jī)就是7個(gè)，這兩個(gè)“7”一樣嗎？

生：不一樣，平均數(shù)“7”代表的是第一組的整體水平，3號(hào)隊(duì)員的“7”只代表他自己一個(gè)人的成績(jī)。

2. 獨(dú)立探究，深化認(rèn)知。

學(xué)生獨(dú)立探究第二組的平均數(shù)。

師：我們找到了第二組的平均數(shù)“6”，可是第二組沒有哪個(gè)隊(duì)員投6個(gè)呀？

生：“6”是平均數(shù)，并不是哪個(gè)隊(duì)員投中的個(gè)數(shù)。

師：“6”是哪幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)？

生：“6”是“10、4、7、5、4”這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

生：平均數(shù)“6”原來是沒有的，是我們通過移多補(bǔ)少得到的。

師：平均數(shù)“6”能代表1號(hào)隊(duì)員的成績(jī)嗎？能代表2號(hào)隊(duì)員的成績(jī)嗎？它究竟代表的是哪個(gè)同學(xué)的成績(jī)呢？

生：代表的是第二組所有同學(xué)的成績(jī)。

生：代表了這一組的整體水平。

生：“6”不是原來5個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)數(shù)，只是代表這些數(shù)的數(shù)。

師：明白了，平均數(shù)并不是原來數(shù)據(jù)中的哪一個(gè)，而是我們創(chuàng)造出來的、代表整體水平的數(shù)。有時(shí)可能碰巧會(huì)和原來數(shù)據(jù)中的某一個(gè)相等，也可能和原來數(shù)據(jù)中任何一個(gè)都不相等。

【教學(xué)片段3】

出示第四組學(xué)生套圈成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖。（隱去具體數(shù)據(jù)，僅保留平均線，圖略）

師：4個(gè)人的平均成績(jī)是5個(gè)，是不是每個(gè)隊(duì)員都套中5個(gè)呢？

生：不可能，因?yàn)檫@個(gè)“5”是平均數(shù)。

生：有可能其中有隊(duì)員套中5個(gè)，但不會(huì)全部都套中5個(gè)。

師：有沒有可能這4個(gè)隊(duì)員都套中5個(gè)呢？

生：也有可能，但這種情況比較特殊。

生：有可能有人套中5個(gè)，也有的比5個(gè)多，也有的比5個(gè)少。

【賞析】平均數(shù)是在描述一組原始數(shù)據(jù)的過程中產(chǎn)生的，它不是客觀存在的，具有虛擬性。如何讓學(xué)生理解“平均數(shù)只刻畫整體水平而不是真正的其中某一個(gè)數(shù)據(jù)”呢？劉老師通過層層遞進(jìn)的問題引領(lǐng)，幫助學(xué)生在描述數(shù)據(jù)、進(jìn)行整體水平對(duì)比的過程中深化對(duì)“平均數(shù)是一種統(tǒng)計(jì)量”的本質(zhì)的認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度學(xué)習(xí)平均數(shù)，強(qiáng)化平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

三、巧妙設(shè)置變式，體會(huì)敏感性

【教學(xué)片段4】

1. 探究活動(dòng)。

出示第三組學(xué)生套圈成績(jī)。（各個(gè)隊(duì)員的成績(jī)?yōu)椋?、5、9、5、7。圖略）

引導(dǎo)學(xué)生自主探索“先合后分”的計(jì)算方法。

2. 設(shè)置變式。

師：第三組還有一位6號(hào)隊(duì)員沒有出場(chǎng)呢！瞧，他套中了幾個(gè)？（課件出示6號(hào)隊(duì)員成績(jī)?yōu)?）

師：這一組的平均數(shù)還是“6”嗎？你是怎么想的？

生：還是6，因?yàn)榧悠饋淼目倲?shù)不變，還是30個(gè)。

師：總數(shù)不變，平均數(shù)也不變！

生：不對(duì)，平均數(shù)會(huì)變！

師：總數(shù)沒有變，平均數(shù)怎么就變了？

生：因?yàn)槿藬?shù)變了，多了6號(hào)隊(duì)員，所以我們計(jì)算的時(shí)候要總數(shù)除以6！

師：增加了一名隊(duì)員，怎么平均數(shù)變少了呢？

生：6號(hào)隊(duì)員投中了0個(gè)，他拉低了整體水平。

師問生：現(xiàn)在你覺得平均數(shù)還是“6”嗎？

師：每一個(gè)數(shù)據(jù)都會(huì)對(duì)整體的平均數(shù)產(chǎn)生影響。

【教學(xué)片段5】

1. 設(shè)疑激趣。

出示：第四組學(xué)生套圈成績(jī)的平均數(shù)是“5”，請(qǐng)問4號(hào)隊(duì)員套中了幾個(gè)？（圖2）

2. 設(shè)置變式。

師：假如4號(hào)隊(duì)員投了10個(gè)，平均數(shù)還是“5”嗎？

師：比畫一下，現(xiàn)在平均數(shù)會(huì)怎樣？

學(xué)生用手勢(shì)表示平均數(shù)升高。

生1：現(xiàn)在平均數(shù)是“6”。

師：為什么會(huì)變成“6”？

生2：因?yàn)?號(hào)隊(duì)員增加了4個(gè)，這4個(gè)正好平均分給一人一個(gè)，所以平均數(shù)就增加了“1”。

師：如果4號(hào)隊(duì)員的成績(jī)變少了，平均數(shù)會(huì)改變嗎？

師：看來平均數(shù)很“調(diào)皮”，會(huì)隨著數(shù)據(jù)的變化而發(fā)生變化。

【賞析】平均數(shù)與該組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)相關(guān)，稍有風(fēng)吹草動(dòng)就能帶來平均數(shù)的變化，這就是平均數(shù)的敏感性。這一抽象的性質(zhì)如何讓小學(xué)生理解呢？劉老師巧設(shè)極端數(shù)據(jù)，通過適當(dāng)?shù)摹盐毡举|(zhì)的追問，讓學(xué)生進(jìn)一步深化對(duì)平均數(shù)性質(zhì)的認(rèn)知。借助直觀的條形統(tǒng)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生“看著圖想”或“通過計(jì)算想”，學(xué)生思維上、情感上經(jīng)歷了從一籌莫展到茅塞頓開的過程，對(duì)平均數(shù)的意義以及性質(zhì)有了更深的體會(huì)。

四、基于真實(shí)數(shù)據(jù)，解釋合理性

【教學(xué)片段6】

練習(xí)1：全國(guó)人均月收入為3683元，蘇州市人均月收入為6917元。

師：你知道這兩個(gè)平均數(shù)表示什么意思嗎？你有什么想法嗎？

練習(xí)2：評(píng)價(jià)一座城市的健康水平，不是看醫(yī)院治了多少病人，做了多少手術(shù)，而是看老百姓的平均壽命和生活質(zhì)量。“以健康為中心”的理念，已融入蘇州市各項(xiàng)政策當(dāng)中。2019年中國(guó)人均壽命為77.3歲，蘇州市人均壽命為83.82歲，蘇州市該指標(biāo)處于持續(xù)向上攀升的良好態(tài)勢(shì)。

師：找到平均數(shù)了嗎？你有什么想法？

師：我們生活在蘇州，是不是每個(gè)人的壽命都能達(dá)到83歲？

練習(xí)3：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，鐵路部門對(duì)學(xué)齡前兒童實(shí)行免票乘車，即一名成年人可以攜帶一名身高不足1.2米的兒童免費(fèi)乘車。1.2米這個(gè)數(shù)據(jù)可能是如何得到的？據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前蘇州市6歲男童身高的平均值是117厘米，女童身高的平均值是116厘米。請(qǐng)根據(jù)上面的信息解釋免票線確定的合理性。

【賞析】敘述出概念的定義，或者會(huì)計(jì)算，不等于真正理解某個(gè)概念，還要看能否在不同情境中運(yùn)用概念。由于平均數(shù)這個(gè)概念對(duì)小學(xué)生而言是非常抽象的，平均數(shù)的背景也很復(fù)雜，如果學(xué)生能在稍復(fù)雜的背景下運(yùn)用平均數(shù)的概念解決問題，說明學(xué)生初步理解了平均數(shù)。因此，劉老師給出了三組復(fù)雜程度不同的真實(shí)數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生借助前面所學(xué)的平均數(shù)的意義和性質(zhì)來解釋這些數(shù)據(jù)，體會(huì)其合理性，知道什么情況下用平均數(shù)做判斷、做預(yù)測(cè)的結(jié)論更好，在真實(shí)問題情境中加深對(duì)平均數(shù)作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的意義與價(jià)值的理解。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東延路實(shí)驗(yàn)學(xué)校責(zé)任編輯：王彬）