構建幾何模型　秒殺中點問題

蔡忠平

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由中點可以聯想等腰三角形“三線合一”、直角三角形斜邊上的中線、三角形的中位線等知識. 李英豪老師在《中點用法》直播課中，構建了與中點相關的幾何模型，能夠幫助同學們根據不同條件作出恰當的輔助線，從而解決與中點相關的幾何問題.

模型構建

模型一：中點 + 等腰，如圖1，考慮等腰三角形“三線合一”的性質;

模型二：中點 + 直角，如圖2，聯想直角三角形斜邊上的中線的性質;

模型三：中點 + 中點，如圖3，聯想三角形的中位線的性質;

模型四：中點 + 平行，如圖4，構造全等三角形;

模型五：中點 + 垂直，如圖5，聯想垂直平分線的性質.

模型應用

例1 如圖6，在△ABC中，AB = AC，點D在邊AB上，點E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF = EF. 求證：BD = CE.

解析：由DF = EF，聯想“中點 + 平行”模型.

作DG[?]AC，如圖6，可證△DGF≌△ECF，得到DG = EC.

由AB = AC，可得∠B = ∠ACB，由DG[?]AC，得∠DGB = ∠ACB，

則∠B = ∠DGB，所以DB = DG.

由等量代換可證得BD = CE.

例2 如圖7，在?ABCD中，點N為BC邊的中點，M為AB邊上的點，P為CD邊上的點，連接MN，NP，且MP⊥CD. 求證：MN = NP.

解析：由?ABCD和BN = CN，聯想“中點+平行”模型.

如圖7，延長AB，PN交于點G，

易證△PCN≌△GBN，可得PN = GN.

由AB[?]CD，得∠GMP = ∠DPM = 90°.

聯想“中點 + 直角”模型可得MN = [12]PG = NP.

例3 如圖8，點B為線段DC上的一點，分別以DB，BC為直角邊作等腰直角三角形DBE和等腰直角三角形ABC，連接AE，取AE的中點F，連接DF，CF，試判斷DF與CF有怎樣的關系.

解析：由題意知∠EDB = ∠ACB = 90°.

由點F是AE的中點，聯想“中點 + 平行”模型.

延長CF，DE，交于點G，

可證△ACF≌△EGF，得AC = EG，CF = GF，從而可證DC = DG.

聯想“中點 + 等腰”模型，可證得DF⊥CF，DF = CF.

例4 如圖9，在四邊形ABCD中，∠DAB = 90°，∠DCB = 90°，點E，F分別是BD，AC的中點，AC = 6，BD = 10，求EF的長.

解析：連接AE，CE，由∠DAB = ∠DCB = 90°，點E是BD的中點，聯想“中點 + 直角”模型，可得EA = EC = [12]BD. 由點F是AC的中點，聯想“中點 + 等腰”模型，可得EF⊥AC. 在Rt△AEF中，根據勾股定理，可得EF = 4.

分層作業

難度系數： ★★★解題時間：15分鐘

1. 如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°， BC = 3， AC = 4，點D為AB的中點，過點D作DE⊥AB，交BC的延長線于點E，則CE的長為. （答案見第37頁）

2. 如圖11，點M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，且AB = 10，MN = 3，BC = 15，則△ABC的周長為. （答案見第37頁）

3. 如圖12，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，BC = 4，E，F分別是BC，AC的中點，延長BA到點D，使AD = [12]AB， 連接DE，DF，則DF的長為. （答案見第37頁）