理解中位線定理的生成

林龍海

摘要：現行義務教育數學課程標準中指出，數學教學中，要把每節課教學的知識置于整體知識的體系中，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，要處理好整體與部分之間的關系，某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次加以理解.鑒于此，筆者圍繞三角形的中位線定理，以及三角形中位線定理在不同知識系統中的安排，解讀人教版教材編排意圖，在理解數學知識點所處的知識網絡背景，理解學生已有的認知經驗、認知結構的基礎之上，優化教學過程，生成有效課堂.

關鍵詞：三角形中位線;教材編排;教學處理

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）20-0005-03

1 三角形中位線定理的源起

三角形中位線的相關知識起源于古代兩河流域古巴比倫時期（公元前1800-公元前1600）現實生活中土地大小的財產分割.三角形中位線等于底邊的一半，這一性質早為三千多年前的古人熟知.再到公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里德在《幾何原本》卷六里給出了更一般的命題：“將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點連線段平行三角形的底邊”.

了解數學史幫助我們了解人類的認知經驗的形成過程，可見基于生產生活的需要，數學早期要解決的問題都是與面積大小財產分割有關的經濟問題.而變換是現代幾何的核心思想. 2001年發布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗版）》，第一次把圖形變換納入義務教育數學課程內容，《義務教育數學課程標準（2011年版）》則在“圖形的變化”這個板塊里，整合了圖形變換的課程內容.從2001年開始，各版本的初中數學教科書都把圖形變換作為幾何的重要內容組織進課程資源，這說明從2001年開始，在幾何內容中滲透變換思想成為我國幾何課程教學的重要價值取向.

2 三角形中位線定理在不同版本教材中的編排

在國內現行的義務教育九個版本的數學教材中，北京師范大學出版社在第六章《平行四邊形》中安排三角形的中位線;湖南教育出版社八年級下冊第2章《四邊形》在平行四邊形、中心對稱和中心對稱圖形之后安排三角形的中位線;河北教育出版社八年級下冊第二十二章《四邊形》在平行四邊形的性質和判定之后安排三角形的中位線;浙江教育出版社八年級下冊第4章《平行四邊形》在中心對稱和平行四邊形的判定定理之后安排三角形的中位線;江蘇科學技術出版社八年級下冊第9章《中心對稱圖形-平行四邊形》在圖形的旋轉，中心對稱，平行四邊形，特殊的平行四邊形之后安排三角形的中位線;青島出版社八年級下冊第6章《平行四邊形》在平行四邊形性質和判定以及特殊的平行四邊形之后安排三角形的中位線定理.

這六種教材在相應的數學知識的系統編排中主要是在平行四邊形的知識網絡中安排三角形中位線定理，其中發現中位線性質主要是測量，觀察，操作的途徑，證明方法主要是平行四邊形法.另外，上海科學技術出版社八年級下冊第19章《四邊形》在平行四邊形內容中，用平行四邊形的判定和性質先證明平行線等分線段，再得出經過三角形一邊中點與另一邊平行的直線必平分第三邊的推論，最后利用同一性證明得到三角形中位線定理.而華東師范大學出版社（華師大版）則是在九年級上冊第23章《圖形的相似》的成比例線段，相似圖形，相似三角形之后安排中位線，用相似三角形的判定和性質來證明三角形中位線定理.證明的方法有歐式面積法，同一法，平行四邊形法，反證法等.

2.1 歐式面積法

如圖1，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，連接BE、CD，則S△BCD=S△BCE=12S△ABC，所以DE∥BC;另一方面，S△BDE=12S△ABE=12S△EBC，而△BDE和△EBC是等高的，所以DE=12BC.

2.2 同一法

如圖2，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，過D作BC的平行線，交AC于E′，則AE′=E′C，因此DE、DE′重合，故DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，所以DEBC=ADAB=12，從而得到DE=12BC.

2.3 平行四邊形法

如圖3，延長DE到F，使FE=DE，連接CF.易證△ADE≌△CFE，所以∠A=∠ECF，AD=CF.可得CF∥AB，CF=BD.所以四邊形DBCF是平行四邊形，從而得到DE∥BC，DE=12BC.

以上大都是在一般化的平行線分線段成比例公理認識上，發現并提煉出特殊化的推論，三角形中位線性質，而平行四邊形法主要是依據平行四邊形的判定和性質來證明三角形中位線定理，其中不同版本的證明差異也只是細枝末節上的差異.比如人民教育出版社（下文簡稱人教版）的證明用圖4，內核是平行四邊形法，證法稍簡潔，但證明對學生圖形分解能力要求更強.

3 理解人教版教材三角形中位線定理的編排意圖義務教育階段，教材的編排體系直接影響學生的認知結構，了解學生已有的認識，是理解學生認知的生長點.在小學階段，學生對幾何圖形面積的認識鏈是從單位正方形開始，然后擴充到一般的正方形，再伸展到長方形，割補到平行四邊形，再分切成三角形，因此小學生是先認識了平行四邊形的面積S=ah，再獲得三角形的面積公式S△=12ah.人教版初中幾何教材的內容編排結構是怎樣的？七年級上冊第四章《幾何圖形初步》安排幾何基本概念，直線、射線、線段、角.在七年級下冊第五章《相交線與平行線》中編排了命題與定理，平移.八年級上冊《三角形》《全等三角形》之后，第十三章《軸對稱》安排了軸對稱與軸對稱圖形，等腰三角形，等邊三角形，最后安排了含30°角的直角三角形，該圖形性質是利用等邊三角形的軸對稱性一分為二成兩個含30°角的直角三角形，發現特性并可以利用這樣的整體與部分的轉化構造圖形并證明該性質.八年級下冊《勾股定理》之后安排第十八章《平行四邊形》18.1研究平行四邊形性質和判定之后編排三角形中位線定理的內容.九年級上冊第二十三章圖形變換《旋轉》，第二十四章《圓》，九年級下冊第二十七章《相似》27.3安排圖形位似變換.

可見人教版幾何內容的編排是圖形變換與圖形相伴而行，呈雙螺旋式上升的結構.在平行四邊形章節安排三角形中位線定理，是從圖形變換的角度進行編排，教學研究離不開研究教材，應是見樹木更見森林，見森林才見樹木下整體構建知識體系.圖形變換體現從整體到部分，部分到整體的辯證統一思想.理解數學，理解學生，更好的理解教材編排意圖，那么對比學生在八年級上冊認識并證明含30°角的直角三角形性質的過程，是在軸對稱變換下的生成過程中發生的，以及小學階段的學生已有的幾何圖形認識結構，學生的已有經驗也支持他們繼續從圖形變換的土壤中生長發現、理解并證明三角形中位線定理.

4 基于理解人教版教材的教學處理

基于理解人教版教材的編排意圖，從有利于學生形成研究一個幾何圖形的完整經驗考慮出發，三角形中位線定理的教學設想是緊扣圖形變換之中心對稱，抓住平行四邊形與三角形之間整體與部分的關系，由學生直觀觀察發現特殊事物，學生再嘗試描述特殊事物時抽象精煉圖形構件，對新構件下定義，用新定義描述圖形特性.在邏輯推理證明三角形中位線性質時，由部分還原整體，通過平行四邊形法證明，獲得定理.

如圖5，有硬紙板做的一個平行四邊形，把一根細木條固定在平行四邊形的對角線的交點O處，使細木條可以繞著點O轉動.撥動細木條，發現了什么，并證明你的發現.（該習題源自人民教育出版社義務教育教科書數學八年級下冊教材51頁，是教材原題，可借由GeoGebra軟件或幾何畫板軟件呈現）

由學生通過直觀觀察發現特殊（圖6），精煉事物抽離本質，描述屬性，這里用數學的語言描述事物是難點（圖7），但恰是能力打磨點，必要的經驗積累點.

學生嘗試定義三角形的中位線（圖7），用數學語言描述三角形中位線性質，教師幫助. 然后在公理、定理體系下邏輯推理證明三角形中位線性質時，還原整體，構造平行四邊形（圖8），用平行四邊形法證明獲得定理. 之后的教學，或是討論證明細節（如圖9，圖10），或是引入歐式面積法，都可以因時因地因人制宜靈活處理.

5 教學研究啟示

教育教學工作者在一線經常遇到數學教學中的各種問題，糾其原因是復雜的，既有學生認知水平的差異，家庭教育環境的差異，也有教師課堂組織教學的過程中沒有找準學生知識的生長點，學生獲得新知的體驗過程不夠深刻等原因.“四個理解”需要教師切實地進行教學研究工作，而教育教學研究的施力點在于系統地理解教材，研讀教材的整體架構，知識間的邏輯關系、重要細節等等，這樣才能接近數學的原貌理解數學，這樣才能走近學生，才能把數學教學工作做到實處.

參考文獻：

[1] 李霞，汪曉勤.三角形中位線定理的歷史[J].數學教學月刊，2016（9）：58-60.

[2] （古希臘）歐幾里得.蘭紀正，朱恩寬譯.幾何原本[M].西安：陜西科學技術出版社，2003：153-154.

[3] 吳增生.三角形中位線定理教材設計之我見[J].中國數學教育，2018（12）：3-5.

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