等邊三角形“手拉手”模型構造及解題策略研究

陳杏

[摘 要]文章結合實例對等邊三角形“手拉手”模型問題進行分析，并概括幾種常見的解題策略。

[關鍵詞]等邊三角形;“手拉手”模型;構造

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2022）17-0016-03

等邊三角形“手拉手”模型是指由兩個共頂點的等邊三角形構成的基本圖形，其在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形。如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，所以稱這個模型為“手拉手”模型，此模型經常在幾何綜合題中出現。構造等邊三角形“手拉手”模型常與平行、旋轉、截長補短等輔助線作法相結合。

一、從教材母題抽象出模型，厘清模型問題本質

很多考試題目的母題都來源于教材，從教材習題提取模型、類比模型和模型變式都是考試命題的方向。三角形全等證明是初中數學教學的重點內容之一，其難點在于要求學生從復雜的圖形中抽象出全等三角形。

[例1]（人教版八年級上冊第83頁第12題）如圖1，[△ABD]，[△AEC]都是等邊三角形，求證[BE=DC]。

學生大多能準確地判斷出本題是利用三角形全等證邊等的問題，但不一定能馬上給出解題思路。筆者提示學生將共頂點的等邊三角形（如圖2）抽取出來，學生很快就發現它們形成“手拉手”模型，并找到一對全等三角形，從而得出證明。在面對多個等邊三角形時，教師可以引導學生尋找解決問題的模型——“手拉手”模型，使學生更好地理解和應用幾何模型思想，提高解題效率和正確率。

二、作平行線構造等邊三角形“手拉手”模型

有時兩個等邊三角形不共頂點，這時可以通過作輔助線，構造共頂點的等邊三角形，從而得到“手拉手”模型。

[例2]在等邊三角形[ABC]中，[E]是邊[AC]上一定點，[D]是直線[BC]上一動點，以[DE]為一邊作等邊三角形[DEF]，連接[CF]。

（1）如圖3，若點[D]在邊[BC]上，求證：[CE+CF=CD]。

（2）如圖4，若點[D]在邊[BC]的延長線上，請探究線段[CE]，[CF]與[CD]之間存在怎樣的數量關系，并說明理由。

雖然有教材母題的經驗，但學生發現本題沒有全等三角形，也找不到“手拉手”模型。對此，筆者引導學生添加輔助線。學生嘗試作平行線，有學生過點[E]作[BC]邊的平行線，雖然構造出共頂點的兩個等邊三角形，但和題目要證明的結論聯系不大。筆者引導學生過點[D]作[AB]邊的平行線[DM]，發現不但可以得到第三個等邊三角形，而且其與其中一個等邊三角形共頂點，“手拉手”模型出現（如圖5），證明[△DME≌△ECF]，將[CF]轉換為[EM]，即可得出證明。學生有了經驗，很快可以在圖4中作平行線，構造“手拉手”模型（如圖6），從而得出證明。在等邊三角形中，作一邊的平行線構造新的等邊三角形是常用的輔助線作法，找準過哪個點作平行線，即找到了模型，可使問題迎刃而解。

三、旋轉構造等邊三角形“手拉手”模型

旋轉也是構造等邊三角形“手拉手”模型的重要途徑。在旋轉變換中，要注意可以旋轉的前提條件，即有邊相等旋轉即重合，旋轉特殊度數后有特殊三角形產生。有時還要注意證明旋轉后點的共線。

[例3]如圖7，等邊[△ABC]中， [P]為[△ABC]外一點，連接[AP]、[BP]、[CP]，[∠APB=∠BPC=60°]，求證：[AP+PC=BP]。

對于線段和差的證明問題，通常把不在一條直線上的兩條線段放在一條直線上，因此，可以將[△APC]繞點[A]順時針旋轉60°（如圖8），[AC]與[AB]重合，但點[P]是否在[BP]上需要證明。利用旋轉后[∠AP′B=120°]，[AP=AP′]，旋轉角[∠PAP′=60°]，因此[△AP′P]是等邊三角形，所以 [∠AP′P=60°]，得到[∠AP′B+∠AP′P=120°+60°=180°]，從而得到[B]、[P′]、[P]三點共線，由此，就構造了共頂點的等邊三角形[△AP′P]和等邊三角形[△ABC]形成的“手拉手”模型。

四、截長補短構造等邊三角形“手拉手”模型

截長補短是證明三角形全等的重要輔助線作法，對構造等邊三角形“手拉手”模型也同樣好用。

[例4]如圖9，在等腰[△ABC]中，[120°<∠BAC<180°]，[AB=AC]，[AD⊥BC]，且交[BC]于點[D]，以[AC]為邊作等邊[△ACE]，直線[BE]交直線[AD]于點[F]，連接[FC]交[AE]于點[M]。（1）求[∠AFC]的度數;（2）探究[FE]，[FA]，[FC]之間的數量關系，并證明你的結論。

由（1）可解得[∠AFC=60°]，這是構造等邊三角形的有利條件，筆者鼓勵學生在長線段[FC]上截取[FG=FA]，從而得到等邊三角形[△AFG]與等邊三角形[△AEC]構成了共頂點的“手拉手”模型（如圖10）。

[例5]如圖11，在[△ABC]中，[AB=AC]，[∠ADB=∠BAC=60°]，求[∠ADC]的度數。

這道題不僅有等邊三角形，還有含60°角的三角形[△ABD]，筆者引導學生思考：能否嘗試補短？[∠ADB]的兩邊中，[BD]比較短，可將短邊[BD]延長至[E]，使[DE=AD]（如圖12），從而形成等邊三角形[△AED]，進而構造了共頂點[A]的等邊三角形[△ADE]和等邊三角形[△ABC]的“手拉手”模型。

五、作等邊三角形構造等邊三角形“手拉手”模型

當圖形中只有一個等邊三角形時，也可以在它的一個頂點作另一個等邊三角形，從而構造等邊三角形“手拉手”模型。

[例6]如圖13，[E]為等邊[△ABC]內一點，[∠BEA=90°]，[∠AEC=150°]，求證：[BE=2EC]。

本題可以[EC]為其中一邊在其右側構造等邊[△EDC]，這樣[△EDC]就與[△ABC]構成共頂點[C]的“手拉手”模型（如圖14）。

六、“手拉手”模型的應用

筆者在幾何綜合題的教學實踐中，提出了“四步驟幾何模型研究”的教學策略（如圖15），以幫助學生實現對模型的構造和對綜合問題的解決。

下面以一道模擬題為例說明這個教學策略。

[例7]如圖16，[△ABC]和[△CDE]都是等邊三角形，且點[A]、[C]、[E]在一條直線上，可以證明[△ACD≌△BCE]，則[AD=BE]。

（1）將圖16中的[△CDE]繞點[C]旋轉到圖17，猜想此時線段[AD]與[BE]的數量關系，并證明你的結論。

（2）如圖17，連接[BD]，若[AC=2 cm]，[CE=1 cm]，現將[△CDE]繞點[C]繼續旋轉，則在旋轉過程中，[△BDE]的面積是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值;如果不存在，請說明理由。

（3）如圖18，在[△ABC]中，點[D]在[AC]上，點[E]在[BC]上，且[DE∥AB]，將[△DCE]繞點[C]按順時針方向旋轉得到[△CD′E′]（使[∠ACD′<180°]），連接[BE′]，[AD′]，設[AD′]分別交[BC]，[BE′]于[O]，[F]，若[△ABC]滿足[∠ACB=60°]，[BC=3]，[AC=2]。求[BE'AD'] 的值。

分析：

第一步，標圖——顯示圖形的特征。

引導學生標注圖形中相等的線段和角（如圖19），將圖形的特征顯性化，為進一步找到等邊三角形“手拉手”模型做好鋪墊。

第二步，析圖——抽象幾何模型。

通過圖形標注，學生很容易發現[△ACD≌△BCE]的條件，即[AC=BC]，[∠ACD=∠BCE]，[CD=CE]（有共頂點的等邊三角形），從而發現[AD=BE]，這對解決第（1）問起到提示作用。如圖17所示的圖形雖然[A]、[C]、[E]三點不共線，但學生仍能發現等邊三角形“手拉手”模型（如圖20），[△ABC]和[△CDE]都是等邊三角形，所以[AC=BC]，[DC=EC]，[∠ACB=∠DCE=60°]，[∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD]，即[∠ACD=∠BCE]，在[△ACD]和[△BCE]中，[AC=BC]，[∠ACD=∠BCE]，[DC=EC]，[△ACD≌△BCE]，[AD=BE]。

第三步，構圖——構造幾何模型。

在第（2）問中，將[△CDE]繞點[C]繼續旋轉，當[△CDE]旋轉到[BC]與[C]到[DE]的高在同一條直線上時，[△BDE]面積最大（如圖21），此時，教師應引導學生利用旋轉將面積問題轉化為“手拉手”模型，再由線段相等得到[△BDE]是等腰三角形，從而求出[△BED]面積的最大值。因為[DE]邊上的高為[2+32] cm，所以[△BDE]面積的最大值為[12×1×2+32=1+34（cm2）]。

第四步，變圖——利用圖形變化進行模型變化。

在第（3）問中，要求出[BE′AD′]的值，可抽象出兩個相似模型。因為[DE∥AB]，所以[△CDE∽△CAB]，利用平行線得到的[A]型相似如圖22所示，則有[CDCA=CECB]，由[△CDE]繞點[C]旋轉得到[△CD′E′]，[CE′=CE]，[CD′=CD]，[∠DCE=∠D′CE′=60°]，所以[CD′CA=CE′CB]，則[CD′CE′=CACB]，又因為 [∠DCE+∠BCD′=∠D′CE′+∠BCD′]，即[∠ACD′=∠BCE′]，所以[△ACD′∽] [△BCE′]，從而得到“手拉手”的相似模型（如圖23），即[BE′AD′=CBCA=32=62]。

在一道幾何綜合題中往往會涉及幾個不同的模型，在教學中教師應引導學生熟悉模型，熟記相關結論，從題目中快速抽象出幾何模型，從而提高學生的解題速度和效率。

從本文的解法歸納中可以看出，即使是比較復雜的圖形問題，所用到的也是簡單的基礎知識，這就要求教師在平時的教學和備考中，從幾何圖形的形成、變化過程入手進行研究，教給學生幾何模型的構建方法，提高學生解題的正確率，增強學生的解題能力。

（責任編輯 黃桂堅）