HPM融入導數教學的研究

江佳慧

[摘 要]HPM指數學史與數學教育研究。HPM已成為數學教育的重要研究方法之一。將數學史融于數學教學，可以從不同方面對高中數學的教學起到借鑒作用。文章主要通過文獻研究法和案例分析法，探究數學史教學與微積分的發展史，分析高中導數教學存在的困難，將HPM融入導數教學。

[關鍵詞]HPM;導數;教學

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2022）17-0001-04

一、研究的目的和意義

第一，學習導數能夠豐富學生解決問題的方法，鍛煉學生思考問題的能力。

在解答導數相關問題時，學生需要靈活運用各種解題方法，全面掌握導數的所有知識點。在學習導數時，學生要轉變原有的數學觀，從不變到變化、從有限到無限、從靜態到動態、從常量到變量。

第二，微積分中包含極限思想、函數思想和數形結合思想等。在高中階段教授微積分可以鍛煉學生的探索意識和思維能力，提高學生解決問題的能力。

研究我國教育史可以發現，數學教學內容有限，發展十分緩慢。起初只教授算術，之后才在中學教材中逐步添加幾何、代數、數列和不等式等內容，微積分這一部分知識在很長一段時間里都沒有被添加到高中教材中，高考也未涉及，只有一些學有余力的、有興趣、有天賦的學生把微積分作為數學學科競賽的參考資料去學習。這主要是因為部分研究學者認為，微積分中的思想方法對于高中生來說是難以接受的，提早讓他們接觸這一部分內容會讓他們心有余而力不足，逐漸失去探究解決數學問題的興趣。但是，隨著我國義務教育的全面普及，學生學習能力的提高，學習資源與學習環境的逐步優化，導數作為微積分的一部分基礎知識被納入教學大綱，成為高中數學選修教材內容中的一部分，目的是做好高中數學導數與高等數學微積分的銜接，鍛煉學生探索的意識，提高學生探究問題和解決問題的積極性，優化學生解決問題的方法。

第三，從數學文化價值看，可讓學生通過自主探索數學的歷史發展過程，體會數學的文化內涵，激發學生的民族自豪感。

培養什么人，是教育的首要問題[1]。把立德樹人作為學校的立身之本，是時代的要求。

微積分的基礎內容導數被寫進了高中數學教材，高中生首次接觸到新的領域，面對新的數學思想和數學方法，肯定會對它的來歷和作用產生疑惑，它是怎么來的？有什么用處？在我國古代，劉徽提出割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”[2]其中涉及的分割思想、極限思想等都是微積分的雛形。雖然微積分的雛形在我國古代早已出現，但由于我國自古以來都是農業生產國，數學發展進程相比西方較慢。

了解數學史，一方面可以提升學生的民族自豪感、自信心，另一方面可以鼓勵學生學好數學，增強學生的愛國主義精神。數學教師不能單純地教授課本知識，要在課本知識的基礎上，延伸數學思想，拓展傳播數學文化。

筆者基于HPM設計高中微積分教學，將數學史和數學問題貫穿整個教學活動，引導學生自主探索、主動學習。

二、導數的概念教學設計

環節一：數學史情境引入

導入：17世紀，牛頓熱衷于研究物體的運動規律，他遇到這樣一個運動：一輛馬車向前跑，路程[s]和時間[t]滿足[s=t2]。

分析：馬車1 s走完1 m，2 s走完4 m，3 s走完9 m，速度越來越快，顯然是做變速運動，在牛頓之前研究物體的運動規律的數學家能夠算出一段時間內的平均速度，例如從第5秒到第6秒，小車從25 m處走到36 m處，這段路程的平均速度[v=st=11 m/s]，但牛頓并不滿足于算平均速度，他更想知道既然是變速運動，那么速度是如何變化的，也就是每一個時刻的瞬時速度。

問題1：小車在第5秒的瞬時速度是多少？

分析：第5秒經過的時間為0，經過的路程還是0。牛頓將問題看成動態的，從平均速度的原理出發，逐步縮短時間間隔，計算第5秒到第5.5秒的平均速度：[v2=5.52-525.5-5=（5.5+5）（5.5-5）5.5-5=5.5+5=10.5（m/s）]。

問題2：10.5仍是平均速度，這么做有什么意義？

分析：雖然10.5也不是瞬時速度，但是因為時間間隔縮短了，10.5比11更接近第5秒時的瞬時速度，所以只要不斷縮短時間間隔，求出平均速度，就會無限接近第5秒時的瞬時速度，這就是微積分思想的雛形——無限接近思想。利用這個想法，牛頓最終求出瞬時速度。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ]

[1] ?本報評論員.培養什么人，是教育的首要問題[N].光明日報，2018-09-13（3）.

[2] ?張勁松.“割圓術”的內涵及其在數學教學中的價值[J].數學通報，2010（10）：19-22.

（責任編輯 黃桂堅）