中考數學應用性問題的解題關鍵

郭淑華

[摘 要]應用性問題是近幾年中考數學的一大熱點之一，它以解決實際問題為目的。把握住解題關鍵是解決應用性問題的突破口。文章重點分析中考數學應用性問題的解題關鍵。

[關鍵詞]應用性問題;解題關鍵;方程;不等式

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2022）17-0028-03

應用性問題是近幾年中考數學的熱點之一，它以解決實際問題為目標。要想破解應用性問題，需找到其解題關鍵。下面筆者結合近幾年各地中考數學試題，分析應用性問題的特點，找出其解題關鍵，以供參考。

一、方程（組）的應用性問題

該類問題常見的類型有：（1）行程問題（包括相遇問題、追及問題、環形問題、水中航行問題等）;（2）工程問題;（3）濃度問題;（4）增長率或降低率問題;（5）數字問題;（6）最優策略問題;（7）最值問題。

[例1]（2021·張家界）2021年是中國共產黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學習活動，我市“紅二方面軍長征出發地紀念館”成為重要的活動基地。據了解，今年3月份該基地接待參觀人數10萬人，5月份接待參觀人數增加到12.1萬人。

（1）求這兩個月參觀人數的月平均增長率;

（2）按照這個增長率，預計6月份的參觀人數是多少？

簡析 （1）設這兩個月參觀人數的月平均增長率為[x]，根據5月份該基地接待參觀人數=3月份該基地接待參觀人數×（1+增長率）2，即可得出關于[x]的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案;（2）利用6月份該基地接待參觀人數=5月份該基地接待參觀人數×（1+增長率），即可求出答案。

點評 列方程（組）解應用題，關鍵是認真審題，正確分析題意，找出問題中的等量關系，然后根據等量關系列出方程（組）。列方程（組）時，等式兩邊應意義相同、單位一致、數量相等。若所列的方程是分式方程，結果要驗根并且所得的解與實際要相符合。

二、不等式（組）的應用性問題

該類問題常見的類型有：（1）以市場經濟為背景的不等式（組）應用題;（2）運用不等式（組）解決的方案設計類應用題。

[例2]（2018·湘潭）湘潭市繼2017年成功創建全國文明城市之后，又準備爭創全國衛生城市。某小區積極響應，決定在小區內安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍。

（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？

（2）該小區至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過[10 000]元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？

簡析 （1）2個溫馨提示牌和3個垃圾箱的總價格是550元，垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍，據此建立方程組即可得出答案;（2）根據“至少需要安放48個垃圾箱”“費用不超過10 000元”這兩個信息，建立不等式組即可得出答案。

點評 列不等式（組）解應用題的一般步驟是：（1）弄清題意和題目中的數量關系，用字母表示未知數;（2）找出能夠表示題目全部含義的一個或幾個不等式;（3）列出不等式（組），解不等式（組），求出解集并作答。解決這類問題的關鍵是根據問題實際建立不等式（組）模型，利用不等式（組）解的情況對問題作出最佳決策。

三、函數的應用性問題

該類問題常見的類型有：（1）一次函數的應用性問題;（2）二次函數的應用性問題;（3）分段函數及其他函數的應用性問題。

[例3]（2021·金華）某游樂場的圓形噴水池中心[O]有一雕塑[OA]，從[A]點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同。如圖1，以水平方向為[x]軸，點[O]為原點建立直角坐標系，點[A]在[y]軸上，[x]軸上的點[C]，[D]為水柱的落水點，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為[y=-16（x-5）2+6]。

（1）求雕塑高[OA];

（2）求落水點[C]，[D]之間的距離;

（3）若需要在[OD]上的點[E]處豎立雕塑[EF]，[OE=10 m]，[EF=1.8 m]，[EF⊥OD]。問：頂部[F]是否會碰到水柱？請通過計算說明。

簡析 （1）利用二次函數圖像上點的坐標特征可求出點[A]的坐標，進而得出雕塑高[OA]的值;（2）利用二次函數圖像上點的坐標特征，求出點[D]的坐標，可得出[OD]的長度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同，可得出[OC]的長度，再由[CD=OC+OD]即可求出落水點[C]，[D]之間的距離;（3）代入[x=10]求出[y]值，進而可得出點[10，116]在拋物線[y=-16（x﹣5）2+6]上，將[116]與1.8比較后即可得出頂部[F]不會碰到水柱。

點評 利用函數模型來解決實際問題，首先要求出函數的解析式和自變量的取值范圍，然后通過函數的增減性來確定函數的最值。

四、統計初步的應用性問題

統計初步有關問題是初中數學應用性問題的一個方面。隨著素質教育對學生應用數學的意識要求的提高，近幾年在中考數學試題中經常出現統計初步的應用性問題，教師在中考總復習時應重視。

[例4]（2019·鄂州）某校為了解全校學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節目的喜愛情況，隨機選取該校部分學生進行調查，要求每名學生從中選出一類最喜愛的電視節目，以下是根據調查結果繪制的統計圖表的一部分。（如下表和圖2所示）

請你根據以上信息，回答下列問題：

（1）統計表中[m]的值為_________，統計圖中[n]的值為_________，A類對應扇形的圓心角為_________度;

（2）該校共有1500名學生，根據調查結果，估計該校最喜愛體育節目的學生人數;

（3）樣本數據中最喜愛戲曲節目的有4人，其中僅有1名男生。從這4人中任選2名同學去觀賞戲曲表演，請用樹狀圖或列表求所選2名同學中有男生的概率。

簡析 （1）由[B]類別人數及其百分比求出調查人數，再用調查人數減去[A]、[B]、[C]、[E]類別總人數得出[m]的值，然后根據百分比概念求出[n]，最后用360°乘以A類別人數所占比例，獲得圓心角的度數;（2）根據統計圖表中的樣本數據來估計，答案可得;（3）利用樹狀圖或列表，將所有等可能的結果列舉出來，利用概率公式求解即可。

點評 解這類問題的關鍵是運用統計的思想對數據進行耐心、細致的觀察，通過分析、比較，得到相應的特征數，運用統計初步的有關知識解決問題。

五、幾何應用性問題

該類問題常見的類型有：（1）利用全等、相似及解直角三角形等知識進行測量的問題;（2）利用等腰三角形、圓、直角三角形等知識解決航海、氣象等方面的問題。

[例5]（2020·聊城）如圖3，小瑩在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識對某小區居民樓[AB]的高度進行測量。先測得居民樓[AB]與[CD]之間的距離[AC]為[35 m]，后站在[M]點處測得居民樓[CD]的頂端[D]的仰角為[45°]，居民樓[AB]的頂端[B]的仰角為[55°]，已知居民樓[CD]的高度為[16.6 m]，小瑩的觀測點[N]距地面[1.6 m]。求居民樓[AB]的高度（精確到[1 m]）。（參考數據：[sin55°≈0.82]，[cos55°≈0.57]，[tan55°≈1.43]）

簡析 過點[N]作[EF∥AC]交[AB]于點[E]，交[CD]于點[F]，通過解[Rt△DFN]得到線段[NF]的長度，進而得到線段[NE]的長度，再解[Rt△BEN]得到[BE]的長度。

點評 解這類問題的關鍵是準確理解一些專有術語（如仰角、俯角、坡角、坡比、方位角、海拔等）的含義，在理解題意的基礎上準確畫出圖形，把題目中的已知量和未知量轉化到圖形中，然后運用相應的幾何知識來解決問題。

六、綜合應用性問題

對應用性問題的考查，是近年中考數學的一大熱點，有些試題同時考查多種應用性問題，要綜合利用多種模型和各種知識才能解決。

[例6]（2018·南充）某銷售商準備在南充采購一批絲綢，經調查，用10 000元采購A型絲綢的件數與用8 000元采購B型絲綢的件數相等，一件A型絲綢進價比一件B型絲綢進價多100元。

（1）求一件A型、B型絲綢的進價分別為多少元？

（2）若銷售商購進A型、B型絲綢共50件，其中A型的件數不大于B型的件數，且不少于16件，設購進A型絲綢[m]件。

①求[m]的取值范圍;

②已知A型的售價是800元/件，銷售成本為[2 n]元/件;B型的售價為600元/件，銷售成本為[n]元/件。如果[50≤n≤150]，求銷售這批絲綢的最大利潤[w]（元）與[n]（元）的函數關系式（每件銷售利潤=售價-進價-銷售成本）。

簡析 （1）根據題意，用分式方程解題;（2）①根據所提供條件，列出關于[m]的不等式組，可求得[m]的取值范圍;②根據題意，列出銷售利潤[y]與[m]的函數關系式，討論所含字母[n]的取值范圍，則[w]與[n]的函數關系式可得。

[例7]（2021·盤錦）某工廠生產并銷售A，B兩種型號車床共14臺，生產并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元;如果生產并銷售不超過4臺B型車床，則每臺B型車床可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元。設生產并銷售B型車床[x]臺。

（1）當[x>4]時，完成以下兩個問題：

①請補全下面的表格：

②若生產并銷售B型車床比生產并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產并銷售B型車床多少臺？

（2）當[0

簡析 （1）①由題意知，生產并銷售B型車床[x]臺時，生產并銷售A型車床[（14-x）]臺，當[x>4]時，每臺B型車床可以獲利[17-（x-4）=（21-x）]萬元，②由題意得方程[10（14-x）+70=17-（x-4）x]，解得[x1=10]，[x2=21]（舍去）;（2）當[00]，故當[x=4]時總利潤[W]最大，為[3×4+140=152]（萬元）;當[x>4]時，[W=10（14-x）+17-（x-4）x]，整理得[W=-x2+11x+140]，因為[-1<0]，所以當[x=-112×（-1）=5.5]時總利潤[W]最大，又由題意知[x]只能取整數，所以當[x=5]或[x=6]時，總利潤[W]最大，為[-52+11×5+140=170]（萬元）。

點評 綜合應用性問題在突出綜合性的同時強調應用性，這類問題一般注意聯系學生的生活實際，關注社會熱點，注重學科知識的內在聯系和整合，能夠有效考查學生收集信息和處理信息的能力、模型轉化能力、分析綜合能力、計算和表達的能力。解決這類問題的關鍵是根據題目的已知條件，分析數量關系，靈活運用分析法或綜合法把隱蔽的“中間問題”找出來，迅速地找到解題的切入點，建立相關的數學模型。

縱觀近幾年來全國各地的中考數學試題，通過歸類分析可知，應用性問題的解題關鍵是：在準確理解題意的基礎上，利用已知條件，運用方程（組）、不等式（組）、函數、統計初步、幾何等數學知識，分析實際問題中內在的、本質的關系，建立數學模型解決問題。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ]

[1] ?杜志建.2020福建中考幫：中考數學[M].烏魯木齊： 新疆青少年出版社，2019.

[2] ?潘振南.2016中考總復習導與練：數學：泉州專版[M]. 長春：吉林大學出版社，2015.

（責任編輯 黃春香）