探析安培力做功與反電動勢的物理本源

陶漢斌

[摘 要]在剖析電與磁的綜合問題時會涉及安培力做功與反電動勢問題，在高三物理復習中，教師應注意引導學生追溯安培力做功與反電動勢的本源，幫助學生理解它們的物理本質。做功過程實現了能量的轉化，功是能量轉化的量度。因為力的作用是相互的，所以安培力肯定是成對出現的。能量轉化問題常出現在各類物理考試中，值得廣大高三師生重視。在具體解題過程中，要求出安培力對系統所做的總功，即[WA1+WA2=WA]。安培力做正功，即[WA>0]，電能轉化為其他形式的能;安培力做負功，即[WA<0]，也就是克服安培力做功時，由其他形式的能轉化為電能。而反電動勢的本質是把電能轉化為機械能，電源提供的電能轉化為機械能的那部分能量就是反電動勢對應的能量。

[關鍵詞]安培力做功;反電動勢;能量轉化

[中圖分類號] ? ?G633.7 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2022）17-0034-03

高中物理必修一主要學習力的基礎，必修二主要學習動能定理與能量的轉化，通過學習這兩冊書學生能為后續的物理學習打下堅實的基礎。高中物理最核心的知識就是力與能量，教師應引導學生追尋本源問題的物理之美，運用力與能量的觀念剖析物理問題，探索物理本質。本文通過兩個例題剖析有關安培力做功實現能量轉化的問題，其中例1著重理論分析，例2側重實際應用。

一、電磁驅動類問題——直擊安培力做功

[例1]一質量為[m=0.5 kg]、直角邊邊長[a=2m]、總電阻[R=0.5 Ω]的等腰直角三角形剛性線框靜止放置在絕緣光滑水平面上。方向垂直水平面向下、大小[B=0.5 T]、寬度[d=0.5 m]的有理想邊界[PQ]和[MN]的勻強磁場，在外力作用下，以[v0=2 m/s]勻速向右運動。[t=0]時，三角形線框相對磁場的位置如圖1所示。不計導線框中產生的感應電流對原磁場的影響。

（1）若線框固定不動，求[CD]邊恰好進入磁場前，外力所做的功[WF];

（2）若線框可以在光滑水平面上運動，求[CD]邊恰好進入磁場之前，外力所做的功[W′F]。

情境分析：若線框固定不動，線框相對磁場向左勻速切割，并且切割的有效長度不變，磁場在恒定安培力作用下做勻速直線運動。若線框可以在光滑水平面上運動，那么線框在磁場的驅動下，也跟著磁場向右運動，在相對運動的過程中產生感應電流。在這個過程中，安培力對線框做正功，而對磁場做負功，這些功到底能實現怎樣的能量轉化呢？解題過程如下。

解析：（1）線框的[CD]邊進入磁場前，因為磁場勻速運動，所以線框的有效切割長度不變，電流不變，系統所受的外力與安培力平衡。

線框的有效切割長度為：[L=2d tan45°=1 m]

線框所受的安培力為：[F安=BIL=B2L2v0R=1 N]

外力所做的功為：[WF=F22a-0.5=0.5 J]

（2）在磁場的驅動下，線框也向右運動，安培力對線框做正功，而反作用于磁場的安培力對磁場做負功，安培力做的總功是多少？還有外力做功到底實現了什么能量轉化呢？下面就從不同的側面來探討這些問題。

【系統能量守恒的觀點——觀察現象，整體把握能量的轉化與守恒定律】

從宏觀上把握磁場勻速向右運動的過程所消耗的能量，運用能量觀點從整體上把握問題。在線框運動的過程中，必須消耗兩部分能量。第一部分是線框增加的動能，第二部分是線框中電流產生的焦耳熱。

對線框用動量定理，有：[BIL·Δt=mv]

[BLBLRΔv·Δt=mv?B2L2RΔx=mv]

代入數據解得[v=Δx]

當相對位移[Δx=0.5 m]時，[v=0.5 m/s]

線框增加的動能[EK=12mv2=0.0625 J]

在這個過程中所受的安培力為：

[FA=B2L2（v0-v）R=0.5（2-Δx）]

安培力與相對位移[Δx]之間有線性變化關系，可用平均值求解安培力的功，這一對安培力對系統做的總功為：

[WA=-FA·Δx=-（1+0.75）2×0.5 J=-0.4375 J]

電流產生的焦耳熱為：[Q=WA=0.4375 J]

外力所做的功為：[W′F=EK+Q=0.5 J]

【力的觀點——以勻速運動的磁場為研究對象】

從力的角度剖析，以磁場為研究對象，磁場進入線框后額外增加了一個與速度[v0]方向相反的安培力[FA]，而磁場還是要保持勻速運動，外力必須克服安培力[FA]做功，這樣就把能量成功輸送進來了。

以磁場為研究對象，磁場勻速運動時，外力克服安培力所做的功為：

[W′F=FAv0Δt=BILv0Δt=B2L2v0RΔv·Δt=B2L2v0R·Δx=0.5 J]

反思與提升：動生電動勢的切割速度是相對磁場的速度，而不是相對地面的速度。動生電動勢中的能量問題——安培力做功實現了其他形式的能與電能的相互轉化。在本例中，安培力對線框做正功，而對磁場做負功，我們應該求這一對安培力做功的總和。一對安培力做功的總和是負的，其絕對值就是在這一過程中轉化成的電能，即[Q=WA1+WA2]。安培力所做總功的數值與電能的變化量在數值上是相等的[1]。

二、潛艇類問題——聚焦反電動勢

[例2]為了提高潛艇的隱蔽性，就需要降低潛艇的噪音，而采用電磁推進器代替螺旋槳推進器是降低潛艇噪音的一個發展方向。圖2甲是某種電磁推進式潛艇的示意圖，其下方有兩組推進器，每組由6個完全相同的、相互獨立的直線通道推進器構成，每個直線通道推進器的內部結構如圖2乙所示，在直線通道內充滿了電阻率為[ρ=0.2 Ω·m]的海水，通道中[ab]cd[-efgh]的長方體空間內存在由電阻不計的勵磁線圈產生的勻強磁場，磁感應強度大小為[B=6 T]，方向垂直于[adhe]平面向外，[ab]cd和[efgh]是兩塊與周圍其他材料絕緣的金屬板，當兩金屬板與專用直流電源相連后，在兩板之間的海水中產生了沿[e]到[a]方向的恒定電流，設電流只存在于磁場區域。設海水原來是靜止的，當兩組推進器都開啟，潛艇以[v0=15 m/s]的恒定速度前進時，海水在出口處的速度為[v=15 m/s]。不計專用直流電源的內阻及導線電阻，已知海水密度[ρm=1.0×103 kg/m3]，[Lad=Lae=0.3 m]，[Lab=0.4 m]，[15≈3.87]。求：

（1）直線通道推進器兩金屬板間的電流大小;

（2）專用直流電源對12個推進器提供的總功率。（結果保留兩位有效數字）

情境分析：此題以潛艇為背景，考查了物理本源問題，這個物理本源就是力的觀點、能量與做功的觀點。此題第（2）小題，不僅要求學生關注生活中的現象，還要求學生對觀察到的現象進行思考，對物理本質問題進行反思與探究，如潛艇勻速前進時有哪些能量參與轉化？船尾滾滾噴出水的能量是誰提供的？海水切割磁感線產生的反電動勢到哪里去了？下面就從物理本源角度對第（2）小題進行探討。

【用能量守恒的觀點解決問題】

觀察現象，整體把握能量的轉化與守恒定律在生活中的應用。對本題，可利用能量的轉化與守恒定律從宏觀上把握潛艇行駛過程中所消耗的能量。潛艇在勻速行駛的過程中，單位時間內必須消耗三部分能量。第一部分是焦耳熱功率，海水有一定的電阻，電流通過海水導體時會產生焦耳熱，這一點學生容易理解;第二部分是潛艇的牽引功率，潛艇勻速行駛時受到牽引力作用，這個牽引力其實是海水所受安培力的反作用力，潛艇的牽引力做的功就是牽引力克服海水阻力做功消耗的能量;第三部分是單位時間內海水動能的增加值，這部分能量是學生最容易忘記的，也是本小題的探究重點。潛艇在勻速行駛時，后面肯定會噴出一定量翻滾的海水，這部分海水具有一定的動能。當然，這三部分能量最終會全部轉化為海水的內能。具體解析如下：

直流電源提供的電功率的第一部分。通過第（1）小題可求出電流[I=103A]，通過海水時產生的焦耳熱功率為：

[P1=12I2R]

[R=ρLaeLabLad=0.5 Ω]

代入數據可解得[P1=12I2R=6×106 W]

直流電源提供的電功率的第二部分——牽引功率。

[P2=Fv0=12BILaev0=3.24×105 W]

直流電源提供的電功率的第三部分——單位時間內海水動能的增加值。

設單位時間內噴出海水的質量為：

[m=ρmLabLaev]

[P3=12ΔEK=6mv2=4.2×104 W]

潛艇的總功率為：[P總=P1+P2+P3=6.366×106 W]

【用反電動勢的觀點分析解決問題】

海水切割磁場產生感應電動勢，直流電源提供的恒定電流使海水受到安培力作用，海水在安培力作用下做勻加速運動切割磁感線產生反電動勢。設本題中直流電源的電動勢為[E0]，它是可變的電動勢，海水產生的反電動勢為[E]，如圖3所示。根據閉合電路歐姆定律有：

[E0-E=IR] ? ? ? ? [E0I=I2R+EI]

從上式可知，直流電源所提供的電功率[E0I]中的一部分轉化為焦耳熱功率，另一部分轉化為反電動勢的功率。通過海水的焦耳熱功率為：

[P1=12I2R=6×106 W]

反電動勢的功率為：[P′=EI]

海水在安培力的作用下切割磁感線，做勻加速運動，相對地面而言，海水的初速度為零，海水噴出時的末速度為[v=15m/s]。潛艇在勻速行駛，磁場也在以相同的速度[v0]勻速前進，海水切割磁感線的速度應該是相對于潛艇的速度，因此，海水相對于潛艇的初速度為[v0]，海水相對于潛艇的末速度為[v0+v]，在這個過程中海水切割磁感線的平均速度為[v=v0+v0+v2]，產生的反電動勢可用平均速度求得：

[E=12BLaev=12BLae（v0+v0+v）2]

因此，反電動勢對應的功率為：[P′=EI=12BLae（2v0+v）2I=3.66×105 W]

在此，再探究一下反電動勢的本源。反電動勢到底實現了什么能量轉化呢？其實，反電動勢實現的能量轉化是把直流電源提供的一部分能量成功地轉化為機械能（牽引潛艇的能量與海水增加的動能），這就是反電動勢的本源[2]，也可從以下數據得到證實。

[P′=EI=12BLae2v0+v2I=Fv0+12mv′2=P2+P3=3.24×105 W+0.42×105 W=3.66×105 W]

潛艇的總功率為：[P總=P1+P′=6.366×106 W]

【用安培力做功的觀點分析解決問題】

安培力做功實現電能與機械能的相互轉化。在此題的情境中，海水受到安培力作用，安培力對海水做正功，海水在安培力的作用下做勻加速運動，安培力對海水所做的功為：

[WFA=Fx1=12BILaev2t=12mv2]

安培力對潛艇所做的功為：

[W′FA=Fx2=12BILaev0t]

這一對安培力做功之和為：

[WA=WFA+W′FA=12BILaev0+v2t]

在單位時間內這一對安培力所做的功為：

[PFA=12BILaev0+v2=0.366×106 W]

安培力做正功，說明把直流電源提供的一部分電能轉化為機械能（牽引潛艇的能量與海水增加的動能）。

同理，我們可求出直流電源通過海水導體時的焦耳熱功率為：[PR=12I2R=6×106 W]

潛艇的總功率為：[P總=PFA+PR=12BILaev0+v2+12I2R=6.366×106 W]

反思與提升：在解決上述問題的過程中，回歸物理本源就是回歸力的觀點、能量與做功的觀點。從上面的解題過程中可以看出，直流電源提供的電能轉化為機械能的那部分能量就是反電動勢對應的能量，也就是安培力對系統所做的總功，這種一一對應的等量關系，絕不是一種巧合，真正體現了物理的本源。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ]

[1] ?陸球.電磁感應中關于安培力做功與電阻發熱量關系的討論[J].物理教師，2018（11）：55-56.

[2] ?聞壹兵.芻議轉動的電動機轉子線圈中的反電動勢[J].物理教學探討，2020（4）：51-53，55.

（責任編輯 易志毅）