探究天津高考命題導向 提升數學抽象核心素養

孟黎輝

近年來，天津高考命題保持著重基礎、重素養，低起點、多層次、利區分的命題特色。從過去的題海戰術，轉向培育素養，成為高考命題的導向。下面，我們從數學抽象素養的提升來進一步探究。

抽象，是數學的基本特征，數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養，主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。

抽象起始于概念的獲得，成熟于知識的理解，升華于知識的應用，抽象是知識遷移的必要條件。數學抽象是數學學科核心素養的重要組成部分，培養學生的抽象概括能力是數學學科的重要目標。在數學教學中，教師要抓好以下幾點：

一、深刻理解概念，完善知識體系

對概念的深刻理解，是構建知識體系的重要一環，有的教師匆匆講完基本概念、原理，學生還沒有抽象出共性，沒來得及內化為自己的知識體系，教師就開始講例題，往往事倍功半，學生在做題中只知其然，不知其所以然，只能照著葫蘆畫瓢，機械模仿。因此，要深刻理解概念，必須要將概念中抽象的數學要素加以分析、提煉，只有這樣，學生才具有進一步提升解決問題能力的保障。

二、設置情境模式，提升化歸能力

數學抽象的最終目標是解決實際問題，讓學生具備舉一反三的能力，形成知識遷移。不能遷移的知識是不牢固的，只能在特定的情境下機械模仿，不是素質教育的目標。高考題一般以問題和情境為載體，數學情境的核心也是問題，因此，設計合理的問題情境，肩負育人和提高課堂效率兩個重要任務。

教學應重視創設多樣化的學習情境，讓學生有機會喚起、驗證知識，領會隱藏在知識背后的意義及思考這些信息是如何進行組織的。教師在教學中要精心設計好數學情境，由問題導入，強調在陌生情境中解決問題的能力培養，時刻關注學生的數學思想和方法的形成過程，杜絕無效的重復訓練。

三、挖掘一題多解，提煉知識本質

數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，是數學的本質特征。一題多解，是數學學科提煉知識本質的重要途徑。用不同的解題思路解決同一道題，看似消耗了時間和精力，實際上是將知識體系進一步整合。用這種方式抽象出來的數學知識，會更加接近知識的本源。在教學中，教師應該淡化程序化的解題模式，淡化解題技巧，強化通法通性，提升學生的應用能力。

四、善用習題變式，培養抽象素養

通過變式訓練，讓學生發現規律，抽象出同類習題的共性，在尋找共性的過程中，提煉出一般解題方法，并在此基礎上，不斷提高學生的實踐能力，培養應用意識、創新意識。

我們對2018年天津卷理科14題進行研究，用4種方法求解，深入挖掘天津高考壓軸小題的命題特點，指導復習備考。

例題：2018年（天津理）14題：

已知[a>0]，函數[fx=x2+2ax+a? x≤0-x2+2ax-2a? x>0]，若關于[x]的方程[fx=ax]恰有2個互異的實數解，則[a]的取值范圍是_________。

解法一（二次函數模型）：令[gx=fx-ax=x2+ax+a? x≤0-x2+ax-2ax? >0]，由于這兩段函數[y=x2+ax+a? （x≤0）]、[y=-x2+ax-2a? （x>0）]，在y軸上的截距分別為：[a]、[-2a]，（[a>0）]，對稱軸分別為：[x=-a2]、[x=a2]，按照判別式[?1=a2-4a]、[?2=a2-8a]的值可以分為以下三種情況：

由[?1>0?2<0]， [?1<0?2>0]， [?1=0?2=0]，解得[4

解法二（二次函數與一次函數模型）：函數[y=x2+2ax+a]與[y=ax]圖像，若沒有交點，則[04]或[a<0（舍）]。

函數[y=-x2+2ax-2a]與[y=ax]圖像，若沒有交點，則[08]或[a<0（舍）]。

綜上可知，當[4

解法三（“對勾”函數模型）：由于[x=0]不是方程[fx=ax]的根，因此該方程可化為：[f（x）x-]a=0，令[hx=f（x）x-]a，[hx=x+a+ax? ?x<0-x+a-2ax? ?x>0]，

當[x<0]時，[x+a+ax ≤a-2a];

當[x>0]時，[-x+a-2ax ≤a-22a]，

[∴a-2a>0]且[a-22a<0]，即[4

解法四（其他型函數）：當[x≤0]時，方程[fx=ax]，即[x2+2ax+a=ax]. 整理可得：[x2=-a（x+1）]，[∵x=-1]不是方程的實數解，[∴a=-x2x+1]。

當[x>0]時，方程[fx=ax]，即[-x2+2ax-2a=ax]，整理可得：[x2=a（x-2）]，[∵ x=2]不是方程的實數解，[∴a=x2x-2] 。令[gx=-x2x+1? ?x≤0x2x-2? ?x>0]，即[gx=-（x+1+1x+1-2）? x≤0x-2+4x-2+4? x>0]。原問題等價于函數[gx]與函數[y=a]圖像有兩個不同的交點，求[a]的取值范圍。結合“對勾”函數和函數圖象平移的知識，畫出函數[y=gx]和[y=a]的圖象（圖2），由[a>0]，則實數[a]的取值范圍是（4，8）。

從本題目解法中，我們看到，無論哪一種解法，都需要將函數、方程、不等式之間的關系進行抽象整合，再運用到函數圖像情境中去，歷經用數學語言表述、將已知條件等價轉化、應用數學方法求解等環節，整個過程呈現出對數學抽象、邏輯推理等方面能力較高的要求。

從上面天津高考題中可以看出，命題者淡化解題技巧，力求考查學生對數學本質的抽象、邏輯推理等方面能力，從而甄別出考生對知識理解的深度以及不同的能力水平，將數學教學導向發展學生素養的學科價值和育人價值上。

在教學中，教師要深知數學素養是數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模、直觀想象、數據分析等方面的有機結合，它們相輔相成，每一方面的發展都離不開其他方面。拿數學運算來說，運算的基礎是數學概念、定理和公式，離不開抽象思維和邏輯推理，在教學實踐中如果為了“算”而“算”，就會掉入“重訓練、輕思考;重結果、輕過程”的模式，運算能力反而不容易提高。其實，學生在學習數學中屢屢受挫，很多時候是因為對概念、定理、公式、方法的本質內容提煉不夠，導致無法形成有效遷移。此外，有些教師在訓練過程中過多強調“模型”和“技巧”的運用，忽視了學生自身抽象、提煉的過程，使學習只停留在模仿的層面上，一旦題目發生變化，就會束手無策。

高考分數不是評價學生學習效果的唯一指標，數學教學應立足于核心素養的培養，讓學生勇于探究、敢于質疑、善于反思。教師在教學過程中，積極鼓勵學生進行抽象提煉、大膽創新、積極應用，并給予及時的、肯定的、過程性評價，把數學核心素養落實到數學教育的各個環節。

（左毓紅）