Jordan不等式在求解導數壓軸題中的應用

董立偉

[摘 要]文章研究Jordan不等式在求解含有正弦、余弦形式的函數的導數壓軸題中的應用。

[關鍵詞]Jordan不等式;導數;應用

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）14-0016-03

一、Jordan不等式

Jordan不等式有如下兩種常用形式。

形式1：設[0≤x≤π2]，則[2πx≤sinx≤x]。當且僅當[x=0]或[x=π2]時，第一個等號成立;當且僅當[x=0]時，第二個等號成立。

形式2：設[0

Jordan不等式形式1的后半部分以習題的形式出現在普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2A版（人民教育出版社，2007年1月第2版）第32頁習題1.3的B組第1題。

在高考題與高考模擬試題中，涌現出不少以正弦、余弦函數與其他初等函數相結合的函數為模型函數的導數壓軸題。由于這類函數的導函數形式較復雜，以及正弦、余弦函數具有周期性等特點，使得導數壓軸題的求解思路不易找到，而且求解過程通常較為煩瑣。借助Jordan不等式，可以幫助我們快速找到問題的突破口，簡化解題步驟。

二、Jordan不等式的應用

（一）適度放縮變形，簡化關系形式，輔助范圍確定

Jordan不等式將[sin x]放縮為有關[x]的正比例函數形式，這使得放縮后的式子形式變得簡單，從而更容易求出所得式子的取值范圍。

[例1]已知函數[fx=sin x-x cos x-16x3]， [fx]為[fx]的導數。

（1）證明：[fx]在區間[0，π2]上不存在零點;

（2）若[fx>kx-x cos x-16x3-1]對[x∈0，π2]恒成立，求實數[k]的取值范圍。

解：（1）[fx=x sin x-12x2]，因為[x∈0，π2]，由Jordan不等式，[fx=x sin x-12x2>2πx2-12x2>0]，所以[fx]在區間[0，π2]上不存在零點;

（2）[fx>kx-x cos x-16x3-1]，即[sin x-kx+1>0]。因為[x>0]，所以[sin x-kx+1>0]對[x∈0，π2]恒成立，等價于[k2π]。又因為[1x>2π]，所以[sin xx+1x>4π]，故[k≤4π]。

因此[k]的取值范圍是[-∞，4π]。

[例2]已知函數[fx=x sin x-a ln x]（[a∈R]）的圖像在[x=π2]處的切線的斜率為[-1]。

（1）求證：當[x∈0，π2]時， [fx>0];

（2）求證：[32sinπ3+12+43sinπ3+13+…+n+1nsinπ3+1n>π lnn+12]（[n≥2]，[n∈N*]）。

第（1）問的證明：[fx=sin x+x cos x-ax]，由條件可知 [fπ2=-1]，即[1-2aπ=-1]，解得[a=π]，所以 [fx=x sin x-π ln x]。

當[x∈0，π2]時，由Jordan不等式， [fx>2πx2-π ln x]，構造函數[gx=2πx2] [-π ln x]，[x∈0，π2]，則[gx=4πx-πx=4x2-π2πx]。

當[x∈0，π2]時，[gx<0]，所以[gx]在[0，π2]上單調遞減。

故[gx>gπ2=π2-πlnπ2>π2-πlne=0]。

因此當[x∈0，π2]時， [fx>0]。證畢。

第（2）問可借助第（1）問所得結論來證明，此處不再贅述。

（二）利用成立條件，巧設分類標準，輔助分類討論

求解含有[sinx]、[cosx]的導數壓軸題，通常需要分類討論。如何快速準確地確定分類標準是這類問題的一個難點。Jordan不等式自帶成立條件（如形式1中[x∈0，π2]，形式2中[x∈0，π2]，這給我們尋找分類標準提供了參考。

[例3]已知函數[fx=ex-cos x-ax]（[a∈R]）。

（1）若[fx]在[0，+∞]上單調遞增，求[a]的取值范圍;

（2）證明：[?x∈0，+∞]，[xex≥sin2x+2sin x-sin x cos x]。

第（1）問的[a]的取值范圍是[-∞， 1]。因為其解答較為容易，所以略去解答過程。下面我們主要研究第（2）問。

證明：當[x=0]時，不等式顯然成立。

當[x∈0，π2]時，由Jordan不等式，有[sin x0]，所以[sin2x+2sin x-sin x cos x=sin2x+2-cos xsin xx sin x+2x-x cos x]，即[ex>2+sin x-cos x]。構造函數[gx=ex-2-sin x+cos x]，[x∈0，π2]，則[gx=ex-cos x-sin x≥ex-cos x-x]。記[hx=ex-cos x-x]，則[hx=ex+sin x-1>e0+sin0-1=0]，所以[hx]在[0，π2]上單調遞增，從而有[hx>h0=0]，故[gx>0]。于是，[gx]在[0，π2]上單調遞增，所以[gx>g0=0]，原不等式成立。

當[x∈π2，+∞]時，[xex>π2eπ2>π2e32>4]，[sin2x+2sin x-sin x cos x≤1+2+1=4]，所以[xex≥sin2x+2sin x-sin x cos x]成立。

因此，[?x∈0，+∞]，[xex≥sin2x+2sin x-sin x cos x]。證畢。

[例4]（1）研究函數[fx=sin xx]在[0 ， π]上的單調性;

（2）求函數[gx=x2+π cos x]的最小值。

分析：第（1）問明顯是以Jordan不等式為背景命制的，解答較為容易，略去其解答過程。下面我們主要研究第（2）問。

解：[gx=2x-π sin x]，由Jordan不等式，當[x∈0 ， π2]時，[sin x>2πx]，即[2x<π sin x]，所以[gx<0]。當[x∈π2，+∞]時，[2x>π]，[-1≤sin x≤1]，所以[2x-π sin x>0]。當[x=π2]時，[gx=0]，所以[gx]在[0， π2]上單調遞減，在[π2，+∞]上單調遞增。又因為[gx]是偶函數，所以[gx]在[-∞，-π2]上單調遞減，在[-π2， 0]上單調遞增。

計算得[g0=π]，[g-π2=gπ2=π24]。

因此，當[x=π2]和[x=-π2]時，[gx]取得最小值[π24]。

（三）尋找充分（或必要）條件，規避思維難點，輔助問題解決

當函數解析式中同時含有指數函數、對數函數、三角函數等多種函數形式時，由于函數形式的復雜性，使得很多時候正面求解導數壓軸題并不容易。對此，我們可以先尋找原問題的充分（必要）條件，再證明所得條件也恰好是原問題的必要（充分）條件的方法。Jordan不等式可以將[sinx]放大或縮小，為我們尋找這類問題的充分（必要）條件提供了可能。

[例5]已知函數[fx=ax2-1-ln x]，[a∈R]。

（1）討論[fx]的單調性;

（2）求實數[a]的取值范圍，使得[fx>a sinx-1+1x-e1-x]在區間[1，+∞]上恒成立（[e=2.71828…]為自然對數的底數）。

第（1）問較為容易，此處略去其解答。下面我們主要研究第（2）問。

先給出如下引理。

引理：當[x>0]時，[ln x≤x-1]。

證明：構造函數[Nx=ln x-x+1]，則[Nx=1-xx]。由[Nx=0]得[x=1]。當[x∈0， 1]時，[Nx>0];當[x∈1，+∞]時，[Nx<0]。由此可知，[Nx]在[0， 1]上單調遞增，在[1，+∞]上單調遞減。因此，[Nx≤N1=0]，即[ln x≤x-1]。

第（2）問的解答：[fx>a sinx-1+1x-e1-x]在區間[1，+∞]上恒成立，即[ax2-1-ln x>a sinx-1+1x-e1-x]在區間[1，+∞]上恒成立。特別地，當[x=2]時成立，解得[a>ln 2+12-1e3-sin 1>0]。

由引理，當[x>1]時，[ln x2-x]。由Jordan不等式，[sinx-1a sinx-1+1x-e1-x]在區間[1，+∞]上恒成立的充分條件是[ax2-1-x-1≥ax-1+1x-2+x]在區間[1，+∞]上恒成立。 由[x>1]，化簡得[a≥-1x2+2x]可得[a≥1]。

下證[a≥1]是[ax2-1-ln x>a sinx-1+1x-e1-x]在區間[1，+∞]上恒成立的必要條件。

記[gx=ax2-1-ln x-a sinx-1-1x+e1-x]，則[gx=2ax-1x-a cosx-1+1x2-e1-x]。因為[g1=0]，所以若有[ax2-1-ln x>a sinx-1+1x-e1-x]在區間[1，+∞]上恒成立，則有[g1=a-1≥0]，解得[a≥1]。

因此，[a]的取值范圍是[1，+∞]。

[例6]已知函數[fx=ax-sin x]，[x∈0，+∞]（[a∈R]）。

（1）若[fx>0]，求[a]的取值范圍;

（2）當[a=1]時，證明：[2 fx+cos x>e-x]。

第（1）問的解答： [fx>0]，即[ax-sin x>0]。由Jordan不等式，當[x∈0 ，+∞]時，[sin x0]的一個充分條件是[ax-x≥0]，解得[a≥1]。

下證[a≥1]是[fx>0]的必要條件。

[fx=a-cos x]。因為[f0=0]，所以若有[fx>0]，則有[f0≥0]，即[a-1≥0]，解得[a≥1]。

因此，[a]的取值范圍是[1，+∞]。

第（2）問的解答省略。

[例7]已知函數[fx=2sin x-x cos x-x]。 [fx]為[fx]的導數。

（1）證明：[fx]在區間[0 ， π]存在唯一零點;

（2）若[x∈0 ， π]時， [fx≥] [ax]，求[a]的取值范圍。

分析：第（1）問較為容易，過程省略。下面我們主要研究第（2）問。

解：當[x=0]時，顯然成立。

當[x∈0， π]時，由Jordan不等式， [fx=2sin x-x cos x-x<2x-x cos x-x=x1-cos x]，所以? [fx≥ax]成立的一個必要條件是[x1-cos x>ax]，即[1-cos x>a]。解得[a≤0]。

下證“[a≤0]”是“[x∈0， π]時，[fx≥ax]成立”的一個充分條件。事實上，我們只需證明[a=0]時成立即可。

當[a=0]時，原不等式即[2 sin x-x cos x-x≥0]，[fx=cos x+x sin x-1]，[fx=x cos x]。由[fx=0]解得[x=0]或[x=π2]。當[x∈0， π2]時，[fx≥0];當[x∈π2， π]時，[fx≤0]， [fx]在[0， π2]上單調遞增，在[π2， π]上單調遞減。

當[x∈0， π2]時， [fx≥f0=0]。當[x∈π2， π]時，因為[fπ2=π2-1>0]， [fπ=-2<0]，所以由函數零點存在性定理，[?x0∈π2， π]，使得[f（x0）=0]。

當[x∈0 ， x0]時，[fx≥0];當[x∈x0 ， π]時，[fx≤0]，所以 [fx]在[0 ， x0]上單調遞增，在[x0 ， π]上單調遞減，故[fx≥f0=fπ=0]。

因此，[a]的取值范圍是[-∞， 0]。

Jordan不等式是求解含有正弦、余弦形式的函數的導數壓軸題的一個有力工具。在教學中，教師需要引導學生尋找試題與Jordan不等式的契合點，幫助學生快速形成解題思路。

（責任編輯 黃桂堅）