圖說數學單元教學

【摘 要】 借助圖形講解數學單元教學的幾個基本問題：單元教學的地位與價值、單元的分類、單元教學的設計流程、單元教學的實施流程，幫助讀者直觀理解數學單元教學的研究成果與操作方法，減輕理論學習負擔，有效開展教學實踐，辯證分析教育熱潮.

【關鍵詞】 圖說;單元教學;價值;流程;辯證分析

近幾十年來，教育領域的新理論、新概念、新熱點層出不窮，往往來得快、去得也快，一線教師普遍反映“苦理論久矣”.以數學教育領域為例，就有20世紀80年代的“問題解決”，20世紀90年代的“建構主義”、21世紀初的PCK（教學內容知識）和MKT（面向教學的數學知識）理論，以及近幾年的“核心素養”[1-3]“單元教學”“深度學習”“項目化學習”，等等.當前，我們又迎來了“作業設計”“跨學科教學”的熱潮.

這一輪“單元教學”熱潮有五六年了，目前已取得單元教學四個層面的研究成果.一是學理層面，包括單元教學設計的依據與策略、單元教學設計的價值指向、單元教學設計的路徑，等等.二是概念層面，何為單元？何為單元知識結構？何為單元教學？等等，以及單元教學的等價概念，如主題教學、整體教學、結構化教學、大概念教學、大觀念教學等.三是設計層面，包括單元教學的結構、設計流程等.四是應用層面，主要是針對中小學具體的教學內容來論述單元教學的設計與操作[4].鑒于中學教師教學任務繁重，難以系統學習這些理論研究成果，本文摘其精要、借助圖形進行介紹，正如本文標題所言：圖說數學單元教學.1 單元教學的地位與價值

單元教學并非全新的教學法，20世紀80年代它已廣泛出現在我國中小學各學科的課堂之上[5-7].最新頒布的2022年版義務教育數學課程標準指出，當前推進單元整體教學設計，目的是要改變過于注重以課時為單位的教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯[8].也有研究者認為，現在又重視單元教學的理由是為了深化以單元教學為載體的學科教學，希望將其上升到學科教研的統領地位，而不僅僅作為課堂教學的方法和手段[9].

單元教學是相對課時教學而言的，無論把單元教學的價值拔得多高，它都不可能也不應該取代課時教學.事實上，單元教學更多的是一種教學觀念與認識，實際操作只能以課時教學的形式出現.下面的圖1反映了單元教學、課時教學在教學鏈條（包括課前、課中、課后）中的位置與關系[10].

單元教學的地位與價值

表明，單元教學設計對課時教學設計有指導、統攝作用，但需細化、分解為若干課時教學設計，從而付諸課堂實踐;課后應開展教師個人教學反思，必要時開展集體教學研討，從而提升認識，改進課前的單元教學設計.這是一個良性循環，體現了單元教學的地位與價值.理解了這一點，可以避免對單元教學產生盲從心理或抵觸情緒.

2 單元的分類

確定學習單元，是開展單元教學的前提.單元，本意是指樣本中自為一體或自成系統的獨立成分.單元不可再分，否則就改變了事物的性質.單元是一個相對概念，比如相對于“課時”，“節”是一個單元;相對于“節”，“章”是一個單元;相對于“章”，整本教材也是一個單元.甚至還有跨章節、貫通整個學段的所謂大單元（或主題），比如“數的運算”就可以看作橫跨中小學數學的一個大單元（或主題）.2022年版義務教育數學課程標準正是將四個學段（第一學段“1～2年級”、第二學段“3～4年級”、第三學段“5～6年級”、第四學段“7～9年級”）、四個學習領域（“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”）的數學課程內容劃分為若干個主題，便于分析“主題—單元—課時”的數學知識與核心素養的表現，適時開展單元整體教學[8].

有研究者借鑒課程的分類法（階梯型課程、項目型課程），將學習單元分為階梯型、項目型（問題解決型）兩大類，并將階梯型劃分為知識技能類、思想方法類，如圖2所示[11].這種分類契合了數學課程標準所提出的數學“四基”：基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗.

單元的分類

還顯示，知識技能類的學習單元可以較多地依據教科書的章節自然劃分成單元，而思想方法類的學習單元則需要教師較多地進行跨章節的創造性重組.前者好理解（一般教科書已劃分好單元），關于后者，我們舉兩個初高中的例子.

比如，有的初中數學教材（如蘇科版）在不同年級不同分冊安排了多次有關“反證法”的拓展閱讀材料，可將它們組合成一個學習單元.

再比如，可用轉化與化歸的思想方法將高中范圍所有關于“距離”的知識重組成一個單元（歸結為探究“兩點距離的最小值”），包括點到直線的距離、兩條平行線之間的距離、異面直線之間的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離，甚至集合與集合的“距離”.

進行單元教學設計之前，我們要明確學習單元是什么，哪些內容可以構成學習單元，以及為何要選取這樣的單元.

3 單元教學的設計流程

確定學習單元后，怎樣進行單元教學設計呢？2017年版高中數學課程標準指出，一般來說，單元教學設計大致分為三個階段和五個環節（如圖3）.三個階段是指前期準備、開發設計、評價修改.五個環節是指確定單元內容、分析教學要素、編制單元教學目標、設計單元教學流程、評價反思及修改.

其中，“分析教學要素”環節是單元教學設計前期準備階段的重點環節，也是“編制單元教學目標”環節的前提.它又包括六個方面：教學內容分析、課程標準分析、學情分析、教材分析、重難點分析、教學方式分析[12].

不難看出，單元教學的設計流程與課時教學基本相同，并沒有實質性地增加教師的負擔.

單元教學設計的流程

還有研究者給出了基于問題驅動的中學數學單元整體教學設計模式（圖4）：研究者認為適當的問題與情境是實現數學單元整體教學設計的重要支點，以數學單元為主體的整體教學設計需重視問題驅動課堂的教學方式，整體教學觀與問題驅動理論是指導數學單元教學設計的重要理論依據.教師只有圍繞數學史、數學教材內容、教學目標、學生的數學現實四個方面整體理解單元內容，才能真正實現中學數學單元的整體教學設計，做到以問題驅動教學[13].

這一模式與2017年版高中數學課程標準給出的單元教學設計模式并不矛盾，只是更加突出數學的學科特點——在解決問題的過程中發展.

4 單元教學的實施流程

不同類型的學習單元所對應的單元教學流程有較大差異，因此有必要專門講講前述三種類型學習單元各自的單元教學實施流程.4.1 知識技能類單元教學

知識技能，即人們常說的“雙基”：基礎知識、基本技能.數學知識技能的教學以數學概念的教學最為常見.不難理解，值得開展單元教學的數學概念，往往是數學中的核心概念（也有人稱為大概念、大觀念），比如初高中的“代數式”“方程”“不等式”“函數”“導數”“三角形”“四邊形”“直線與平面的位置關系”“圓錐曲線”等.

關于核心概念的單元教學流程，可概括為圖5[4].具體來說，首先要給出核心概念生成的概念圖（也就是它的下位概念），比如中學范圍內“函數”可以生成“正比例函數”“反比例函數”“一次函數”“二次函數”“冪函數”“指數函數”“對數函數”“三角函數”“反三角函數”，以及“圖象”“單調性”“最值”“奇偶性”“周期性”“導數”“極值”等下位概念，共同構成函數的概念圖.

核心概念類單元教學的流程

然后將這些概念圖劃分為不同的路徑，并分別開展相應的性質研究、應用研究等.比如，可選取“正比例函數”為路徑1，研究正比例函數的圖象、性質、實際應用等，并開展相應的練習與小結.可選取“一次函數”為路徑3，同樣研究一次函數的圖象、性質、實際應用等，并開展相應的練習與小結.其他路徑依此類推.

而且要注意，不同的路徑之間可以關聯起來，比如路徑1“正比例函數”可與路徑3“一次函數”關聯，合并成一個新的大單元開展后續性質研究、應用研究、練習與小結.4.2 思想方法類單元教學

重視數學思想方法的教學是我國數學教育的特色與傳統.數學思想方法既可以在數學知識技能的教學中進行滲透，也可以通過專題式教學進行系統學習. 思想方法類單元教學，其一般流程如圖6所示[4].

圖6 思想方法類單元教學的流程

首先要確定數學思想方法.數學思想方法本身也是極為系統的一門學科，其層次各異、種類繁多.教師要結合具體的數學知識技能、待解決的大量數學問題、精選相應的數學思想方法，因為數學思想方法不可能脫離知識技能而單獨存在，它的適用對象也不可能只是少數問題（否則就不稱其為思想、方法了）.根據廣大教師經驗，中學數學最常見的思想方法類單元教學包括分類討論、數形結合、函數與方程、轉化與化歸等.

然后圍繞確定的數學思想方法設計或配置相應的題組（或稱問題串、問題鏈），開展變式教學.要注意題組的典型性與層次性，既要以一當十又要拉開梯度，防止題海戰術與機械重復訓練.

接下來是師生共同解決問題的環節.與其他數學課相比，思想方法類單元教學的這一環節有其獨特優勢，因為解決問題的“金鑰匙”已經明確了，就是所講的數學思想方法;解決問題的“腳手架”已經搭好了，就是所選的題組（問題串、問題鏈）.因此，這一環節可以充分發揮學生的主體性，教師作適當引導與點撥，讓學生充分感受“勢如破竹”“攻城奪地”的學習成就，感悟數學思想方法的威力與魅力.

最后的回顧總結環節必不可少，教師要引導學生領悟數學思想方法是數學發展和數學問題解決的根本力量，獲得對數學思想方法的整體理解，既包括其普適性，也包括其局限性（沒有萬能的思想、方法）.4.3 問題解決類單元教學問題是數學的心臟，數學無時無刻不是在解決問題中前進.數學教學亦如此，數學教材依靠問題情境、例題和習題來演進，數學試卷通過試題來串聯.但這些問題大都是經過加工、簡化而來的，有比較明確的解決方法（模式）和答案.事實上，仍有許多問題沒有固定的解決方法和答案，需要教師引導學生自主探索，往往耗時較長，所需知識、方法、工具（如信息技術）超過學生當前認知水平甚至會跨學科.我們將這樣的問題稱之為綜合與實踐、數學建模、數學探究活動等，它們是積累數學活動經驗的重要載體[14] .

可以針對這些問題的解決開展單元教學，圖7就是問題解決類單元教學的操作流程[4].雖然其基本過程一目了然，就是提出問題、解決問題、單元總結，但我們可以從中看到許多其他數學課所沒有的環節，比如需將初始問題分解為若干個新問題，并需要學生學習若干相應的新知識，以便解決這些新問題.這些新知識在總結環節被統稱為“單元外已學知識”，納入本單元知識體系后，新舊知識融為一體，形成結構化的新知識體系.

問題解決類單元教學的流程

5 單元教學的辯證分析

關于單元教學的研究成果與實踐經驗固然可喜，但也出現了很多認識誤區.實施數學單元教學法，需注意以下辯證關系.

（1）防止單元概念的泛化，避免將非主干的知識技能、解題技巧當作學習單元，過度總結解題模型、二級結論（尤其是初高中畢業班）.

（2）防止單元教學概念的泛化，避免將單元教學與傳統的單元教材分析、單元復習混為一談，本末倒置.

（3）單元教學目標與課程目標、課時目標三者之間是中觀、宏觀、微觀的辯證關系.單元教學要與課時教學結合使用，兩者互為補充、相輔相成、不可偏廢，不可一窩蜂地炮制單元教學設計.

（4）單元教學除了教學內容的結構化、教學形式的結構化，更需要學生思維的結構化.要避免單元教學流于形式化，因為學生思維的結構化才是單元教學的精髓[15].還要避免單元教學內容結構化之后過于抽象，脫離社會，脫離學生實際.至此，本文完成了“圖說數學單元教學”的任務，為筆者的“圖說數學教育原理”文章系列 [3，9，16-18]增添了一個新的成員.讓我們共同努力，把數學教育理論變得更加直觀形象，把數學教育研究變得更加平易近人.

參考文獻

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