從課程標準視角理解教材異同

趙華

一、問題的提出及研究背景

自《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（下文簡稱“新課標”）頒布以來，高中數(shù)學各版本新教材相繼問世。將蘇教2019年版與2005年版教材（下文簡稱“新教材”“舊教材”）進行對比，不難發(fā)現(xiàn)：新、舊教材間存在顯著差異，但也有不變的內(nèi)容。查看人教2019年版教材，發(fā)現(xiàn)其與蘇教版新教材在同一課題的編寫上也存在著巨大差異。面對新、舊教材以及新教材間的異同，一線教師要如何理解以便使用好新教材呢？

本文以“正弦定理”為例，著重從課程標準視角來理解蘇教版新、舊教材間的異同點：章節(jié)架構、問題設計、定理證明、概念描述和例題設計，同時參考了人教A版新教材。

二、教材對比分析及理解

正弦定理是高中數(shù)學中研究三角形邊角關系的重要結論，也是解三角形的重要定理。下面將從章節(jié)架構、問題設計、定理證明、概念描述、例題設計等五個方面闡述對新、舊教材的對比分析及理解。

（一）章節(jié)重構，突出課程主線

教材內(nèi)容的章節(jié)位置，不僅代表其在課程中的地位，同時體現(xiàn)課程的整體設計思路。

對比新、舊教材，發(fā)現(xiàn)正弦定理均設置在“解三角形”一章，只是節(jié)順序有所調(diào)整，同時章順序也發(fā)生重大變化。由此可見，新教材對課程內(nèi)容的章節(jié)設置做了重大調(diào)整。按照新課標要求，在課程結構上，課程內(nèi)容分為四條主線：函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動。在主線設計思路下，同一主題內(nèi)容要相鄰而置，同主題下的內(nèi)容要銜接自然。因而新教材就不得不對章節(jié)進行重構。正弦定理屬于幾何與代數(shù)主線，由于向量是聯(lián)系幾何與代數(shù)的天然橋梁，而正弦定理是刻畫幾何圖形三角形的代數(shù)形式，故在同一主題下，“向量”（第9章）章節(jié)先于“正弦定理”（第11章）。同為解三角形的重要定理，余弦定理與向量的聯(lián)系更緊密、過渡更自然，因而余弦定理設置先于正弦定理。在突出課程主線的設計思路下，章節(jié)重構后的新教材使用起來更順暢。

人教A版新教材沒有設置“解三角形”一章，而是將解三角形的兩個重要定理設置在“平面向量的應用”中。但從章節(jié)劃分上看，它的整體性更好，更能突出課程主線。當然，這樣設置在強化了平面向量應用的同時，也弱化了“解三角形”的地位。

（二）問題設計，注重知識關聯(lián)

不同的導入問題會將活動探究引向不同方向。同一章的多個子節(jié)內(nèi)容，既可采用不同問題導入，也可采用相同問題導入。大體上，好的導入問題或者從不同方向聚焦本質(zhì)，或者從同一方向發(fā)散聯(lián)結。新教材對正弦定理的導入設計屬于后者。

在“正弦定理”的導入問題上，新教材僅用一句話：“還有其他途徑將向量等式■=■+■數(shù)量化嗎？”而在舊教材中，則是從特殊的直角三角形入手，先得到正弦定理，再提出一般猜想。相比之下，舊教材的導入更符合學生認知規(guī)律，突出數(shù)學思想方法。那為何要做此變更？新課標在課程結構的設計依據(jù)中明確指出，要“依據(jù)數(shù)學學科特點，關注知識之間的關聯(lián)”。舊教材正是因為沒有關注到正、余弦定理之間的關聯(lián)性，才采用不同問題設計。而新教材則將正、余弦定理聯(lián)系起來看待，采用同一個導入問題，自然而然地揭示它們之間的關聯(lián)性。

當然，同一個問題依賴于兩種不同的數(shù)量化處理導出兩個不同的定理，雖然顯現(xiàn)兩個定理間的關聯(lián)性，但由于向量等式數(shù)量化的方法并不唯此兩種，還可能導出其他結論，如射影定理。因而這樣的導入方式也承擔了一定的風險。相比之下，人教2019年版中的導入方式似乎更高明些，它相當于將蘇教新、舊教材的導入方式進行了整合。

（三）證法調(diào)整，側(cè)重向量方法

關于正弦定理的推導方法頗為豐富，古有同徑法和外接圓法，現(xiàn)有作高法、等積法、坐標法和向量法等。但教材受篇幅局限性的影響，并不能將其一一羅列。因而，教材對推導方法必須有所選擇、有所側(cè)重。

舊教材首先提供了四種途徑去嘗試證明（如上表），分別為作高法、坐標法、外接圓法、向量法。隨后給出了（1）和（4）的詳細證明過程。新教材則因為沿用了前一節(jié)的“向量式”導入，順其自然地給出了向量法的證明過程，而將（1）作為思考題提出。至于外接圓法，兩版教材均以課后探究題形式出現(xiàn)。新教材比舊教材更側(cè)重于向量法的運用。除了向量法是順應導入問題的必然選擇外，還有一個重要原因。新課標要求，通過數(shù)學課程的學習，學生要獲得基本思想方法。具體到幾何與代數(shù)主線下，就是要學會運用研究圖形的四個基本方法：綜合法、分析法、解析法和向量法。由于向量概念起源于幾何，是研究幾何圖形的基本方法。而三角形又是基本幾何圖形。因而在研究三角形時，側(cè)重于向量法的運用具有典型性和代表性。

人教版新教材在正弦定理的推導方法上不存在側(cè)重于哪一種方法的糾結。因為章節(jié)架構不同，導致正弦定理的推導背景不同。它以平面向量的應用為推導背景，運用向量法推導正弦定理順理成章。而蘇教版新、舊教材都是以解三角形為推導背景，面對多種解決途徑，自然不可避免地要進行側(cè)重權衡。

（四）概念完善，凸顯核心素養(yǎng)

從知識角度來看，“解三角形”一章應包含兩個重要定理和一個基本概念（解三角形）。但舊教材并未給出基本概念，而是以備注形式定義了“解斜三角形”，新教材則不同。那么，從“解斜三角形”到“解三角形”的變更意味著什么？

就名稱而言，斜三角形是指非直角三角形，而三角形是指任意三角形。如果說直角三角形是特殊三角形，那么斜三角形也是特殊三角形。因此，舊教材實現(xiàn)了從一種特殊情況入手解決了另一種特殊情況，即完成從特殊到特殊的推理。新教材則是在舊教材的基礎上，對三類三角形的結論進行整合、歸納，得出一般結論，實現(xiàn)了從一種特殊情況入手解決了一般情況，即完成從特殊到一般的推理。新課標最大的變化即提出了數(shù)學學科的六個核心素養(yǎng)，其中邏輯推理包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，一類是從一般到特殊的推理。因而，從“解斜三角形”到“解三角形”，表面上看是概念名稱的一字之變，實質(zhì)上是課標要求從關注知識上升到關注素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變。

（五）例題設置，貫徹“四基”要求

縱觀新教材正弦定理整節(jié)內(nèi)容，無論是從章節(jié)架構到問題設計，還是從證明方法到核心概念都變更出新，卻有一個環(huán)節(jié)保持不變——例題設置。

仔細研究發(fā)現(xiàn)，新教材中的例題保持不變與新課標提出的“四基”要求密切相關。新課標要求，通過數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，簡稱“四基”。而教材中的例題，不同于一般的習題，除了具有示范性作用外，它還具有基礎性和典型性，是直接圍繞數(shù)學核心概念和思想方法的基本問題，或者是通過概念之間的關聯(lián)產(chǎn)生的典型例題。因而，教材中的例題是學生獲得“四基”的重要載體之一。舊教材中的例題能夠延續(xù)到新教材中來，說明其本身已經(jīng)充分體現(xiàn)了“四基”要求。這樣的例題更值得教師在備課中深入思考，在課堂教學中充分利用，以達到通過例題的學習讓學生獲得“四基”的目的。

三、教材理解中的困惑

盡管從新課標視角去理解新教材的變更與否更容易，但同時也存在一些困惑。比如，新教材重點突出了向量法對三角形的研究。但縱觀整章內(nèi)容，除了定理證明，涉及向量法的題目共有三道，似乎有些虎頭蛇尾了。所以在教學中如何協(xié)調(diào)向量法與解三角形的地位問題，值得我們進一步去研究與探索。