有理函數不定積分方法的探究

李鑫 王麗瑤

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?任何多項式函數在復數域內都可分解為若干個一次項因式的乘積形式，考慮到一次項因式可能會出現重因式情況，研究從沒有重因式和有重因式兩種情況進行分析，對于每種情況都給出一種法則系統地進行求解，給出具體步驟、具體證明以及具體的計算公式，對于進一步學習有理函數不定積分有一定的實際意義。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?有理函數;不定積分;假分式;真分式

[中圖分類號] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2022）28-0058-03

一、引言

有理函數的不定積分求解是一個重難點，有像其他類型函數得積分（無理函數積分和三角函數積分則可以通過根式代換、三角代換、萬能代換、歐拉代換等求解），國內學者對有理函數的積分也有相關的研究。

有理函數的積分形式靈活多樣，對有理函數的積分方法為先將有理積分假分式化成真分式，把真分式進行拆分，不能進行拆分的，分子進行配方，便能更好地掌握有理函數的積分方法。有理函數不定積分的求解具有理論和現實意義，采用傳統的待定系數法求解次數較高的有理函數不定積分所需要的計算量較大，并且容易出錯。有理函數不定積分是高等數學的重要教學內容，要提出一種應用綜合除法解決一類有理函數不定積分的方法，并給出實例。國內學者張燕艷給出真分式不定積分的幾個公式，利用帶余除法和待定系數法將分式有理函數拆分為多項式與幾個真分式之和，再結合真分式不定積分公式，求出有理函數的不定積分，可結合復變函數留數理論較方便地求出結果。有理函數有真分式和假分式兩種，通過帶余除法和待定系數法對假分式進行分解，可以化成整式與真分式的和，給出真分式不定積分的公式，就能求得有理函數的不定積分，再結合復變函數留數理論來解決有理函數反常積分的求法。國內學者劉新文的文章闡述了求有理函數不定積分的指導思想和重要應用，詳細而系統地論述了有理函數的不定積分的求法，給出了解題步驟，并推導出有理函數的不定積分的遞推公式，對于系統學習和掌握有理函數不定積分的求法有一定的實際意義。留數的思想可在計算有理函數積分時用于確定待定系數，這種確定待定系數的留數法適用于一切有理函數的積分。

高等數學教材中有介紹待定系數法求解，但是對于待定系數法來說，需要求解線性方程組，分母因式多的話，會導致求解過程很麻煩。劉玉玲學者在《留數法在有理函數積分中的應用》中提到對于有理函數不定積分的研究，使用留數法求解是很不錯的方法，計算過程也相對簡單，但是對于出現重因式的情況時，也只是使用待定系數方法結合留數法進行求解，其計算程度也是比較麻煩的。本文將有理函數分成兩種情況（沒有重因式和有重因式），針對每種情況都介紹一種方法求解有理函數的積分，給出具體公式步驟以及證明，如遇到特殊情況利用復變函數的知識加以解釋，希望能對讀者有一定的幫助和借鑒。

二、預備知識

如前所說，初等函數的原函數未必是初等函數，我們將原函數為非初等函數的初等函數稱為不可積，就是說它們的不定積分是非初等函數;相反，對于原函數為初等函數的初等函數，則稱它們是可積的。

已經證明，有理函數的原函數一定是初等函數，并且可以通過展開為多項式與部分分式來求積分，這時部分分式的分子中系數可以通過待定系數法求解。本文我們討論一種新的求解方法，相對待定系數法而言，此方法更加快速便捷。

有理函數的不定積分實際上就是由有理函數與反正切函數以及對數函數形式組合成，當我們考慮復數域時，只要能將反正切函數的復變函數形式表示出來就可以在復數域內進行求解（對數函數可以由一次因式倒數求積分得到）。

五、總結與展望

根據法則一和法則二可針對一切有理函數積分的求解，本文不再一一列舉描述，從上面的四個例子可以看出，若一次因式中出現復數形式，那么它們所對應的分子系數互為共軛復數，若出現重因式，即可以使用求導來進行計算分子系數，也節省了計算量。

考慮到有理函數的不定積分其結果是由有理函數和對數型函數以及反正切函數組合成的。本文則針對有理函數不定積分進行求解，相比于待定系數法而言既節省計算量而且分子系數求解比較快，結合反正切函數的復變函數形式，就可以做到求解任何有理函數的不定積分。

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編輯 司 楠

①基金項目：黑龍江工業學院校級課題“應用型人才培養目標下的高校數學類課程教學改革的研究”。

作者簡介：李鑫（1991—），男，漢族，黑龍江雞西人，碩士研究生，助教，研究方向：應用數學。

王麗瑤（1991—），女，漢族，河北秦皇島人，碩士研究生，助教，研究方向：控制論。