淺析高中數學解題教學中變式訓練的重要性

張金軍

隨著素質教育理念的提出與深化，各級各類學校對教學質量也更加重視起來。新課改理念下，傳統的高中數學教學模式已經不能滿足現階段學生的學習需求以及國家教育改革的要求。教師應創新教學方法，重視解題教學中的變式訓練。實踐證明，通過引入變式訓練，能夠培養學生完善的數學思維，鍛煉多角度解決問題的能力。本文從不同角度詳細闡述了高中數學解題教學中如何進行變式訓練，希望能夠為相關教師帶來幫助。數學知識的學習對學生的邏輯推理能力以及數字處理能力有著重要的推動作用。高中階段，數學作為基礎科目之一，不僅會影響學生的整體高考成績，同時也會對其他學科的學習產生一定的影響。在解題教學中，訓練學生的變式思維能夠讓學生深刻了解數學知識的具體應用，感受不同概念之間的聯系。變式訓練的形式有很多種，比如一題多解、一題多變或多題組合等，教師在講解例題時應當根據例題的特點科學選擇教學方法，這樣才能促進學生學習能力的提升。

一、高中數學解題教學中變式訓練的重要性

高中數學教材為學生呈現了很多數學概念、公式、定理等，在單純學習這些知識時，學生會覺得很簡單，但是在做題時又覺得題目是千變萬化的，或者學會一種解題方法之后，當題目出現變化就又找不到解題思路了。出現這種現象的原因是，學生只掌握了數學理論知識，并沒有形成知識遷移的能力。針對這種現象，高中數學教師在講解例題時，應當選擇代表性的題目對學生進行延伸或演變。通過改變題目的已知條件或者題目的結構，讓知識不斷變化。學生根據知識的變化特點，選擇解題思路，通過這樣的變式訓練，學生才會從多種復雜條件中找出已知條件，順利形成解題思路，同時還能夠靈活使用自己所學習到的數學知識解決各類問題。除此之外，對學生進行變式訓練還能吸引學生的注意力，鍛煉學生的思考能力，提高學生對知識的發散能力和掌握能力。當然，教師在采取變式訓練的教學方法時，也應當關注學生之間的差異，善于借助小組合作法、問題情境法等，讓學生發現問題、獨立解決問題，從而真正提高數學核心素養。

二、高中數學解題教學中變式訓練的具體策略

（一）改變題目表達方式

高中數學解題過程中，很多學生都是由于無法弄清楚題目中的已知條件關系，更不清楚應當從哪個問題先入手，解答時才會出現混亂。教師在進行變式訓練時，可以通過改變題目的表述方式，不改變題目本質的方法，讓學生快速掌握這一類題型的突破口，從而迅速找出解決方案。

例如，經過點a和點b的動點p與a、b兩點組成直角apb，求動點p的軌跡方程。通過觀察發現，這道題是一個標準的題型，對題目分析之后，該題的本質就是求圓的方程。但若學生找不到題目的本質就無法進行解答。教師可以進行以下兩種變式：

第一，已知a、b兩點的坐標分別是（-3，0）和（3，0），點p與兩點連成的直線pa與pb相互垂直，求點p的軌跡方程。

第二，動直線L1經過固定點a（-3，0），而動直線L2經過固定點b（3，0），L1垂直于L2，求垂足p點的軌跡方程。

這兩種變式其實與原題目本質一樣，但是通過這樣的變化能夠提高學生的思維能力，并且學生的解答也會更加容易。

（二）通過改變題目的問題

教師選擇例題對學生進行變式訓練講解時，可以將題目中的題設固定，而改變題目的問題，這樣能夠讓學生從不同的角度解答問題，學生也可以通過小組合作等形式拓展思維，提高分析能力和溝通能力。當然，在具體教學中，教師也可以通過這樣的變式訓練對原題目進行變式，增加問題的難度，讓學生深度了解題目中所有條件的關系，并且幫助學生歸納、總結各種問題之間的規律，熟練掌握解題思路，真正做到一法解多題。

這樣的變式練習將題目中的問題深度增加很多，但其實題目中的已知條件并沒有變化，所以當學生能夠準確掌握各個數值之間的關系之后，就能夠用直角求解方法解答在鈍角和銳角情況下，點P的取值范圍，也能夠在該題目的解答中找到數學學習的成就感。

（三）一題多變，提高學生的思維能力

學生在解答數學問題時會發現，很多數學練習題都有相似的條件，但是不同的練習題卻又在考查不同的知識點，如果只用自己的思維很難得出正確答案，因此教師應當利用變式訓練，通過典型例題向學生展示一題多變的過程，從而完善學生的數學思維。在講解例題時，教師不僅要講解解題方法，同時也要讓學生自己概括題目中所考查的數學知識點，或者也可以通過改變題目之間的關系，讓學生感受到知識之間的互相聯系。

例如，在講解切線方程求解時，可以通過以下例題的改變完善學生的數學思維。已知以點O為中心的圓，求解經過圓上一點a的切線方程。這道題目主要考查學生對切線方程知識的理解和求解步驟。教師可以進行如下改變：第一，已知點a是圓O內部的一點，并且與圓心O不重合，求通過點a的直線與圓O總共有幾個交點。將切線方程的求解問題變化成直線與圓相交的問題，學生的數學思維能夠得到有效的發散。第二，已知點a是圓O外的一點，求通過點a的直線與圓O的關系。通過上述的改變，學生可以分類討論，將每種情況匯總進行解答，會從相交、相切、相離三種關系進行討論。這樣一來，就能更好地提高學生的數學解題能力。

（四）通過一題多解，培養學生多方面分析數學問題的能力

變式訓練的主要內容之一就是一題多解，學生用不同的解答方法解決同一個問題，不僅僅是思考已知條件之間的關系，同時也是深入對數學概念、公式、定理應用的思考，在遇到類似題目時，解答的思路會更加明確。例如，教師在講解函數值域的練習時，就可以通過以下例題讓學生從多個角度進行分析，從而培養學生一題多解的能力。

教師可以留給學生足夠的時間，讓學生自主討論對該問題進行解答。然后教師評價學生的解題思路和結果。最后引導學生從不同的解題方法中完成各題的解答。第一，可以使用常數分離來完成解題。首先將分子通過加1、減1的步驟實現對函數的簡化，然后再對該函數進行值域的求解。第二，可以利用反解法。首先將x的表達式轉化為y的表達式，然后通過x的取值范圍確定y的取值范圍。第三，可以利用判別式進行解答。通過配湊來將函數表達式轉化為判別式方程。三種方法讓學生一一進行書寫，解題能力能有效提升。

（五）多題歸一，提高學生的匯總能力

教師在例題講解中使用變式訓練時，會涉及很多數學題目。對一題多變和一題多解的方法，應當合理使用，這樣才能夠提高學生的數學思維，如果學生經過變式訓練之后仍對數學習題的記憶程度不理想，此時教師就可以鼓勵和引導學生對數學習題進行總結，最終達到多題歸一的目的。學生將相似的題目進行匯總，找出相似的解答步驟和思想，再遇到類似題目時就能夠清楚地解答。當然，教師還可以培養學生及時做筆記的習慣，在復習題目解答過程中，可以對自己的筆記進行梳理，不斷舉一反三、查漏補缺。

（六）將假設條件和提問形式做改變

使用將假設條件和提問形式做改變這樣的變式訓練方式時，教師應當注意其難度較大，一定是在學生熟練掌握所有數學概念、公式、定理，準確領會數學問題之后才能使用的方法。使用該種方法時，教師也應當不斷引導學生的解題思路，使學生漸漸掌握該種方法。需要注意的是，教師在對學生進行變式訓練時，一定要根據學生的知識儲備、教材目標合理安排任務，在學生能夠接受的范圍內進行變式訓練，這樣才能夠不斷引導學生向著高階思維努力。變式的形式有很多，并且比較復雜，不同的題型使用的變式方法也各不相同，教師應當鼓勵學生參與到變式的解題中，這樣才能在短時間內解決數學問題。

此時，教師就可以將該例題改變為以下形式：雙曲線上有兩個焦點，分別是F1和F2，點P在雙曲線上，并且PF1與PF2互相垂直，求P到x軸的距離。

綜上所述，在高中數學解題教學中，教師首先應當重視變式訓練的重要性。其次，應當仔細研究教材，樹立終身學習的意識，對新課改理念、“雙減”政策等仔細學習，深刻理解，并將其應用在具體的教學中。教師在講授題目的過程中，還應當重視與學生建立良好的師生關系，盡可能站在學生的角度，降低學生的解題難度，發散學生的解題思維，這樣才能夠讓學生感受到數學學習的樂趣，提高學生學習數學的信心。

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