激活初中數學經典,提升數學核心素養

楊智明

研究課標、考綱、教材是教師日常備課的重要一環.作為一線數學教師，我們不喜歡加班加點，要讓課堂有實效，充分利用好堂上時間培養學生的數學核心素，還要突破過去單一、枯燥、無趣的刷題式的課堂教學模式，激起學生的學習熱情.教師必須要在課堂準備階段先跳進題海，選取適當的具有代表性的母題，通過合理的設計引導并帶領學生總結構建數學模型，通過分析對比提升邏輯推理素養，實現讓學生跳出題海，在數學課堂上讓學生的數學核心素養得到培養，使得課堂更具實效.

一、激活經典母題，抽象歸納，提升直觀想象和建模素養

初中數學人教版教材九年級下冊解直角三角形中有這樣一道典型的例題：

題目1：如圖1熱氣球的探測器顯示，從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球A處與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結果取整數）？

解：如圖2：過A作AD⊥BC，垂足為D.

在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=120m，

∴BD=AD·tan30°=120×=40m.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AD=120m，

∴CD=AD·tan60°=120×=120m，

∴BC=BD+CD=40+120=160≈277m.

答：這棟樓高約為277m.

通過從以上經典母題我們可以發現∠BAC=90°，其中90°可以切割分為30°與60°的和，從而把一個角分割變成熟悉的兩個特殊角，把一個三角形的問題轉化為兩個特殊直角三角形的問題來解決，通過此問題的解決可以歸納出解決此類題型一個模型是：分割其中一個角變成兩個熟悉的具有特殊角的直角三角形的模型來處理.采用以上的模型分割的原理可以發現下面的兩道題可以迎刃而解.

題目2：如圖3，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P為BC的中點，E、F分別是AB、AC上的動點，∠EPF=45°.

（1）求證：△BPE∽△CFP.

（2）當BE=時，求△AEF的面積;

（3）設BE=x，當E，F在運動過程中，∠EFP是否可能等于60°，若可能，請求出x的值，若不可能，請說明理由.

先撇開第（1）（2）問，直接看第三問：知道∠EPF=45°，若∠EFP=

60°時，由三角形內角和可知∠FEP=75°，過點E作EM⊥PF，可以把75°角可分割成45°與30°的和（如圖4），這樣把原來非直角三角形就分割成兩個具有特殊角的直角三角形，問題迎刃而解.

題目3：從一幢建筑大樓的兩個觀察點A，B觀察地面的花壇（點C），測得俯角分別為15°和60°，如圖5，直線AB與地面垂直，AB=50米，試求出點B到點C的距離.（結果保留根號）

由已知條件可得∠BAC=105°，過點A作AD⊥CB，可把105°可以分割成45°與60°的和（如圖6），問題同樣迎刃而解.

上面兩道題目結合經典母題來看，發現都與經典例題的模型一致：90°角可以分割成30°與60°角的和，75°角可以分割成45°與30°角的和，105°可以分割成45°與60°角的和.通過教材經典母題的激活，構建模型得出解決解直角三角形同類型題目普遍適用的模型，直觀、易理解，既加深了學生的直觀想象，又培養了學生對數學建模的理解，讓數學的核心素養在課堂中得到滲透，提升課堂效率達到事半功倍的效果.

二、多層次激活經典母題，提高直觀想象和數據分析素養

經歷過初中三年循環教學的老師對下面的三個圖形（圖7）都相當熟悉，都是來自教材的經典的圖形，同時我們對下面的題目4也是相當的熟悉，是廣東中考試題.

題目4：（1）如圖，圓內接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為☉O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G.求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的 .

（2）如圖8，若∠DOE保持120°角度不變.求證：當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC面積的.

筆者在一次參加中山市中考備考會議的時候，專家給大家呈現了上面教材的經典母題，通過類比變為圓內接正邊形的問題便演變成我們所熟悉的中考試題，同時再次激活母題，通過圓的內接正多邊形的原理讓圓的內接正多邊形的邊數逐漸增加，基于母題的多層激活可以得到圓的內接正四邊形、正五邊形、正六邊形……（如下圖9-16）相關類型的題，針對基本母題的多層激活，直觀的進行對比，通過改變數據，既培養學生的直觀想象的素養，同時在改變數據的基礎上讓學生領悟數據的分析與處理，提升了學生的直觀想象素養和數據分析素養.同時通過一道題目的方法總結得出解決此類圓內接多邊形的模型.

三、激活經典母題，螺旋提升數學推理素養

我們再來看2019年廣東中考試題的第19題作圖題目：如圖17：在△ABC中，點D是AB邊上的一點.（1）請用尺規作圖，在△ABC內，求作∠ADE，使∠ADE=∠B（不要求寫做法，保留作圖痕跡）.（2）在（1）的條件下，若=2，求的值.

從題目命制的角度來看，考查的是八年級教材的經典母題：作一個角等于已知角的問題.但是此題除了常規的考察方法與模型外，由此引申出來的方法比較多.由其他的方法仔細分析不難發現命題者在考查學生的數學素養，老師在平常的課堂中是否落實了數學的核心素養.特別是最后的中考總復習過程中能否對知識點形成網絡，能否再次喚醒并落實培養學生的數學素養.

（一）從模仿到變通——邏輯推理能力素養的形成

根據題目要求：求作∠ADE，使∠ADE=∠B，常規的做法已經形成了固定的模式是作一個角等于已知角，如下圖（1）：此法學生完全可以模仿老師課堂所教的基本作圖方法完成.從完成的圖形看來，邏輯推理能力好的學生不難發現由于∠ADE=∠B，可得DE//BC，那么從原理上來看，我們只需要作角后使得DE//BC即可！根據平行線的判定，除了同位角相等可以得到直線平行外，還可以由內錯角相等得到兩直線平行，因此可以得到第二種作圖方法，如下圖（2），利用內錯角相等得到兩直線平行，從而得到要求作的∠ADE=∠B.除了利用常規的方法以外還可以構建等腰△BDF，如圖（3）作∠ABC的平分線，以點D為圓心，BD為半徑畫弧與∠ABC的平分線相交于點F，從而可得DE//BC，進而得到∠ADE=∠B;如圖（4）同樣構建等腰△BDF可以得到等腰三角形頂角的平分線與底邊平行，得到∠ADE=∠B，從而可以得到第四中作圖方法.

不難發現以上四種作圖均可以使得∠ADE=∠B，其中圖（1）的方法只需要學生掌握老師課堂上講的基本作圖便可以作出來，但是要想學生用圖（2）、（3）、（4）其中一種方法作出來，均要求有不同程度的邏輯推理：要想得到∠ADE=∠B，可以先得到DE//BC.通過邏輯推理，分析、尋找、作出平行線.基于圖（2）、（3）、（4）的幾種作圖，要求老師課堂上注重基本方法的理解、掌握以及邏輯推理能力的訓練，學生只有通過老師的引導在課堂上慢慢的積累沉淀下來，形成邏輯推理能力才能得出相關的作圖方法！

（二）從變通到加深——邏輯推理能力再邁進一個臺階

從上面圖（2）（3）（4）的幾種作圖發現都是通過邏輯推理的方法先得到平行，然后再由平行得到∠ADE=∠B.除了從角的關系得到平行，再由平行推導出角相等外，還可以通過構建平行四邊形或特殊平行四邊形的方法得到平行，再通過平行得到∠ADE=∠B.

其中圖（5）以BD，BC為鄰邊作出平行四邊形，由平行四邊BCFD的對邊平行得到DF//BC從而得∠ADE=∠B;圖（6）以點B為頂點BD為邊，作出菱形BDGF從而得到DG//BF，再得到∠ADE=∠B;圖（7）先從點D向BC作垂線，截取線段DG使得DG=DF，再作線段GF的垂直平分線，相當于構造矩形或正方形得到DE//BC從而得到∠ADE=∠B.從以上的三種作圖來看，要求學生不但對要想得到角相等，還先得到平行的一種逆向邏輯思維完全理解，還能聯想到平行可以由平行四邊形或特殊的平行四邊形對邊平行的性質得到，對邏輯推理的要求更高了，要求老師在平常的課堂上注重邏輯推理能力的深挖，比以上圖（2）（3）（4）的幾種情況對學生的邏輯推理能力邁進一個新的臺階.假如老師平常課堂上沒有注重邏輯推理素養的理解，也沒有注重讓學生領悟各個知識點之間的聯系，相信學生必定完成不出這樣的圖形.

（三）從加深到跳躍——邏輯推理能力的升華

圖（7）從點D向BC作垂線，截取線段DG使得DG=DF，再作線段GF的垂直平分線，從而得到DE//BC;圖（8）作BC的垂直平分線，再過點D作BC垂直平分線的垂線，從而得到DE//BC;圖（9）以點D為圓心，DB為半徑作圓，分別交AB，BC于點F，G，連接FG，過點D作FG的垂線，從而得到DE//BC，以上三種方法均利用在同一平面內垂直于同一直線的兩條直線平行，從而由DE//BC得到∠ADE=∠B.

從以上圖（7）、（8）、（9）的作圖來看，對學生的邏輯推理能力要求更高了，“在同一平面內垂直于同一直線的兩條直線平行”在平常的解題中我們經常用到，但是利用此定理來作圖卻很少，學生能歸納得出以上的方法，跨度和跳躍性都比較大，能夠完成這樣的作圖歸功于老師平常課堂的反復滲透，注重知識的整合與成網，注重學生邏輯推理能力的形成，正所謂：臺上一分鐘，臺下十年功，只有老師平常注重邏輯推理的素養的形成才能收到以上的效果.

綜上所述，初中數學課堂培養學生的核心素養體現了數學教育的意義與價值.學生數學素養的提高需要時間與積累，不積跬步無以至千里，我相信：只有不斷地堅持，迎合學生的發展特點，充分了解核心素養的性質、內容及特征，將數學知識與核心素養相結合，以教材經典為母題，優化課堂設計，反復激活母題的內涵外延，注重直觀抽象和數學模型的構建，注重分析對比和邏輯推理素養的提升，逐步積累，關注學生的成長特征，讓學生真正感受到數學課堂的魅力，在潛移默化中促進學生形成良好的核心素養，是我們數學人的不斷追求.

【本文系廣東省教育科學“十三五”規劃2020年度研究項目“師范生學科育人能力檢測模型構建與運用研究”（課題號：2020GXJK351）研究成果】

責任編輯 徐國堅