例談基于深度教學理念的數學活動課教學

林金菊

深度教學理念是以發展性的教學價值觀、課程知識觀、學習觀、教學過程觀和學習環境觀為基礎，意在促進發展的一整套教學理念和教學策略。實施深度教學，引導學生深度學習，實現學科的育人功能，有利于發展學生的核心素養。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，通過義務教育階段的數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界（簡稱“三會”）。人教版初中數學教材在每章結束后均設有“數學活動”欄目，筆者通過挖掘教材中的內容，對適合“數學活動課”教學的內容進行整理、改編、補充、拓展、完善、再創造，把教材中靜態的文本變為活潑生動的數學活動課的素材，充分發揮此課型在培養學生數學核心素養方面的育人價值。

一、添加梯度，促進學生的層進式學習

案例1：八年級下冊第十八章“實驗與探究”的切割正方形問題。

給你兩個大小不等的正方形，你能通過切割把它們拼接成一個大正方形嗎？（參考圖1）說明你的拼法的道理。

此內容很適合以活動課的形式開展圖形的切割拼接探究活動。如何切割、如何拼接，這是學生的困惑點。由于學生沒有這方面的經驗，如果直接讓他們操作，他們會無所適從。因此教師需要增加活動，并設置一系列的問題串，添加活動內容的梯度，讓學生能拾階而上，循序漸進地解決問題。

增加活動：如圖2，給你兩個大小相等的正方形，你能通過切割把它們拼接成一個大正方形嗎？你能提供幾種設計方案？

追問1：以上方案的共同點是什么？（從“大正方形面積是小正方形面積的2倍”推知“大正方形邊長是小正方形邊長的倍”，以此找到大正方形的邊長）

追問2：如圖3，如果原來的兩個小正方形邊長不等，又該怎么分割呢？如何表示這兩個正方形的邊長呢？剪拼得到的正方形面積和邊長又分別是多少呢？（設原來兩個正方形的邊長分別為a和b，則拼成的新正方形的邊長為、面積為a2+b2）

追問3：圖中有長度為的線段嗎？請你作出來。除此之外，還有長度為的線段嗎？（利用平移的思想，進一步發現圖形中隱藏的大正方形的邊）

追問4：以一條線段作為邊，怎樣作一個正方形？你有幾種作法？（以圖形中任何一條長度為的線段作正方形都能夠找出剪拼方案）

追問5：請對比新的正方形與原來的正方形，將重疊部分并做好標記，你能說出你的剪拼方案嗎？（教師邀請學生代表上臺展示剪拼方案如圖4、圖5）

教師增加了一個活動（邊長相等的兩個小正方形剪拼），學生初步感知剪拼的可行性，找到了問題關鍵點（依據總面積不變與勾股定理找出正方形的邊長），在問題串的引領下，嘗試剪拼，思考成功或失敗的原因，發現剪拼規律（依據邊作出正方形并找到重疊部分，將不重疊部分剪拼填空），展示分享自己的解決方案。在這個活動中，“學生的思維方式由簡到繁，由淺到深，依次轉化，層層遞進，其發展的各個階段是環環相扣、逐級上升的”，促進了學生的層進式學習，培養了學生的科學態度。

二、豐富厚度，促進學生的沉浸性學習

案例2：七年級上冊第一章“實驗與探究”的幻方探秘。

傳統課堂強調的是幻方的求解方法。而在數學活動課中，教師先介紹幻方起源于“洛書”：相傳，在夏禹治水時，洛水河中出現了一只巨大的神龜，背上刻有美妙的圖案，史稱洛書（如圖6）。我們用數字把龜背上的點表示出來，就成了幻方（如圖7）。學生欣賞洛書，了解幻方的歷史，增強民族自豪感。

教師引導學生觀察幻方，引出幻方和幻和的概念，并引申出三階幻方、四階幻方、五階幻方、六階幻方，接著學生在獨立思考、小組交流、合作探究、自主構造三階幻方后發現以下規律：（1）幻和=中間數×3;（2）與中間數對應的上下、左右、對角兩數的和=中間數×2。

然后，教師介紹幻方的其他構造法——楊輝斜排法（圖略），并補充：我國數學家楊輝早在公元13世紀就已經編制出3-10階幻方。

本活動增加了幻方的起源，讓學生感受到了祖國文化的深厚底蘊。借助有理數的運算探索規律，揭示三階幻方的本質特征，學生感受幻方的對稱美。在嘗試構造三階幻方中，學生體會數學知識的作用，提高了邏輯思維能力。最后的知識拓展（楊輝斜排法），豐富了內容的厚度，繼承和弘揚了中華優秀傳統文化，開闊了學生的視野，讓學生全身心投入探究活動中，促進了學生的沉浸性學習。

三、轉換角度，促進學生的整合性學習

案例3：九年級下冊第二十六章“數學活動”的杠桿原理。

杠桿原理亦稱“杠桿平衡條件”，是物理學力學定理之一。在物理教學中強調杠桿的概念、要素、分類、動態平衡分析以及應用等。

在數學活動課中，學生通過動手實驗、運用表格記錄結果、對比分析，發現杠桿平衡條件：動力×動力臂=阻力×阻力臂（用代數式表示為F1·L1=F2·L2）。題目已知F2=9.8，L2=25，則彈簧秤的示數F與距離L是反比例函數，即F=，根據已知條件得K=9.8×25=245，則 F=。最后，教師在計算軟件Geogebra上畫出F=的函數圖像并進行演示。

本活動中，教師整合了物理的杠桿原理、操作活動、記錄表格、計算軟件演示等資源，引導學生從函數的角度深刻體會彈簧秤的示數F與距離L兩個變量之間的一一對應關系，轉換了原問題在物理科目的思考角度，引導學生在跨學科的背景下用數學的眼光觀察現實世界，用數學的語言表達現實世界中事物的概念、關系和規律，幫助學生感悟數學與現實世界的聯系。

四、拓展廣度，促進學生的意義性學習

案例4：九年級上冊第二十五章“數學活動”。

關于概率初步知識，教材只設計了兩個活動：（1）在A、B、C三個區域的靶型圖形中隨機撒一把豆子，求事件“豆子落在區域C中”的概率;（2）從只含有一張黑桃的三張撲克牌中抽牌，用頻率估計抽到黑桃的概率。

傳統課堂并沒有放手讓學生操作，只是運用數學邏輯推理列舉其結果。課題組教師發現教材設計的這兩個活動還不夠說明用頻率估計概率的操作方法，也不夠貼近學生的生活，所以在處理教材時就增加了另外兩個活動，一個是求同學在罰球線上投籃投中的概率，另一個活動是重復多次拋一枚硬幣，驗證正面向上的概率是二分之一。于是，教師提前一周分組、布置活動任務，各組按分好的任務設計實驗步驟，并用課余時間反復多次試驗，收集試驗數據后進行分析整理計算，全過程錄像，并以小組為單位做好頻率估計概率的PPT課件，在課堂上進行活動匯報。

深度教學理論指出，“構筑知識學習與學生發展之間的意義關系，是深度教學的質的規定性”，增加的這兩個活動更貼近學生的實際生活，調動了他們參與活動的積極性。通過分組試驗，學生體會了用試驗法求概率的全過程，加深了對“從收集數據、整理數據、分析數據到描述數據等統計過程每一步操作”的理解，感悟了用頻率估計概率的方法和現實意義，形成了數據觀念。學會用數學語言表達現實世界，促進了學生的意義性學習。

五、增加“前傳”，促進學生的生成性學習

案例5：七年級下冊第五章“兩平行線間的拐點”問題。

如圖8至圖12，已知AB//CD，請用含∠A、∠C的式子表示∠E。

學生在學習了相交線和平行線等知識后，遇到兩平行線間的拐點問題。傳統課堂上教師著重于題目的講解，至于這些圖形是怎么來的，學生無從得知。這個問題在活動課中又應該如何處理？教師應該增加數學探究活動，讓學生明晰研究內容的“來龍去脈”。

教師結合題目特點，自主開發教學用具（如圖12）：在一塊矩形的硬紙板上，畫出兩條平行直線AB∥CD，在點A、C處分別鉆一個小孔，穿上一條拉直的橡皮筋AC，這樣學具就做好了。課堂上，教師引導學生分析學具特點并思考：在AC上任取一點E，向不同的方向拉動點E，能得到幾種不同的圖形？你能把這些圖形進行分類嗎？新穎的學具，激發了學生的探究興趣，他們在實物模具上操作，動手動腦動筆，畫出了相應的圖形，并展示在黑板上。學生通過觀察發現，點E在兩直線的位置關系不同，導致圖形不一樣，于是圖形分類的問題迎刃而解。自主探究體驗到的成功感鼓舞了學生，提高了課堂學習效率。

生成性即建構性，是主體自我的建構過程，生成彰顯了教學的過程屬性和過程價值。學生在操作學具探究的過程中，通過觀察、比較、聯想、分析、歸納、大膽猜想和概括，識別了基本圖形，理清解題思路，體會圖形之間變化及聯系，提高了圖形建構能力。

六、續寫“后傳”，促進學生的理解性學習

案例6：八年級下冊第十七章“拓廣探索”的“螞蟻爬行圓柱體表面”問題。

圓柱體的底面周長為18cm，高AC為12cm ，一只螞蟻從A點出發，沿著圓柱的側面爬行到點B，試求出爬行的最短路程。（圖略）

此題目在傳統課堂教學中教師往往只是講授或者進行模型展示，學生被動接受和理解，但是把它設計成數學活動課，學生就可以對圓柱體模型進行動手操作，把圓柱體的側面展開成矩形，標注出A、B兩點，多次嘗試后，發現線段AB就是最短路徑（學生畫出線段AB后，還會把矩形重新卷回圓柱體模型，多次反復操作以驗證結果），再運用“勾股定理”解決問題。

接著，把上述活動中的圓柱體先后分別換成以下物體：（1）棱長為1cm的正方體盒子;（2）長、寬、高分別為6cm、3cm和12cm的長方體;（3）每一級的長、寬、高分別等于20cm、3cm和2cm的三級臺階。螞蟻沿著表面從A點爬行到B點的最短路程又是多少呢？

所謂數學思考，就是在遇到各種各樣問題情境時，能夠運用數學知識、數學方法和數學思想去分析、探究，從而發現其中存在的數學現象和數學規律，并運用數學知識和數學方法加以解決的過程。從圓柱體延伸到正方體、長方體和三級臺階，學生在對以上模型進行動手操作的過程中，體會到不變的是：需要把立體圖形轉化為平面圖形，再利用“兩點之間線段最短”和“勾股定理”解決問題。在這個過程中，學生體會到了轉化思想，鍛煉了分類討論的意識，提高了邏輯思維能力，豐富了數學活動經驗，拓展了知識廣度、深度和關聯度。

教師要尊重教材、理解教材、拓展教材、活用教材，讓教材成為數學活動課設計的重要素材及載體。開展數學活動課，引導學生通過動手操作、實踐活動等形式來學習數學、探究數學，并運用數學知識解決實際問題，有利于促進學生深度學習，提升學生數學核心素養。

責任編輯 羅 峰