“中點(diǎn)”聯(lián)想，巧破幾何

郭芳

【摘要】“中點(diǎn)”是初中幾何的重要概念，線段的中點(diǎn)將所在線段分為長度相等的兩條線段，是線段上最為特殊的點(diǎn).在實(shí)際解題時(shí)要學(xué)會(huì)基于“中點(diǎn)”開展聯(lián)想，構(gòu)建解題思路.中點(diǎn)聯(lián)想實(shí)際上也是一種重要的解題方法，本文舉例探究.

【關(guān)鍵詞】中點(diǎn);初中幾何;解題思路

1 構(gòu)中線，可倍長

“構(gòu)中線，可倍長”，即在三角形中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，可基于中點(diǎn)構(gòu)造中線，通過延長或倍長中線來構(gòu)造全等三角形或平行四邊形，進(jìn)而由特殊圖形的性質(zhì)來推導(dǎo)幾何關(guān)系.

例1 （1）如圖1所示，△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，有∠BAC=∠EDC=90°，且點(diǎn)B、C、E在同一直線上，點(diǎn)P為線段BE的中點(diǎn)，試證明AP=DP.

（2）若將上述的“△ABC和△DCE均為等腰直角三角形”替換為“△ABC∽△DEC”，其他條件不變，再次證明AP=DP.

解析 上述求證三角形中的兩線相等，條件存在關(guān)聯(lián)性，點(diǎn)P為線段BE的中點(diǎn)，可采用倍長中線法.

（1）延長DP至點(diǎn)F，使得DP=PF，連接BF、AF和AD，如圖2所示，易證△ABF≌△ACD，由全等性質(zhì)可得∠BAF=∠DAC，所以∠FAD=90°，△FAD為直角三角形.又知點(diǎn)P為FD的中點(diǎn)，所以AP=DP，得證.

（2）同樣延長DP至點(diǎn)F，使得DP=PF，連接BF、AF和AD，如圖3所示.已知△ABC∽△DEC，則AB：AC=DE：DC，又知DE=BF，所以AB：AC=BF：DC.通過角度代換可得∠ACD=∠ABF，所以△ACD∽△ABF，可得∠BAF=∠CAD，所以∠FAD=90°，△FAD為直角三角形.同理可證AP=DP.

評(píng)析 上述問題突破時(shí)充分利用中線倍長法，把握線段中點(diǎn)，構(gòu)造倍長線段，形成全等三角形，推導(dǎo)出等長線段，為后續(xù)的結(jié)論推導(dǎo)作鋪墊.中線法有轉(zhuǎn)移線段和幾何角的作用，探究學(xué)習(xí)要領(lǐng)悟其中的構(gòu)造思想.

2 斜邊“中”，是一半

斜邊“中”，是一半，即在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.因此解題時(shí)若出現(xiàn)直角三角形斜邊三角形的中點(diǎn)，則可以把握該特性，聯(lián)想斜邊中線，由中點(diǎn)轉(zhuǎn)換為斜邊中線.

例2 如圖4所示，BN和CM分別為△ABC的兩條高，點(diǎn)D和E分別為BC和MN的中點(diǎn)，試證明DE⊥MN.

解析 本題目求證兩線垂直，可先連接DM和DN，由直角三角形斜邊上的中點(diǎn)聯(lián)想中線，利用中線推導(dǎo)結(jié)論，具體如下.

連接DM和DN，已知BN和CM分別為△ABC的兩條高，則BN⊥AC，CM⊥AB，所以∠BMC=∠CNB=90°.

又知點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則DM和DN分別為Rt△BMC和Rt△BNC對(duì)應(yīng)斜邊上的中線，則有DM=12BC，DN=12BC，所以DM=DN，從而可知△DMN為等腰三角形.

而點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，所以DE⊥MN.

評(píng)析 上述問題解析充分利用了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，由斜邊中點(diǎn)展開聯(lián)想，構(gòu)造中線，推理線段關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出等腰三角形，完成證明.解題探究中需充分理解定理特性，形成“直角三角形→斜邊中點(diǎn)→三角形中線→線段關(guān)系”的系統(tǒng)解題思路.

3 等腰底，中垂分

“三線合一”是等腰三角形重要的性質(zhì)定理，即等腰三角形底邊上的高、中線和垂線重合.故問題中出現(xiàn)等腰三角形底邊中點(diǎn)時(shí)，可過中點(diǎn)作垂線，構(gòu)造垂直平行線，可在等腰三角形中實(shí)現(xiàn)性質(zhì)結(jié)論轉(zhuǎn)換.

例3如圖5所示，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，BD是∠ABC的平分線，且AD⊥BD于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，試證明BE=2AD.

解析 本題目要求證明線段關(guān)系，圖形中存在眾多的特性，BD平分∠ABC，則可以把握該特點(diǎn)，通過補(bǔ)形構(gòu)造等腰三角形，利用特性逐步推導(dǎo)，過程如下.

延長AD和BC，設(shè)兩線的交點(diǎn)為F，則△ABF為等腰三角形，如圖5所示，由于BD⊥AD且BD平分∠ABC，由等腰三角形的三線合一可得AD=FD.

通過等角代換可得∠FAC=∠CBD，又知∠FCA=∠ECB=90°，AC=BC，可證△AFC≌△BEC，由全等特性可推知AF=BE，所以AD=12BE，即BE=2AD.

評(píng)析 上述問題突破時(shí)充分利用了等腰三角形的特性“三線合一”，充分把握?qǐng)D中的角平分，構(gòu)造等腰三角形，基于底邊“中點(diǎn)”展開聯(lián)想，推導(dǎo)線段關(guān)系.解題探究時(shí)需要充分理解“三線合一”，把握其中的中點(diǎn)、垂足、平分點(diǎn)，形成等角、等邊、垂直三者關(guān)系之間的互推.

4 結(jié)語

總之，把握幾何“中點(diǎn)”，善于聯(lián)想構(gòu)圖，可以高效解題.基于中點(diǎn)開展的構(gòu)圖及思路展開，核心是幾何定理，如上述的斜邊中線特性、“三線合一”、垂徑定理，在初中幾何中有著重要應(yīng)用.因此開展中點(diǎn)聯(lián)想探究，要立足幾何定理，總結(jié)構(gòu)圖方法，形成有效的解題策略.