“兩邊夾法則”在解題中的使用

王靜林

【摘要】通常情況下，在解決各種數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，會(huì)用到各種數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)法則等.作為數(shù)學(xué)解題工具的“兩邊夾法則”，將其應(yīng)用在實(shí)際的數(shù)學(xué)題目中，不僅能夠給解題帶來很大的便利，還能夠從中探究出數(shù)學(xué)題目解答的規(guī)律，從而幫助學(xué)生更好的掌握和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).本文從“兩邊夾法則”在各種數(shù)學(xué)題目中的解題應(yīng)用出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行深入的揭示.

【關(guān)鍵詞】?jī)蛇厞A法則;解題應(yīng)用;數(shù)學(xué)解題

“兩邊夾法則”的性質(zhì)是“若a≤x≤a，那么x=a”，根據(jù)兩邊夾法則的這一性質(zhì)能夠解決很多數(shù)學(xué)方面的問題.將“兩邊夾法則”在數(shù)學(xué)解題當(dāng)中應(yīng)用的時(shí)候，必須要先理解數(shù)學(xué)問題的題目意思，由此建立起相關(guān)的不等式關(guān)系，然后借助兩邊夾法則確定下來其中的參數(shù)值，最終完成不等向相等、變量到常量、運(yùn)動(dòng)到靜止?fàn)顩r的轉(zhuǎn)變[1].用具體的數(shù)學(xué)實(shí)例來進(jìn)行具體的說明，具體內(nèi)容如下：

1 利用“兩邊夾法則”解方程

例1 是否存在一個(gè)常數(shù)c，能夠使不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤ xx+2y+y2x+y對(duì)于任意正數(shù)x，y成立.

解 令2x+y=a，x+2y=b（a>0，b>0），

則不等式可以轉(zhuǎn)化為x2x+y+yx+2y = 2a-b3a +2b-a3b=43 -13（ba + ab）

≤43 -23 = 23，

當(dāng)且僅當(dāng)ba = ab ，即x=y的時(shí)候取“=”.

因?yàn)閤2x+y+yx+2y≤c對(duì)于任意正數(shù)的x，y成立，

所以（x2x+y+yx+2y）max≤c，

此時(shí)c≥23. ……①

同理，xx+2y+y2x+y=23（ba + ab）-23

≥23×2 —23 = 23，

當(dāng)且僅當(dāng)ba = ab ，即x=y的時(shí)候取“=”.

因?yàn)閏≤xx+2y+y2x+y對(duì)于任意正數(shù)的x，y成立，

所以c≤（xx+2y+y2x+y）min

此時(shí)c≤23.……②

由①和②綜合可得c=23.

2 利用“兩邊夾法則”求解函數(shù)解析式

例2 已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（-1，0）這個(gè)點(diǎn)，并且x≤fx≤12x2+12恒成立，求二次函數(shù)fx的函數(shù)解析式.

解 由二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（-1，0）這個(gè)點(diǎn)，

得a-b+c=0，? ……①

又x≤fx≤12x2+12恒成立，

則可得1≤f1≤1，

即f1=a+b+c=1， ?……②

結(jié)合①和②可得a+c=12，b=12，

所以fx=ax2+12x+12 - a對(duì)于x∈R都成立，

由此x≤ax2+12x+12 - a≤x2+12對(duì)于x∈R都成立，

即ax2+12x+12-a≥x，ax2+12x+12-a≤x2+12對(duì)于x∈R都成立，

所以ax2-12x+12-a≥0，1-2ax2-x+2a≥0對(duì)于x∈R都成立，

所以Δ1=14-4a（12-a），a>0，Δ2=1-8a1-2a≤0，1-2a>0，

解得a=14，

所以c=12-14=14.

由此可得出二次函數(shù)的解析式為fx=14x2+12x+14.

3 利用“兩邊夾法則”求角的大小

例3 已知在三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c滿足sinA（sinA+2 3sinBsinC=3sin2B+3sin2C，則C的大小為.

分析 兩邊夾法則有兩個(gè)層面[2]：

（1）如果同時(shí)有不等式fx≤fx+γ（γ≠0）成立，

則利用兩邊夾法則可以得出：f（x+γ）= f（x）.

（2）如果同時(shí)有不等式fx≥a，fx≤b（a

利用兩邊夾定理可得a≤fx≤b.

結(jié)合題目相關(guān)的條件和性質(zhì)以兩邊夾定理進(jìn)行分析和求解.

通常情況下，兩邊夾法則的應(yīng)用是在題目條件不足的狀況下[3].

解 根據(jù)正弦定理可知，

sinA（sinA+2 3sinBsinC）=3sin2B+3sin2C

a2+2 3absinC=3b2+3c2? ……①

在△ABC當(dāng)中根據(jù)余弦定理可得

c2=a2+b2-2abcosC???? ……②

根據(jù)①和②可知，

a2+2 3absinC=3b2+3a2+3b2-6abcosC

又 3absinC+3abcosc=a2+3b2

即可得 3sinC+3cosC=ab+3ba

又2 3sin（C+π3）=ab + 3ba

又2 3sin（C+π3）≤2 3，ab + 3ba ≥2 3

所以sin（C+π3）=1

C=π6

4 結(jié)語(yǔ)

在應(yīng)用兩邊夾法則解題的時(shí)候，不僅可以解方程、求函數(shù)解析式和求三角形中角的大小，還能夠用于比較大小、求參數(shù)的值以及探究問題等數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，學(xué)生要能夠靈活運(yùn)用兩邊夾法則，保證數(shù)學(xué)問題得到解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉一鳴.利用兩邊夾法則解競(jìng)賽題[J].數(shù)理天地（初中版），2021，（09）：31+33.

[2]張濱.例說“兩邊夾法則”在解題中的應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021，（15）：37-38.

[3]虞懿.應(yīng)用“兩邊夾”法則求解競(jìng)賽題[J].數(shù)學(xué)通訊，2018，（23）：51-53.