輔助線在解答初中平面幾何問題中的運用

袁桂春

【摘要】在解答平面幾何問題時，作輔助線是經常使用的方法，但是由于輔助線的使用過于復雜，導致學生在解題過程中往往無法正確使用，使得學生即花費了時間，又沒有好的效果.為了讓學生正確的認識到輔助線的使用方法，本文結合實際情況，對輔助線的使用進行系統(tǒng)性的分析.

【關鍵詞】輔助線;平面幾何;解題效率

1 在三角形中的運用

三角形的圖象題目中，當題目中出現(xiàn)角平分線、平行線、垂直平分線及線段之間的關系等諸多信息點時，學生在解答問題時，則往往需要借助輔助線.根據題目中給出的內容及最終的問題，通過輔助線構造全等三角形、相似三角形、相等線段等諸多策略，以此解答問題.

例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E為AB中點，以BE為邊作等邊△BDE，連接AD，CD，BC=3，AC邊上是否存在一點H，使BH+EH值最小，并求出最小值.

分析 根據題意，直接進行求解是十分困難的，此時則需要作出相應的輔助線幫助分析題目.首先，點B，E在AC左側，同側的兩點并不能確定二者之間的最短距離，此時，則需要找到B，E其中一個的對稱點，進而解答問題.

解 作E關于直線AC的對稱點E′，連接BE′交AC于點H，如圖2所示.

此時則有AE=AE′，HE=HE′，

所以BH+EH=BH+E′H=BE′，

因為∠BAC=30°，

所以∠BAE′=60°.

因為AE=AE′，

所以△AEE′為等邊三角形.

因為E是AB中點，∠ACB=90°，∠BAC=30°，

所以，EE′=12AB=BC=3.

可得∠AE′B=90°.

根據AE′=EE′=3，∠AE′B=90°，∠BAE′=60°，則可以得到BE′=33，

即BH+EH的最小值為33.

2 輔助線在四邊形中的應用

在面對四邊形的相關問題時，學生則需要進一步分析總結輔助線的使用技巧.如當題目中出現(xiàn)平行四邊形、梯形、長方形及其它特殊圖象時，而又無法直接解答問題時，此時學生就需要考慮根據各種圖形的基本性質以及題目中給出的信息與圖象之間的關系進行分析，畫出相應的輔助線，幫助解答問題.

例2 如圖3所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點C作CE⊥BC，交AD于點E，連接BE，∠BEC=∠DEC，若AB=6，求CD的長度.

分析 分析題目可以發(fā)現(xiàn)，解答本題不能直接進行計算，而是需要作出相應的輔助線，找出AB與CD的數量關系，最后得到CD的長度.

解 延長BC，AD交于F，

因為∠BEC=∠DEC，CE⊥BC，CE=CE，

所以，△ECF≌△ECB，

進一步可得FC=BC，

又因為AB∥CD，根據其定理得到AD=FD，

所以CD是△FAB的中位線，

則可得CD=12AB=3.

3 在圓形中的應用

與圓相關的平面圖形問題是中招考試中的一個重點題型，同時其計算比較復雜，需要學生同時兼顧圓的基本性質與其結合圖象的性質，所以，輔助線的使用更加的多變.

當題目中出現(xiàn)關于弦的問題時，學生就可以作弦心距及弦半徑的輔助線.當出現(xiàn)計算弦長及半徑、直徑的問題時，學生就可以作過圓心垂直于切線的輔助線.

圓與其它圖象相結合的題目中，則需要學生利用二者之間的關系作出適當的輔助線.

例3 如圖5所示，AB為圓Ο的直徑，弦CD交AB垂足為P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，求CD的長度.

分析 通過分析可以得到，首先需要根據直徑求弦的長度，而后作垂直于弦的線段，從而求出結果.

解 作OH⊥CD于點H，連接OC，如圖6所示.

因為AP=2，BP=6，

所以可得圓的半徑r=4，進一步可得OP=2，

因為∠APC=30°，

所以∠HPO=30°.

因為△HPO是直角三角形，

所以，OH=12OP=1，

在Rt△HCO中，OH=1，OC=4，

所以CH=OC2-OH2=15，

所以CD=2CH=215.

4 結語

輔助線作為解答平面問題的重要方法，需要學生在日常學習中，多進行習題練習，積極進行總結歸納，如此才能在考試中取得好的成績.