孫志東


【摘要】 本文先給出了“兩邊夾法”的定義,然后通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明這種方法在解方程或不等式中的靈活應(yīng)用.
【關(guān)鍵詞】 兩邊夾法;解方程或不等式;配方;最值取得條件;化歸
在初中數(shù)學(xué)中,若方程或不等式經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn),得到如下的形式:a≤x,且x≤a,
其中x常常指各種各樣的代數(shù)式,a是一個(gè)常數(shù),則可得x=a.
我們把這種得到x與a相等的方法稱為“兩邊夾法”.這種方法在處理某些特殊方程或不等式時(shí),往往簡(jiǎn)潔而奇特.下面舉例來(lái)說(shuō)明其靈活的應(yīng)用:
1 兩邊夾法在解方程中的應(yīng)用
例1 已知y+|x-2|=1-a2,|z-2|=3y-3-b2,求x+y+z+a+b的值.
分析 已知條件中的兩個(gè)方程未知數(shù)眾多,看起來(lái)好像無(wú)從著手,但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn):每個(gè)方程的左右兩邊都含有絕對(duì)值、平方的相反數(shù)的形式,若把它們都集中到等式的一邊,則這邊就變成了非負(fù)數(shù)和的形式,而每個(gè)方程的另一邊都變成了y的代數(shù)式,根據(jù)非負(fù)數(shù)建立含y的不等式組,恰好滿足“兩邊夾”的形式,這樣問題便解決了.
解 已知等式y(tǒng)+|x-2|=1-a2可變形為|x-2|+a2=1-y≥1,得y≤1;
同理|z-2|=3y-3-b2可變形為
|z-2|+b2=3y-3≥0,得y≥1.
由兩邊夾法得y=1,且|x-2|+a2=0,
|z-2|+b2=0,
從而x=4,a=0,z=2,b=0.
所以x+y+z+a+b=7.
例2 已知a,b,c均為實(shí)數(shù),且3(2022-c)2-1+(|b+5|+2)2=6a-a2,則(2a+b)c的值為.
分析 這個(gè)方程含有二次根式、三次根式、平方式,這些式子看起來(lái)比較復(fù)雜,但三次根式里面又含有平方式,這樣我們可以發(fā)現(xiàn)左邊兩個(gè)式子都有最小值,且其和為-1+4=3,而右邊經(jīng)過(guò)變形得-(a-3)2+9,可以得到它有最大值3,這樣根據(jù)等號(hào)成立的條件,可以求出各個(gè)字母的值.
解 因?yàn)?(2022-c)2-1+(|b+5|+2)2≥3-1+4=3,
且6a-a2=-(a-3)2+9≤3,
所以由兩邊夾法得已知等式兩邊都等于3,
且當(dāng)a=3,b=-5,c=2022時(shí)取等號(hào).
所以(2a+b)c=1.
例3 當(dāng)a,b為何值時(shí),方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有實(shí)數(shù)根.
分析 這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程含有a,b兩個(gè)參數(shù),由方程有實(shí)數(shù)根,我們可得其判別式為非負(fù)數(shù),這樣得到a,b的一個(gè)不等式,將其配方,得到兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和小于或等于零,這樣可以利用兩邊夾法來(lái)解決.
解 一元二次方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有實(shí)數(shù)根意味著其判別式
Δ=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0,
整理可得(a-1)2+(a+2b)2≤0.
又因?yàn)椋╝-1)2+(a+2b)2≥0,
所以由兩邊夾法得
(a-1)2+(a+2b)2=0,
解得a=1,b=-12.
2 兩邊夾法在解不等式中的應(yīng)用
例4 若實(shí)數(shù)x,y,z滿足(2x2+8x+11)(y2-10y+29)(3z2-18z+32)≤60,則(? )
(A)x+y-z=0.? (B)x+y-z=0.
(C)x-y+z=0.(D)x-y+z=1.
分析 不等式左邊的三個(gè)二次三項(xiàng)式結(jié)構(gòu)一致,經(jīng)過(guò)配方,可以發(fā)現(xiàn)各個(gè)式子的最小值分別是3,4,5,所以左邊的最小值是60,結(jié)合已知條件,發(fā)現(xiàn)符合“兩邊夾法”的特征.
解 由(2x2+8x+11)(y2-10y+29)(3z2-18z+32)≤60得
[2(x+2)2+3][(y-5)2+4][3(z-3)2+5]≤60,
而[2(x+2)2+3]≥3,
[(y-5)2+4]≥4,
[3(z-3)2+5]≥5,
所以[2(x+2)2+3][(y-5)2+4][3(z-3)2+5]≥60.
由兩邊夾法可得
(2x2+8x+11)(y2-10y+29)(3z2-18z+32)=60,
當(dāng)x=-2,y=5,z=3時(shí)等式成立,
所以x+y-z=0.
選(A).
例5 已知a,b,c為整數(shù),且a2+3b2+3c2+13<3ab+4b+12c,求根式(a+c)-(a+b)a+b的值.
分析 觀察這個(gè)不等式的結(jié)構(gòu),經(jīng)過(guò)配方發(fā)現(xiàn),三個(gè)非負(fù)數(shù)的和小于1,結(jié)合a,b,c為整數(shù)這個(gè)已知條件,可以轉(zhuǎn)化為三個(gè)非負(fù)數(shù)的和小于等于零,這樣就可用“兩邊夾法”了.
解 由a2+3b2+3c2+13<2ab+4b+12c,得
(a-b)2+2(b-1)2+3(c-2)2<1,
考慮到a,b,c為整數(shù),上述不等式即為
(a-b)2+2(b-1)2+3(c-2)2≤0,
又因?yàn)椋╝-b)2+2(b-1)2+3(c-2)2≥0,
所以由兩邊夾法得
(a-b)2+2(b-1)2+3(c-2)2=0,
解得a=b=1,c=2,
從而(a+c)-(a+b)a+b
=3-22=(2-1)2=2-1.
例6 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.
求二次函數(shù)的解析式.
分析 條件中的不等式形式其實(shí)是不等式組,涉及這種結(jié)構(gòu)形式的問題在平時(shí)較少遇到,有一定的難度.如何解決呢?我們不妨先比較4x-12和2x2-8x+6,看看這兩個(gè)多項(xiàng)式是否有聯(lián)系?各自因式分解后發(fā)現(xiàn)它們含有共同的因式x-3,結(jié)合已知條件對(duì)任意實(shí)數(shù)x,已知不等式組都成立,可以令x=3,這樣就自然得到了“兩邊夾”的形式.
解 因?yàn)?x-12=4(x-3),
2x2-8x+6=2(x-1)(x-3),
且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有
4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6,
所以當(dāng)x=3時(shí),都有
0≤9a+3b+c≤0,
由兩邊夾法得9a+3b+c=0,
即拋物線過(guò)點(diǎn)(3,0),又拋物線過(guò)點(diǎn)(-1,0),所以設(shè)所求拋物線的解析式為
y=a(x+1)(x-3).
由a(x+1)(x-3)≥4x-12得
ax2-(2a+4)x+12-3a≥0,
因?yàn)樗鼘?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,所以a>0且
(2a+4)2-4a(12-3a)≤0,
解得(a-1)2≤0,
又(a-1)2≥0,
所以再一次由兩邊夾法得a=1.
所以該二次函數(shù)的解析式為
y=(x+1)(x-3),
即y=x2-2x-3.
小結(jié) 以上6個(gè)典型例子的解法有個(gè)共同的特點(diǎn),就是通過(guò)對(duì)方程或不等式經(jīng)過(guò)變形、整理得到了符合兩邊夾的結(jié)構(gòu)形式:“a≤x,且x≤a”,從而得到x=a,然后根據(jù)非負(fù)數(shù)取值最小值時(shí)等號(hào)成立的條件,求出方程或不等式中的各個(gè)未知數(shù).這種“兩邊夾法”通過(guò)化歸的途徑實(shí)現(xiàn)了多題一解,起到了舉一反三的高效解題效果.