二次函數中直角三角形存在性問題探究

毛麗麗

考題在線

例 （2021·四川·巴中）如圖1，已知拋物線y = ax2 + bx + c與x軸交于A（-2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3）．

（1）求拋物線的表達式.

（2）點P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點M，當[PMAM]最大時，求點P的坐標及[PMAM]的最大值.

（3）在（2）的條件下，過點P作x軸的垂線l，在l上是否存在點D，使△BCD是直角三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

考點剖析

一、準備步驟：二次函數點線定位問題

1.利用待定系數法可求得二次函數解析式為[y=14x2-x-3].

2.利用相似三角形性質轉化線段比例問題，利用二次函數助解最值問題.

精析：如圖2，過點A，P分別作x軸的垂線交直線BC于點E，F，可得△AEM∽△PFM，∴[PMAM=PFAE]，則兩斜線段比轉化成兩直線段比，與點P的坐標成功對接.利用待定系數法可求得[yBC=12x-3]，∴AE = 4. 設點P坐標為[t， 14t2-t-3]，則點F坐標為[t，? 12t-3]，

∴[PMAM=PFAE=12t-3-14t2-t-34] = [-116t2+38t] = [-116（t-3）2+916].

可得當[PMAM]最大時點P坐標為[3，-154]，[PMAM]的最大值為[916].

二、核心步驟：Rt△BCD存在性問題

（一）梳理題目：明確待求點滿足的全部條件，點D在定直線x = 3上，點D為直角三角形頂點.

（二）分類討論：△BCD為直角三角形，未明確直角或斜邊，需分三種情況討論，即∠CBD = 90°，∠BCD = 90°，∠BDC = 90°.

（三）作圖探究：

1.如圖3，當∠CBD = 90°時，過點B作直線BC的垂線交直線x = 3于點D（記為D1），即可構造出Rt△CBD1.

2.如圖4，當∠BCD = 90°時，過點C作直線BC的垂線交直線x = 3于點D（記為D2），即可構造出Rt△BCD2.

3.根據“直徑所對圓周角為直角”這一推論可找到直角三角形的直角頂點，即∠BDC = 90°.如圖5，以邊BC中點為圓心，[12]BC長為半徑作圓，與直線x = 3的交點即為所求點D，此時滿足條件的直角頂點有兩個（記為D3，D4），即可構造出Rt△BD3C和Rt△BD4C.

[y][x][B][A][O][C][P][D2] [l][D4][B][x][y][l][D3][O][A][P][C] [O][A][C][P][B][x][y][l][D1][圖3][圖5][圖4]

以上作圖方法可總結為：已知直角邊作垂線得直角三角形；已知斜邊作圓得直角三角形，簡稱“兩線一圓”.

（四）求解坐標：設D（3，t）.

1.幾何法：利用直角三角形相似列比例式求解.

（1）如圖6，當∠CBD1 = 90°時，構造“一線三垂直”模型，則△BMC ∽ △D1NB.

∴[BMD1N=MCNB]，即[33=6t]，解得[t=6]，經檢驗[t=6]是所列方程的根，且符合題意，所以點D1的坐標為（3，6）.本情況中由于邊長的特殊性，相似三角形恰好全等，此時△BCD為等腰直角三角形.

（2）當∠BCD2 = 90°時，請同學們嘗試用上面學過的幾何法獨立完成. 相信你，一定行！

（3）如圖7，當∠BD3C = 90°時，構造“一線三垂直”模型，則△CSD3∽△D3TB.

∴[CSD3T=SD3TB]，即[3+t3=3t]，解得[t1=-3+352]，[t2=-3-352]，經檢驗[t1=-3+352]，[t2=-3-352]是所列方程的根，符合題意，由于圖7中點D3在第一象限，所以點D3的坐標為[3，-3+352]. 但[t2=-3-352]真的就要被無情舍掉嗎？D3和D4有怎樣的關系呢？你能求出D4的坐標嗎？勇敢地應戰吧！

（特殊方法：由于l恰好過BC中點，也可以利用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”求解.）

2.代數法：利用勾股定理列方程求解

如圖8，構造△BCD三邊所在直角三角形，盲解盲算即可.

（1）表示出三邊平方：[BD2=32+t2]，[BC2=62+32]，[CD2=32+（3+t）2]. 分類討論列方程：

①當∠DBC = 90°時，[BD2+BC2=CD2]，即[32+t2+62+32=32+（3+t）2]；

②當∠BCD = 90°時，[CD2+BC2=BD2]，即[32+（3+t）2+62+32=32+t2]；

③當∠CDB = 90°時，[CD2+BD2=BC2]，即[32+（3+t）2+32+t2=62+32].

（2）解方程并檢驗：①解得[t=6]，②解得[t=-9]，③解得[t=-3±352]. 請同學們自己寫出每種情況下點D的坐標.

日積月累

解二次函數背景下的直角三角形存在性問題，分類討論是前提，作圖探究是關鍵. 解決問題有通法，選擇最優方法有智慧.通用解題方法如下：

1.幾何法：構造“一線三垂直”模型，根據相似三角形性質列比例式求解.等腰直角三角形存在性問題屬于直角三角形存在性問題的特例，此時“一線三垂直”模型中的相似三角形為一對全等三角形.

2.代數法：先求出三邊長或其平方，再根據勾股定理分類列方程，最后解方程并檢驗．

3.解析法：利用兩垂直直線斜率積為-1，求直線關系式，再求解交點坐標.

（作者單位：沈陽市于洪區教育研究中心）