從木棒的滑動(dòng)說起

李先兵中學(xué)高級(jí)教師，慈溪市名師，市教壇新秀一等獎(jiǎng)，曾公派赴澳大利亞為期100天的學(xué)習(xí).對(duì)解題和命題深有研究，多次參與統(tǒng)考試題命制，曾參與2013年寧波市中考卷的命制，原創(chuàng)命題比賽多次在寧波市獲得一等獎(jiǎng)，多篇論文在貴刊發(fā)表。

1 情境展示、初探端倪

圖1

著名畫家達(dá)芬奇不僅畫藝超群，同時(shí)他還是一個(gè)數(shù)學(xué)家、發(fā)明家.他曾經(jīng)設(shè)計(jì)過一種圓規(guī)如圖1所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計(jì)），一根沒有彈性的木棒的兩端A，B能在滑槽內(nèi)自由滑動(dòng)，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來.若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為cm.

思路 不妨設(shè)互相垂直的滑槽的交點(diǎn)為O，則∠AOB=90°，連接OP，因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)P是直角△AOB斜邊中線，根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”可得

OP=AB2=10cm.

2 順勢(shì)而上、通法引路

例1 圖2

如圖2，矩形ABCD放置于∠MON內(nèi).∠MON=90°，AB=8，BC=3，求OD的最大值.

思路 取AB的中點(diǎn)M，顯然 MO=AB2=4，

MD=5，

故當(dāng)O，M，D共線時(shí)，OD取得最大值，

故OD的最大值為9.

圖3

例2 如圖3，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，兩頂點(diǎn)分別在坐標(biāo)軸正半軸上滑動(dòng)，C在第一象限，連接OC，則OC的最大值為.

思路 取AB的中點(diǎn)M，連接CM，顯然

MO=AB2=32，

MC=332，

故當(dāng)O，M，C共線時(shí)，OC取得最大值，

故OC的最大值為3+332.

注 木棒在直角滑槽上滑動(dòng)的問題，可抽象為定長(zhǎng)線段在直角上滑動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段中點(diǎn)與直角頂點(diǎn)間的距離為定值.上面的兩個(gè)例題中將線段改變?yōu)榫匦魏偷冗吶切危嗷蚱渌墓潭▓D形，都會(huì)保持放置于直角兩邊上的線段長(zhǎng)為定值，進(jìn)而該線段中點(diǎn)到所求線段兩端點(diǎn)的距離都為定值，當(dāng)該線段中點(diǎn)在所求線段上時(shí)，即達(dá)最大值.

3 追根溯源、探究本質(zhì)

例3 圖4

如圖4，∠AOD=30°，邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上移動(dòng)，頂點(diǎn)B在射線OD上隨之移動(dòng)，則頂點(diǎn)C到原點(diǎn)O的距離最大值為.

思路 此問題是例2的變式拓展，即將直角改為了30°角.仿照上面的解題思路，取AB的中點(diǎn)M，顯然MO的長(zhǎng)度不是定值，上述的方法行不通.為了解決這個(gè)問題，我們退回到最初的問題，△ABC退化為線段AB.

圖5

如圖5，∠AOB=30°，若AB為定長(zhǎng)，會(huì)有定性的結(jié)論嗎？分析△ABO不難發(fā)現(xiàn)，∠AOB為定值，而對(duì)邊AB亦為定值，如果我們“反客為主”，將圖形理解為AB固定，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，顯然O的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧.

圖6圖7

如圖6，以AB為邊在點(diǎn)O 同側(cè)作等邊△ABP，以P為圓心BP為半徑畫弧BOA，顯然O點(diǎn)的軌跡即為BOA.同理即可解決上述問題，如圖7，作△ABO的外接圓，圓心為P.

因?yàn)椤螦OB=30°，

所以△ABP為等邊三角形.

顯然PO=3，PC=33，

故當(dāng)O，P，C共線時(shí)，OC達(dá)到最大值，OC的最大值為33+3.

注 一方面，當(dāng)遇到問題難以解決時(shí)，我們可以退回到初始問題，將問題簡(jiǎn)化尋求思路.另一方面，當(dāng)動(dòng)態(tài)元素偏多，靜態(tài)元素偏少時(shí)，我們可以利用“反客為主”，將動(dòng)態(tài)的圖形理解為靜止不動(dòng)，原來靜止不動(dòng)的圖形運(yùn)動(dòng)起來，或許也可以尋得思路.例3中的問題，是將∠AOB=90°推廣到∠AOB=30°，將問題串起來發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，AB的中點(diǎn)其實(shí)就是△AOB的外心，只是外心很容易被發(fā)現(xiàn)，而推廣到30°角的時(shí)候，外心就難易被發(fā)現(xiàn)，這也是例1和例2做起來比較順手，而例3就很難入手的原因.推而廣之，固定圖形放置于固定角度∠AOB內(nèi)滑動(dòng)問題，都可以利用反客為主，角的頂點(diǎn)軌跡即為△AOB的外接圓上一部分.