齒面干涉測量系統的成像畸變分析與光路優化

王兆輝 楊鵬程 徐 晉 梁蒲佳 朱新棟

1.西安工程大學機電工程學院，西安，7100482.西安交通大學制造系統工程國家重點實驗室，西安，710049

0 引言

齒面微米級形狀偏差直接影響接觸面應力[1]、傳動平穩度[2]、機械設備的振動特性[3]等多個指標，不僅決定設備整體性能的優劣，而且關乎使用壽命的長短。激光干涉法具有測量效率高、精度高、無損傷且信息量大等優點，已經成為三維表面形狀測量的一個發展方向[4]。在改進的Mach-Zehnder激光干涉儀上，國內外學者先后采用激光斜入射的方法來測量齒輪齒面的形狀誤差：拍攝一組被測齒面的移項干涉條紋圖像，進行一系列處理，包括齒面域分割、相位解包裹和配準等，最終得到齒輪齒面微米級精度的形狀誤差。SASAKI等[5]就齒輪齒面形狀誤差測量技術，提出了利用激光移相的測量方法，并設計了相關的實驗裝置[6]。CHEN等[7]研制了使用兩個相對激光三角測量傳感器進行齒輪相關測量的設備，以及通過幾何誤差補償來重建輪廓的關鍵幾何模型。ZHU等[8]在現有激光干涉物體光路的基礎上提出了虛擬基準面的構建方法，進一步提高了干涉測量系統的準確性和實用性。

近年來，學者們在提高干涉圖像質量方面開展了大量研究工作。高瑩瑩等[9]研究了Fourier-Mellin算法的特性，構造了一種基于歸一化相關系數的亞像素配準方法，有效地減小了原始實測干涉圖像對圖像處理過程的影響，使得配準精度大大提高。FANG等[10]在干涉測量光路中插入特定參數的透鏡調制條紋寬度，有效改善了干涉圖像質量。TAHARA等[11]提出了利用等步距的移相方法，來抵消移相過程產生的步距系統誤差。YANG等[12]提出了齒面干涉圖像的拼接方法，實現了干涉圖像模糊區域的自動剔除和清晰區域的自動拼接。WRIGHT[13]提出了一種干涉圖像之間的仿射變換方法來進行圖像的配準。針對成像鏡頭畸變引起的干涉圖像失真問題，YANG等[14]提出了一種鏡頭成像畸變的標定方法，矯正了干涉成像的鏡頭幾何畸變。雖然上述研究有效地提高了干涉條紋圖像的處理質量和精度，但對物體光路中各元件位置誤差導致的干涉圖像外形輪廓畸變的相關研究尚顯不足。

在理想物體光路中，被測齒面成像在齒高方向上沿不同角度發散，沿主光軸方向均勻壓縮，但是在實際測量中，由于物體光路中非成像透鏡存在位置誤差，齒面成像常常出現齒頂、齒根部分壓縮程度不一致，且伴隨一定旋轉的現象，稱為齒面成像的形狀畸變。這些形狀畸變不僅大大增加了測量系統中物體光路和參考光路共光路的難度，導致采集到的干涉圖像條紋對比度大大降低，而且由于各齒面區域壓縮程度不同，更容易造成條紋黏連、局部離焦等圖像瑕疵，導致后續相位解包裹、齒面配準等圖像處理步驟的錯誤。因此，采集到齒面成像形狀標準的干涉圖像對保證測量結果精度具有重要意義。但截至目前，尚未找到能夠準確描述形狀畸變與光路誤差間的映射關系的方法，也缺乏基于齒面成像形狀畸變進行物體光路矯正的方法。

本文對影響齒面像形狀畸變的原因進行分析，對齒面像形狀畸變進行矯正，力圖拍攝規則且清晰的齒面干涉條紋圖，進而保證后續一系列齒面像處理的準確性，提高測量精度。

1 齒面像數學模型的建立及影響因素分析

本研究用的激光干涉測量系統的原理圖見圖1[15]。氦氖激光器(波長632.8 nm)發出的光經準直擴束器后變成光強均勻的線偏振光，到達第一個偏振分光棱鏡后被分為互相垂直的兩個分量：平行于入射面振動的分量成為P光，作為參考光路(有時也叫參照光路)；垂直于入射面振動的分量稱為S光，作為物體光路(有時也叫測量光路)。S光經過半波片和準直擴束器后在前光楔處發生偏轉，然后以大角度斜入射的方式照射被測齒面，經過齒面反射后通過后光楔回到原來的方向。P光沿原來的方向首先經過第二個偏振分光棱鏡，然后通過1/4波片，到達與壓電陶瓷(PZT)固連的反射鏡后發生反射，然后又一次經過1/4波片變為S偏振光。P光和S光在半反半透鏡上會合，然后一同通過成像透鏡，并在CCD相機的感光面上產生干涉條紋圖像。在激光器后插入半波片，通過旋轉半波片可以調整偏振光的偏振方向與偏振分光棱鏡光軸之間的夾角，從而調節P光分量和S光分量的光強，也就是通過調節參考光路和物體光路間的光強比來保證干涉條紋有好的對比度。

圖1 光學測量系統原理圖Fig.1 Schematic diagram of optical measurement system

齒面像是指整個測量系統中只有物體光成像在CCD上時拍攝到的圖像，其外形輪廓與干涉條紋圖像完全一致，且干涉條紋圖像出現的條件比較苛刻，因此本文替代干涉圖像作為光路調節依據。

當斜齒輪軸線水平時，根據文獻[16]建立的數學模型，斜齒輪上任意一個網格點的空間坐標(x，y，z)和法線坐標(nx，ny，nz)如下：

(1)

(2)

其中，rb為基圓半徑；α為漸開線壓力角；side代表齒面方向(右齒面取1，左齒取-1)；hel代表齒輪螺旋方向(右螺旋齒取1，左螺旋齒取-1)；γ為齒輪漸開線三維坐標系與齒輪測量坐標系之間的角度，由被測齒輪的參數決定；φ為螺旋展角；w為齒厚；βb為基圓上的螺旋角。

對測量系統進行實測干涉條紋的拍攝時，光學系統的制造以及安裝誤差難以完全避免，進而導致形狀畸變。整個系統元件眾多，導致齒面像畸變因素也很多，本文主要考慮以下三種因素：①激光器沒有打在斜齒輪基圓半徑所在齒面位置；②偏振分光棱鏡發生傾斜而造成的測量光入射角的變化；③齒輪的安裝誤差導致齒輪軸線發生傾斜。下面對三種可能導致齒面像形狀畸變的原因進行分析。

1.1 激光器高度誤差的建模分析

當拍攝實測干涉條紋圖像時，應使激光器輸出光線的高度等于齒面直線WW′(圖2)的高度，即實驗齒輪的基圓半徑與齒輪軸線的高度(高度是指相對于光學實驗平臺的高度)之和，因為這樣拍攝的時候，物體光路與參考光路之間的相對光程差最小[15]。圖2中，用Lm(i，j)表示物體光路的光程差，在圖2中為假想平面A-A到CCD成像面上的像點的光程差；用Lr(i，j)表示參考光路的光程差，在圖2中為假想平面B-B到CCD成像面上的像點的光程差。其中，i是行號數，j是列號數。

圖2 齒輪測量系統的坐標系Fig.2 Coordinate system for gear measuring system

當激光器位置發生上下偏移時，所照射到的實驗齒面的位置就會發生變化，而且由于斜齒輪螺旋角的存在，當照射齒輪的位置發生變化時，物體光路的光程差會發生變化，在參考光路光程差不變的情況下，物體光路與參考光路的相對光程差發生變化從而導致齒輪齒面干涉條紋光路位置發生改變，但是并不會影響齒面像的畸變，因此激光器的高度不是造成齒面像畸變的原因。

1.2 偏振分光棱鏡誤差的影響

進行實測干涉條紋的拍攝時，偏振分光棱鏡1的作用是對激光器出射的光進行分解，使之分解為P光和S光，如圖1所示。被測斜齒輪在齒輪夾持裝置(分度盤和頂針)的作用下在兩個光楔對之間固定。齒面入射角是一個至關重要的參數，此處的入射角是指測量光在直線WW′上的入射角，在圖2中用ε表示。齒面入射角不合適會導致被照射到的齒面面積減小或者測量分辨率降低。當入射角較小時(圖3a)，測量光在入射齒面之前會被相鄰齒遮擋住部分光線，造成被測齒面出射側不能被照射到；同時，被測齒面入射側反射的測量光也會被相鄰齒遮擋，而無法從齒槽空間穿過，造成被測齒面出射側也不能被測量。較大的入射角(圖3b)雖然可以解決測量光線被遮擋的問題，但是會造成齒面齒厚方向上嚴重的壓縮而導致分辨率的降低[16]。上述情況僅僅考慮了入射角過大或者過小所造成的影響，并沒有考慮入射角偏斜而帶來的影響。

(a)入射角過小

(b)入射角過大圖3 入射角過小與過大Fig.3 The incidence angle is too small and too large

偏振分光棱鏡的原理和坐標軸如圖4所示，通過在直角棱鏡的斜面鍍多層膜結構，然后膠合成一個立方體結構。當偏振分光棱鏡水平放置時，入射光正常照射到被測齒面，偏振分光棱鏡繞X軸發生微轉傾斜，會導致經過偏振分光棱鏡的S光和P光發生一定的偏斜，此時照射齒面的入射角會發生上偏或者下偏的情況。若繞圖4坐標系X軸順時針轉動時，照射到齒面的入射光會發生上偏，當逆時針轉動時，入射光會發生下偏，如圖5所示。

圖4 偏振分光棱鏡原理圖Fig.4 Schematic diagram of polarization splitting prism

圖5 入射光傾斜示意圖Fig.5 Diagram of incident light tilt

即使入射角發生下偏或者上偏的情況，但是由于齒輪空間位置不變，所以齒面各離散網格點的空間坐標也不會發生變化，而且由光的矢量疊加原理可知，發生偏斜的光也可以分解為相互正交的兩條光，其中一束為正常光線的方向，另一束與其垂直，因此光線經過齒面發生反射后的方向不會發生變化，所以在CCD相機上所成的齒面像不會發生畸變。

1.3 齒輪安裝軸線傾斜誤差的影響

對斜齒輪進行實測干涉條紋的拍攝時，由于斜齒輪的制造及安裝誤差會導致斜齒輪軸線出現一定程度的傾斜(斜齒輪軸線與實驗桌面有一定的夾角)，此時，斜齒輪齒面空間網格點位置坐標會發生變化，在入射光方向不變的情況下，經過斜齒輪齒面的反射光方向和法線方向都會發生變化，然后反射經過半反半透鏡和成像透鏡后傳入CCD相機，導致斜齒輪齒面像發生畸變，本文主要針對這種情況進行建模分析并矯正。圖6a和圖6b分別為斜齒輪正常放置和軸線傾斜示意圖。定義軸線繞X軸順時針轉動角度為+θ，反之為-θ。

(a)齒輪安裝軸線水平

(b)齒輪安裝軸線傾斜圖6 斜齒輪軸線水平和傾斜示意圖Fig.6 Schematic diagram of helical gear axis horizontal and inclined

2 齒面像形狀畸變數學模型的建立及矯正

2.1 齒面像形狀畸變數學模型的建立

當齒輪軸線發生傾斜時，也就是齒輪在圖2所示的齒輪測量系統的坐標系中繞X軸旋轉了一定的角度θ時，旋轉后被測齒面在物體光路中任意一網格點的空間坐標和法線坐標可表示為

(3)

(4)

若齒輪繞X軸旋轉角度為θ，假設入射光線方向不變，斜齒輪旋轉后的空間網格點坐標會發生改變，導致旋轉后的斜齒輪網格點的法線方向和反射方向發生變化。齒輪繞X軸旋轉θ角后在坐標系OXYZ中的齒面方程和法線方程可表示為

(5)

(6)

正是由于上式中旋轉傾角θ的存在，激光打到繞X軸旋轉后的齒面上，根據光路光線追跡理論，最后在CCD相機里得到畸變的齒面像。

2.2 矯正分析

不論齒輪軸線繞X軸順時針轉動還是逆時針轉動，對應的都是齒輪安裝軸線的旋轉角度與CCD相機中齒面像的畸變角度之間的關系，所以只針對齒輪軸線繞順時針偏轉時按圖6b的情況進行矯正。

齒輪安裝軸線水平時，根據光學系統原理圖，物體光路的追跡流程如圖7所示，揭示了物體光路中光線追跡到任何一個光學元件時齒面像的形狀的變化關系。

當齒輪軸線順時針偏轉一個角度即光線入射端升高時，光線出射端降低，再加上在實際測量時物體光路中存在非成像透鏡的其他元件位置誤差，齒面成像常常出現齒頂、齒根部分壓縮程度不一致，實際齒面位置和CCD相機所成的齒面像形狀如圖8所示。

圖7 光線追跡流程圖齒面形狀變化Fig.7 Ray tracing flow chart tooth surface shape change

(a)順時針偏轉時實際齒面形狀 (b)CCD成像齒面形狀圖8 齒輪軸線順時針偏轉時實際齒面與CCD 成像齒面形狀Fig.8 The actual tooth surface and the shape of the tooth surface imaged by CCD with the gear axis clockwise retation

由以上分析可得，齒輪安裝軸線的傾斜角度和斜齒輪在CCD成像齒面的旋轉角度是正相關的，之所以會造成齒面像畸變，就是因為齒輪安裝軸線的傾斜，其余光學元件位置的變化只會影響到齒面像在CCD上所成的位置和大小。

2.3 矯正方法

因為齒輪安裝軸線的傾斜角度和CCD成像齒面的旋轉角度是正相關關系，所以可以直接通過觀察并檢測經過成像透鏡后在CCD上顯示的畸變齒面像的誤差去矯正齒輪安裝軸線誤差。本研究采用的矯正方法流程如圖9所示。具體步驟如下：

圖9 矯正方法流程圖Fig.9 Flow chart of correction method

(1)通過搜索計算法找到齒根出射端部位的最后一個像素點。

(2)從齒根部位逐點向齒頂部位進行搜索，搜索到下一個像素點時，判斷這兩個像素點之間是否為水平狀態。

(3)若兩個像素點之間是水平狀態，繼續搜索下一個像素點，再次判斷是否為水平狀態。

(4)若兩個像素點之間不是水平狀態，旋轉一個步進角，然后判斷是否為水平狀態。若不是水平狀態，則繼續步進一個步進角度直至兩個像素點之間達到水平狀態。

(5)當追跡到齒頂部位第一個像素點時，停止搜索，此時在CCD相機上成的像中整個出射端面均為水平狀態，得到最終的旋轉角度，進而矯正齒面像畸變這一情況。

本文采用步進算法的原理對斜齒輪齒面像畸變這一現象進行矯正，原則上應當采用較小的步進角度得到最精確的角度值，但若選用較小的步進值則會造成數據過多而變得繁瑣，若選用較大角度的步進值，仿真數據較少，不能很好地反映齒輪安裝軸線傾斜角度和CCD成像齒面的旋轉角度之間的關系，也有很大的概率忽略掉最佳值，因此本文取步進值為0.3。

3 實驗和討論

本文中用于測量實驗的精密漸開線圓柱斜齒輪的主要參數見表1。

3.1 仿真實驗

首先用仿真程序驗證了實測齒面像的畸變是由于齒輪軸線的傾斜引起的。在仿真程序里，對斜齒輪進行繞X軸旋轉，圖10a是斜齒輪繞X軸旋轉3°后齒輪軸線傾斜的實測齒面像；圖10b是旋轉前齒輪軸線水平時的實測齒面像。其中，紅色部分是可見區域，藍色部分是齒根部分的測量光線被遮擋區域。

表1 用于測量實驗的漸開線圓柱斜齒輪的主要參數Tab.1 the main parameters of the involute cylindrical helical gear are measured

(a)矯正前齒面像畸變仿真圖

(b)矯正后齒面像仿真圖

圖10 矯正前后齒面像仿真圖Fig.10 Simulation of tooth profile before and after correction

3.2 實驗

在光學實驗平臺上搭建光學成像系統，對仿真效果進行實驗驗證。圖11所示為實驗中的光學成像系統。

圖11 實驗中的光學成像系統Fig.11 Experimental optical imaging system

在搭建的光學實驗平臺上對仿真結果進行實驗分析。圖12a所示為矯正前齒面像畸變實測圖，齒面像在水平方向上有一定的畸變，光線入射端升高，光線出射端降低，從實驗方面證明了之前矯正方法部分論述是正確的；圖12b為矯正前加入了參考光路的齒面像畸變干涉圖，可以看到由于齒面像畸變這一根本原因，幾乎沒有干涉條紋的出現，這對后續的相位解包裹造成了直接影響，從而進一步影響到最終的測量精度；圖12c是齒面像畸變角度為1.2°時的齒面像實測圖，齒面像在水平方向上略有傾斜；圖12d是在圖12c上加入了參照考光路后的干涉圖，可以隱約看到干涉條紋，效果不是非常明顯，因此允許的畸變角度上限設定為1.2°；圖12e是齒面像畸變角度為0.2°時的齒面像實測圖，齒面像在水平方向上已經是水平狀態；圖12f是在圖12e上加入了參考光路后的干涉圖，可以看到干涉效果更好，條紋對比度升高，出現了明顯的干涉條紋。

(a)矯正前齒面像畸變實測圖

(b)矯正前齒面像畸變干涉圖

(c)矯正后齒面像實測圖1

(d)矯正后齒面像干涉圖1

(e)矯正后齒面像實測圖2

(f)矯正后齒面像干涉圖2圖12 矯正前和矯正后的齒面像實測圖和干涉圖Fig.12 The tooth profile before and after correction is measured and interferogram

圖12a中，在齒面出射端找到特征點A、B兩點，通過之前提出的矯正方法計算得到的矯正數據見表2，由表2可知實際畸變角度和計算畸變角度基本一致，誤差約為2%，在可接受范圍內，證明本文提出的矯正方法合理可行。

4 結論

針對激光干涉測量斜齒輪齒面實驗過程中出現的齒面像畸變這一問題，本文利用仿真追跡算法從三個方面分別進行論證，確定了齒輪軸線傾斜是導致齒面像畸變的主要原因，建立了模型，確定了齒輪軸線傾斜度數和齒面像形狀畸變之間的映射關系，提出了光路優化方法，最后用仿真和實驗分別進行驗證，計算得到誤差約2%，證明所提方法不僅提高了條紋對比度進而降低了后續的相位解包裹難度，而且使齒面像形狀更加接近仿真圖像，從而提高了齒面配準的精度，有利于最終測量結果精度的提升。