聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想

莊琪

教育部提出的立德樹人的根本任務(wù)，是把核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求落實(shí)到各學(xué)科教學(xué)中。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，是許多教師的目標(biāo)。雖然不容易實(shí)施，但只要教師潛心教育，用心實(shí)施，一定能促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

2014年3月，《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》印發(fā)，提出“各級(jí)各類學(xué)校要從實(shí)際情況和學(xué)生特點(diǎn)出發(fā)，把核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求落實(shí)到各學(xué)科教學(xué)中”。史寧中教授在《推進(jìn)基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)改革》報(bào)告中指出，“學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最終要落在學(xué)科核心素養(yǎng)的培育上”。“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”一詞也成為廣大數(shù)學(xué)教師耳熟能詳?shù)脑~，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出了10 個(gè)核心素養(yǎng)，但卻沒有加以闡釋。馬云鵬教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力，核心素養(yǎng)不是指具體的知識(shí)與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力。

核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。”《禮記》中提到“君子之教，喻也。道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)。道而弗牽則和，強(qiáng)而弗抑則易，開而弗達(dá)則思。和易以思，可謂善喻矣。”“善喻”道出了教師的“教”的最高境界——教學(xué)生悟思想，教師的“舉一”，學(xué)生學(xué)會(huì)“反三”。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生知識(shí)——授之以魚，教學(xué)生解題方法——授之以漁，這些都可考查，可評(píng)價(jià)。授之以“喻”較前兩樣來說難多了，要靠學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中只可意會(huì)、不可言傳地悟出來。“喻”對(duì)于一線教師來說就是要重視數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。如何培養(yǎng)學(xué)生的思想是需要教師在課堂教學(xué)中解決的一個(gè)難題。史寧中教授指出：數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是，一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個(gè)人未來從事的工作和數(shù)學(xué)無關(guān)，也應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界（以下簡(jiǎn)稱“三會(huì)”），數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的確定要基于這個(gè)目標(biāo)。下面，筆者以人教版五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“植樹問題”為例，談?wù)剶?shù)學(xué)廣角中培養(yǎng)學(xué)生思想的一點(diǎn)見解。

一、設(shè)懸念，以疑促思

“學(xué)起于思，思源于疑”思維總是由于問題引起的，問題是思維的原動(dòng)力。現(xiàn)在的學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)有多種途徑，學(xué)生不再是白紙一張，而是擁有不同的見解。如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的思考，也是教師需要考慮的問題。課堂伊始，教師開門見山地拋出問題“對(duì)于植樹問題，你已經(jīng)知道些什么？你有什么問題？”“你知道其中的數(shù)學(xué)思想方法嗎？”個(gè)別學(xué)生在校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)了植樹問題的知識(shí)，但校外機(jī)構(gòu)的學(xué)習(xí)更多的是讓學(xué)生記住公式，進(jìn)行大量的解題訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握解題方法，對(duì)這部分知識(shí)能讓學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)思想方法并不重視。學(xué)生只知其然，卻不知其所以然，對(duì)所學(xué)內(nèi)容更多地處在“授之以魚”的狀態(tài)，只會(huì)依葫蘆畫瓢，解決和所學(xué)例題一樣的類型題，稍做變化，便束手無策。教師可以通過提問，激起學(xué)生的好奇心，如植樹問題還有什么我們不知道的數(shù)學(xué)思想方法呢？讓學(xué)生帶著問題開始數(shù)學(xué)的探究之旅。

二、拋難題，化繁為簡(jiǎn)

課本例題（見圖1）“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”再通過學(xué)生的對(duì)話“每隔5米栽1棵，共栽[100÷5=20]（棵）”“對(duì)嗎？怎樣檢驗(yàn)?zāi)兀俊钡贸霎嬀€段圖檢驗(yàn)，“100米太長(zhǎng)了，可以先用簡(jiǎn)單的數(shù)試試。”看例題這樣的編排，不由得引發(fā)筆者的思考：例題為什么要用100米的數(shù)據(jù)，不用20米作為例題路長(zhǎng)的數(shù)據(jù)？從20米開始，接著再驗(yàn)證路長(zhǎng)25米、30米……的植樹棵數(shù)，這樣不是由淺入深、循序漸進(jìn)教學(xué)嗎？這里蘊(yùn)含編者什么意圖？

帶著這些疑問，筆者再次研讀《教師教學(xué)用書》，從書中可以找到編者的意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)，初步體會(huì)解決植樹問題的模型思想，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索解決問題有效方法的能力。植樹問題還承載著學(xué)生“化繁為簡(jiǎn)”“數(shù)形結(jié)合”“一一對(duì)應(yīng)”“數(shù)學(xué)建模”和推理等數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)來源于生活。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程，是一個(gè)把教材知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為自身數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。100米的小路植樹比20米更接近于生活實(shí)際，學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行畫圖驗(yàn)證時(shí)，會(huì)覺得100米數(shù)據(jù)太大，不好畫圖，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生迫切要改小數(shù)據(jù)的欲望，讓學(xué)生從解決生活實(shí)際問題中融會(huì)貫通：碰到不能或不容易用已有的知識(shí)解決問題時(shí)，嘗試著把問題轉(zhuǎn)化成已學(xué)或比較容易解決的問題，再進(jìn)行解決。如果用較小的數(shù)據(jù)20米、30米……枚舉驗(yàn)證，降低了難度，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生體會(huì)不到化繁為簡(jiǎn)應(yīng)用于解決問題的妙處，難于達(dá)成化歸思想的滲透。

化歸思想是數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的一種策略和藝術(shù)，也是人人應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如果說數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，那么可以不夸張地說化歸思想就是數(shù)學(xué)思想的核心，是數(shù)學(xué)思想的精髓。化歸思想，是將一個(gè)問題由難化易，由繁化簡(jiǎn)，由陌生化熟悉，由抽象化具體的過程。化繁為簡(jiǎn)是化歸思想一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都會(huì)用到。但平時(shí)的課堂中學(xué)生更多地處于被動(dòng)接受的狀態(tài)，讓學(xué)生自發(fā)去做得相對(duì)少一些。在解讀教材的設(shè)計(jì)意圖后，筆者在設(shè)計(jì)例題時(shí)，特意把例題“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100米的小路一邊植樹”的數(shù)字由100米調(diào)整為200米。因?yàn)?00米的數(shù)據(jù)不大不小，對(duì)學(xué)生來說畫20格線段圖也不是一件麻煩的事情，但是改成200米，要畫40個(gè)格子學(xué)生就會(huì)覺得麻煩了，進(jìn)而逼著學(xué)生用更簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)來推出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律算出大的數(shù)據(jù)的結(jié)果。

教學(xué)片段：

“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)200米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”

教師：預(yù)測(cè)一下，可能種幾棵樹？

學(xué)生1：我認(rèn)為40棵。

學(xué)生2：我認(rèn)為41棵。

學(xué)生3：我認(rèn)為39棵。

教師：種樹的棵數(shù)與什么有關(guān)？

學(xué)生4：路長(zhǎng)和間距有關(guān)。

教師：怎樣驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果？

學(xué)生（集體）：畫線段圖。

教師：怎么畫？畫200米嗎？

學(xué)生5（搖頭）：太麻煩了，畫20米。

教師：就只能畫20米嗎？

學(xué)生：不是，可以畫15米、30米、40米……

教師：為什么找15米、20米、30米、40米？

學(xué)生：這些數(shù)都是5的倍數(shù)。

……

通過例題數(shù)據(jù)調(diào)整為較大的數(shù)據(jù)200米，讓學(xué)生感到畫圖200米存在困難，從而自覺地把大的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成較小的數(shù)據(jù)進(jìn)行解決，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的，也讓學(xué)生從中收獲到在遇到比較復(fù)雜的問題時(shí)可以轉(zhuǎn)化成已有的知識(shí)或較為簡(jiǎn)單的問題進(jìn)行解決，達(dá)到授之以“喻”的教學(xué)效果。

三、解問題，數(shù)形結(jié)合

如果說化歸思想是數(shù)學(xué)思想的核心，是數(shù)學(xué)思想的精髓。數(shù)形結(jié)合就是化歸思想中實(shí)現(xiàn)從抽象化到具體的過程的重要橋梁。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解決問題中必不可少的思想方法。“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休。”我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚道出數(shù)形結(jié)合的重要性。

學(xué)生用畫線段圖驗(yàn)證結(jié)果，就是數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解題意，驗(yàn)證方法。學(xué)生每個(gè)人都舉2～3個(gè)數(shù)據(jù)例子，進(jìn)行畫圖嘗試，驗(yàn)證結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。學(xué)生發(fā)現(xiàn)20米的路長(zhǎng)，4個(gè)間隔，植樹5棵（見圖2）;25米的路長(zhǎng)，5個(gè)間隔，植樹6棵;30米的路長(zhǎng)，6個(gè)間隔，植樹7棵……并根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成表格（見表1）。

通過數(shù)形結(jié)合，再讓學(xué)生在畫一畫、圈一圈，用一一對(duì)應(yīng)的方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)出兩端都栽的方法：

路長(zhǎng)÷間距=間隔數(shù);間隔數(shù)+1=棵數(shù)。

學(xué)生用總結(jié)出的規(guī)律求出：

[200÷5=40];[40+1=41]（棵）。

對(duì)于抽象的植樹問題，學(xué)生通過畫一畫、圈一圈，用數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)的思想方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，降低了學(xué)習(xí)的難度，在解決問題中體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的方法帶來的成功和解決問題的樂趣。

四、促遷移，建立模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在前言中指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過程有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。由此可見，模型思想在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中有著重要的意義，模型思想的滲透能夠幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)提升學(xué)生的思維抽象水平。“植樹問題”最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，讓學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出植樹問題的模型是教學(xué)的難點(diǎn)。教材用形象的植樹線段圖過渡到抽象的線段圖教學(xué)，利用幾何直觀地幫助學(xué)生理解兩端都栽的植樹問題的模型，讓學(xué)生通過畫20米、25米……的線段圖，圈一圈棵數(shù)與間隔數(shù)，用數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)的思想方法發(fā)現(xiàn)棵數(shù)總比間隔數(shù)多1的規(guī)律。學(xué)生抽象出兩端都栽的植樹問題的模型：間隔數(shù)+1=棵數(shù)，并能遷移運(yùn)用到公共汽車站（地鐵站）的設(shè)立，架設(shè)電線桿、路燈的安裝，爬樓梯、敲鐘、鋸木頭等問題上。用線段圖直觀地幫助學(xué)生理解植樹問題的模型思想，還有一大好處：學(xué)生能看圖得出兩端都栽植樹問題模型的逆運(yùn)用：（棵數(shù)-1）×間距=路長(zhǎng)。當(dāng)學(xué)生建立起兩端都栽的植樹問題的模型后，兩端都不栽、一端栽另一端不栽、封閉曲線植樹問題都能根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行遷移，從而建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型。

五、結(jié)語

總而言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想并非一蹴而就的事，需要教師潛心教學(xué)，用心培養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)思想融進(jìn)課堂，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

注：本文為廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題“以‘做數(shù)學(xué)’校本課程開發(fā)為載體培養(yǎng)小學(xué)生‘三會(huì)’能力的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：2020YQJK042）的研究成果。

（左毓紅）