基于Verhulst模型的圍巖變形預測方法研究

程 麗，陳 剛

(1. 四川省水利水電勘測設計研究院有限公司，四川 成都 610072； 2. 四川省水利規劃研究院，四川 成都 610072)

隧洞及地下洞室開挖后，洞室周圍巖體應力將出現重分布，圍巖也會產生不同程度的變形，并形成圍巖松動圈[1]；一旦變形過大，就會造成圍巖失穩破壞。開展安全監測，有助于保障圍巖穩定[2]。利用圍巖實測資料，采用一定的數學模型，對監測效應量的變化規律進行分析，對監測效應量未來的發展進行預測，從而實時監控圍巖的安全狀態，為確保圍巖穩定提供技術支撐和科學依據。其中，圍巖變形是對圍巖工作狀態最直接的反映。

采用監測統計模型對圍巖變形進行預測是目前的主要方法[3]。該方法在分析圍巖變形主要影響因素的基礎上，利用圍巖實測變形測值，采用統計回歸分析方法，建立以影響因素為自變量、以變形為因變量的圍巖變形統計模型，從而實現對圍巖變形的預測。基于時間序列模型的圍巖變形預測也是常用的方法之一[4]，該方法將圍巖變形視為一個以時間為排序順序的時序遞推變化過程，采用時間序列分析模型描述測值自身的變化規律，從而實現對圍巖變形的預測。近些年來，一些學者將神經網絡、高斯回歸、支持向量機、遺傳算法、機器學習等現代數學方法和人工智能技術引入到圍巖變形預測研究之中[5-7]，取得了一些有意義的成果。

無論是統計模型預測法，還是時間序列模型預測法，或上述的其他預測方法，大多需要利用較長的測值序列才能建立有效描述圍巖變形長期變化規律的監測模型，從而對圍巖變形進行預測。對短測值序列條件下的監測效應量，特別是施工期監測效應量，由于無法滿足樣本容量的要求，難以采用回歸模型或時間序列分析模型等方法進行效應量預測。灰色系統理論適合于解決小樣本條件下變量的建模和預測問題[8]，可為施工期圍巖變形預測提供一條可行的途徑。

在灰色預測模型中，GM(1,1)模型和Verhulst模型是兩種較為常用的模型。GM(1,1)模型適合于測值序列具有不收斂趨勢變化規律的發散型效應量，Verhulst模型則更適合于測值序列呈現收斂狀態的收斂型效應量[8-9]。圍巖變形的普遍性變化規律主要表現為隧洞開挖初期圍巖變形增長較快，隨著圍巖應力重分布的逐漸完成，圍巖變形將逐步趨于收斂，屬于收斂性效應量。Verhulst模型能更好地描述圍巖變形的這種變化規律，為此，本文基于Verhulst模型的基本微分方程，開展圍巖變形預測方法研究。

1 建模原理

1.1 Verhulst預測模型的建立

(1)

根據灰色系統理論，Verhulst模型的通式可以表達為dx/dt=ax-bx2，其白化方程為

(2)

式(2)的初始條件應滿足時間響應函數

(3)

將式(3)轉化為時間響應序列，即得到Verhulst預測模型

(4)

式(4)中a、b為待求解的參數。

1.2 參數a、b的估計

(5)

令Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，即

(6)

(7)

則式(2)可近似地表示為

(8)

式(8)即為離散化的Verhulst預測模型。

對式(8)中的參數a、b進行求解時，可將觀測時刻k=2, 3, …,n代入式(8)中，得到一組方程組

(9)

式(9)可采用向量矩陣表示，即

Y=Bu

(10)

式中

(11)

根據回歸分析中的最小二乘法原理，通過自編程序，或利用MATLAB的工具箱，可求解得到待定參數a、b的估計值，即

(12)

2 工程實例

某地下洞室設計跨度20 m，洞高30 m，為給圍巖支護提供科學依據，在洞室內每間距100 m布置1個監測斷面，每個斷面布置3條收斂監測測線，開展圍巖收斂變形監測。本文針對該洞室A監測斷面和B監測斷面上布置的洞身水平收斂測線(測線編號分別為測線A-①、測線B-①)，利用該洞室開挖初期這2條測線2012-05-30日至06-03日取得的5次觀測數據，建立基于Verhulst的預測模型；利用同年6月4日～6日的3次測值，進行后驗式預測檢驗。

2.1 建模過程

以測線A-①為例，該測線2012-05-30日至06-03日取得的5次實測變形數據為

X(1)=(3.94, 4.90, 5.12, 5.26, 5.62)

按一次累減生成(1-IAGO)方法，可得到增量序列為

X(0)=(3.94, 0.96, 0.22, 0.14, 0.36)

按式(6)～式(7)可得到緊鄰均值生成序列為

Z(1)=(4.42, 5.01, 5.19, 5.44)

按式(9)～式(12)可得到數據向量

Y=(0.96, 0.22, 0.14, 0.36)T

按式(12)得到參數列

代入公式(4)，即可得到測線A-①基于Verhulst的預測模型為

2.2 預測結果

2012-06-04日～6日測線A-①、測線B-①的實測值及預測值見表1，表1中，絕對誤差=實測值-預測值，相對誤差=絕對誤差/實測值；實測值、擬合值及預測值過程線見圖1。

表1 測線A-①、測線B-①收斂變形預測結果

圖1 實際值、擬合值及預測值過程線圖

從表1和圖1中可以看出：測線A-①和測線B-①各后驗測次預測值的絕對誤差均不大，相對誤差均較小，最大相對誤差為10.3%，測線B-①的預測效果優于測線測線A-①。總體來看，基于Verhulst的預測模型在短序列測值條件下的圍巖變形預測方面是可行的，預測效果良好。

3 結 語

圍巖變形預測可為保障圍巖穩定運行提供技術支撐和科學依據，目前預測圍巖變形的方法需要具有較長的測值序列和完整的環境監測資料。但是，對于施工期的圍巖變形監測，通常只有較短的測值序列，為此，本文基于灰色系統理論，構建了圍巖變形的Verhulst預測模型，為短序列條件下的圍巖變形預測提供了一條有效的途徑。

Verhulst預測模型適合于變化趨勢呈收斂狀態的圍巖變形，其預測精度總體良好。對于非收斂型圍巖變形，特別是呈發散狀態的圍巖變形，宜采用GM(1,1)預測模型。Verhulst預測模型主要依賴于測值的自身變化規律，因此無需完整的環境監測資料，便于應用；但是，這也使得其預測過程沒有顧及環境因素對圍巖變形的影響，預測方法缺乏嚴格的物理力學意義。