理解系數(shù)k值 剖析錯題本源

楊紅萍

反比例函數(shù)是我們的老朋友，也是新伙伴。說它是老朋友，是對于函數(shù)而言的，我們小學六年級就知道反比例的定義，八年級上學期學習了一次函數(shù)和正比例函數(shù)，可以進行類比學習;說它是新伙伴，是對于理解性而言的，我們需要系統(tǒng)地從“反比例函數(shù)表達式”“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”“用反比例函數(shù)解決問題”等版塊去深入學習。下面，老師列舉幾類有關(guān)反比例函數(shù)系數(shù)k的常見錯誤，和大家一起尋找錯題的本源，提升解題能力。

一、忽視定義中系數(shù)k的取值范圍

例1 若函數(shù)y=（m-2）x[m2-5]是反比例函數(shù)，則m= ? ? 。

【錯解】±2。

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義。解決這類問題時，我們不能只觀察未知數(shù)的指數(shù)情況，而忽視了系數(shù)k≠0的條件。所以在解題過程中，我們需要關(guān)注每一個條件，不可以茫然地主觀解題。

解：由題意得m2-5=-1，解得m=±2。

又∵m-2≠0，∴m≠2。故m=-2。

二、忽視圖像增減性中系數(shù)k的象限范圍

例2 函數(shù)y=[-a2-1x]（a為常數(shù)）的圖像上有三點（-4，y1）、（-1，y2）、（2，y3），則函數(shù)值y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）。

A.y3

C.y1

【錯解】C。

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征。當k>0時，圖像分別位于第一、三象限，橫縱坐標同號;當k<0時，圖像分別位于第二、四象限，橫縱坐標異號。先根據(jù)-a2-1<0，判斷出反比例函數(shù)y=[-a2-1x]的圖像在第二、四象限，然后根據(jù)函數(shù)圖像在每一象限內(nèi)的增減性及坐標特征進行分類梳理。因此，我們在解反比例函數(shù)圖像的有關(guān)問題時，要重視“在每一個象限內(nèi)”這個必要條件。

解：∵a2≥0，

∴-a2≤0，-a2-1<0，

∴反比例函數(shù)y=[-a2-1x]的圖像在第二、四象限。

∵點（2，y3）的橫坐標為2，2>0，

∴點（2，y3）在第四象限，y3<0。

∵（-4，y1）、（-1，y2）的橫坐標都小于0，

∴（-4，y1）、（-1，y2）在第二象限，y1>0，y2>0。

∵在第二象限內(nèi)y隨x的增大而增大，-4<-1，

∴y2>y1，

∴y2>y1>y3。故選A。

三、忽視函數(shù)應用中系數(shù)k的幾何意義

例3 如圖1，點A（m，1）、B（2，n）在雙曲線y=[kx]（k≠0）上，連接OA、OB。若S△ABO=8，則k的值是（ ）。

A.-12 B.-8 C.-6 D.-4

【錯解】B。

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。反比例函數(shù)圖像上任一點到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離之積保持不變，都等于[k]。利用這個知識，我們可以求出坐標軸上的點與反比例函數(shù)圖像上的點圍成的幾何圖形面積。如果所求面積是規(guī)則圖形，則按照圖形面積公式進行求解;如果所求面積是不規(guī)則圖形，我們應將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的三角形面積或矩形面積來求解。借助點坐標特征和系數(shù)k的幾何意義來解決面積型問題，是數(shù)形結(jié)合思想方法的一種具體體現(xiàn)，能快速、直接地解決問題。

解：如圖2，過點A作y軸的垂線，過點B作x軸的垂線，交于點C，連接OC。

設(shè)A（k，1），B（2，[12]k），

則AC=2-k，BC=1-[12]k。

∵S△ABO=8，

∴S△ABC-S△ACO-S△BOC=8，

∴[12]（2-k）（1-[12]k）-[12]（2-k）×1-[12]（1-[12]k）×2=8，解得k=±6。

∵k<0，

∴k=-6。故選C。

以上三個版塊是反比例函數(shù)解題中一些常見易錯題的總結(jié)，可見系數(shù)k在反比例函數(shù)的學習中有著舉足輕重的作用，希望能對前行中的你有一些啟發(fā)和幫助。我們更要在錯題中學會總結(jié)，學會融合，學會知其然并知其所以然。

（作者單位：江蘇省無錫市新城中學）