生活中的反比例函數

吳葉

函數是刻畫事物變化規律最有效、最有力的工具，函數思想貫穿于生活的很多方面。反比例函數是初中三大函數之一，也是中考的熱點，常常與一次函數、幾何圖形等知識結合，滲透著數形結合、函數建模、分類討論、轉化、方程等數學思想。下面，我們來看兩道反比例函數的應用題。

例1 某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億度，本年度計劃將電價調至0.55～0.75元之間。經測算，若電價調至x元，則本年度新增用電量y億度與（x-0.4）元成反比例，又當x=0.65時，y=0.8。

（1）求y與x之間的函數表達式;

（2）若每度電成本價為0.3元，則電價調至多少元時，本年度電力部分收益將比上年度增加20%？[收益=用電量×（實際電價-成本價）。]

【分析】（1）此題屬于把實際問題轉化為求反比例函數表達式的問題。

（2）此題屬于反比例函數的應用問題。

解：（1）因為本年度新增用電量y億度與（x-0.4）元成反比例，所以可設所求的函數表達式為[y]=[kx-0.4]。

當x=0.65時，y=0.8，代入[y]=[kx-0.4]，解得k=0.2。

故反比例函數表達式為[y]=[0.2x-0.4]。

（2）依據題意，得

（0.8-0.3）（1+20%）=[1+0.2x-0.4]

[x-0.3]，

解得x1=0.5（舍去）或x2=0.6。

答：若每度電成本價為0.3元，則電價調至0.6元時，本年度電力部分收益將比上年度增加20%。

【點評】本題通過構建數學模型，把實際問題中的數量關系轉化為數學問題中的數量關系。解答本題的關鍵是用待定系數法求出反比例函數表達式。

例2 為了做好校園疫情防控工作，校醫每天早上對全校辦公室和教室進行藥物噴灑消毒。她完成3間辦公室和2間教室的藥物噴灑要19min;完成2間辦公室和1間教室的藥物噴灑要11min。

（1）校醫完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要多少時間？

（2）消毒藥物在一間教室內空氣中的濃度y（單位：mg/m3）與時間x（單位：min）的函數關系如圖所示：校醫進行藥物噴灑時y與x的函數表達式為y=2x，藥物噴灑完成后y與x成反比例函數關系，兩個函數圖像的交點為A（m，n）。當教室空氣中的藥物濃度不高于1mg/m3時，對人體健康無危害。校醫依次對一班至十一班教室（共11間）進行藥物噴灑消毒，當她把最后一間教室藥物噴灑完成后，一班學生能否進入教室？請通過計算說明。

解：（1）設校醫完成一間辦公室的藥物噴灑要xmin，一間教室的藥物噴灑要ymin。

根據題意，得[3x+2y=19，2x+y=11，]

解得[x=3，y=5。]

答：校醫完成一間辦公室的藥物噴灑要3min，完成一間教室的藥物噴灑要5min。

（2）由（1）得m=5，則n=2×5=10，

∴A（5，10）。

設藥物噴灑完成后y與x的函數表達式為[y]=[kxk≠0]。

則[10]=[k5]，解得k=50，

∴[y]=[50x]（x≥5）。

當y≤1時，即[50x]≤1，解得x≥50。

∵11×5>50，

∴當校醫把最后一間教室藥物噴灑完成后，一班學生能進入教室。

【點評】本題考查了反比例函數的應用、待定系數法求反比例函數的表達式、反比例函數圖像上點的坐標特征及反比例函數圖像。解題的關鍵是利用待定系數法求出函數表達式，再根據函數的性質解決問題。

用函數觀點處理實際問題，關鍵在于分析實際情境，建立函數模型，進一步明確數學問題，將實際問題置于已有的知識背景之中，用數學知識重新解釋這是什么，可以看到什么，逐步形成解決實際問題的能力。在解決問題時，不僅要充分利用函數的圖像，滲透數形結合的思想，還要注意函數不等式和方程之間的聯系以及學科之間的知識滲透。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區第一實驗學校）