理清前因后果 明晰概念算理

立早

類比有理數、整式和分式，溯源二次根式的學習歷程，同學們會發現，它們在內容上螺旋上升，學法上相似相通，唯一不同的是運算順序的呈現。前三者都是先學習加減運算，后學習乘或乘除運算，而二次根式學習的順序是先乘除（乘方開方）后加減。之所以先學乘除，再學加減，是因為二次根式的加減本質上是合并同類二次根式，而同類二次根式的順序判別基于最簡二次根式，這就需要我們先學習乘除（乘方或開方）運算來化簡二次根式。因此，我們在解決二次根式混合運算時，先利用乘除（乘方或開方）運算各個擊破，化簡各式，然后進行加減運算，這點與前三者的運算順序如出一轍，相似相通。

“二次根式”這一章涉及的概念和性質等核心知識要求都比較細，我們需要條分縷析，理清知識點產生的前因后果，抓住其中的關鍵要點，領悟其中的概念算理，從而做到精準解題。

一、理解概念，尋根溯源

我們首先要清楚二次根式概念的來龍去脈。因為在實數范圍內，任何數的平方都是非負數，所以負數沒有平方根。“若x2=a（a≥0），則x叫作a的平方根。正數a的兩個平方根記作‘±[a]’，而形如[a]的式子叫作二次根式。”從定義中我們可以看出[a]（a≥0）有兩重含義：它既表示對a進行開平方，取算術平方根的運算，又表示運算的結果，即a的算術平方根。這里的被開方式a≥0，開方后的算術平方根[a]≥0，此即二次根式的非負性。

例1 若式子[x-35-x]有意義，求x的取值范圍。

【分析】根據二次根式有意義的條件（被開方數為非負數）、分式有意義的條件（分母不能為0），列不等式組求解即可。

解：由題意可得[x-3≥0，5-x≠0，]解得x≥3且x≠5。

例2 如果m、n是正整數，且[16（2m+n）]和[m+7m-n-1]在二次根式的加減法中可以合并成一項，求m、n的值。

【分析】本題雖然沒有直接說明它們是同類二次根式，但能進行加減合并的二次根式必為同類二次根式。應先把[16（2m+n）]轉化為最簡二次根式，然后再根據兩個二次根式能合并，得出它們是同類二次根式，從而列出相應的方程組求解即可。

解：[16（2m+n）]=[42m+n]。由題意知[16（2m+n）]和[m+7m-n-1] 可以合并，則它們是同類二次根式。

∴[m-n-1=2，2m+n=m+7，]解得[m=5，n=2。]經檢驗m=5，n=2符合題意，∴m=5，n=2。

二、掌握性質，靈活運用

對于[a2]=[a]及[a2]=a這兩個式子，同學們該如何理解呢？[a2]中的 a可以為任何數，但由于是求a2的算術平方根，結果為非負數，所以先將a化為[a]，再利用絕對值的意義進行化簡;而后者之所以不要寫成[a]的形式，是因為[a2]已經隱含條件“a≥0”，所以可直接寫成a。同學們只有弄清楚兩者的聯系與區別，才能在具體的計算中左右逢源，游刃有余。

例3 化簡（[2-x]）2+[（x-7）2]。

【分析】本題涉及兩個方面的知識點，一是二次根式有意義的條件，被開方數a≥0;二是二次根式性質的靈活應用。

解：由題意得2-x≥0，（x-7）2≥0，解得x≤2，∴x-7<0。

原式=2-x+[x-7]=2-x-x+7=9-2x。

故答案為9-2x。

三、宏觀解題，明晰算理

二次根式的運算完全可以類比實數、整式的運算法則，換言之，包括二次根式在內的所有代數式，都可以運用實數運算的算理、運算律以及公式等進行推算，但要注意觀察“式結構”的特征。

例4 （1） 化簡：8x2[xy]÷12[x3y]×3[y2x]（x>0）;

（2）計算：[48]÷[3]-[12]×[12]+[24]。

【分析】（1）根據二次根式有意義的條件和x的取值范圍，確定y的取值范圍，再根據二次根式的性質和運算法則進行計算即可;（2）根據二次根式的乘除運算、加減運算法則即可求出答案。

解：（1）∵x>0，[xy]有意義，∴y>0，

∴原式=8x2[xy]÷[12xy][xy]×[3yx][x]

=[2xy3]×[3yx][x]=2y2[x]。

（2）原式=[48÷3]-[12×12]+2[6]

=[16]-[6]+2[6]=4+[6]。

綜合計算題都是由若干個小題組合而成的，我們在解決這類問題時，要從宏觀的視角認清這個算式的整體結構。例如（1）的“式結構”可以描述成“A÷B×C”型，我們可以先把它統一轉化為乘法運算，然后系數與系數相乘，根號內各式相乘，再化簡結果;也可以先化簡各式，再乘除。（2）的“式結構”可以描述成“A-B+C”型，其中A是除法運算，B是乘法運算，C有待化簡，所以我們在解答時可以先各個擊破，再合并同類二次根式。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區新華實驗學校）