高中數(shù)學凝練單元學習主題的實踐研究

殷木森 王嘉 杜楊格 黃紅亮 余沛婷

教育部基礎(chǔ)教育課程與教材發(fā)展中心為落實學科核心素養(yǎng)，極力推進“深度學習促進教學改進”項目，倡導單元整體教學，即“深度學習—單元教學”，其包含“選擇單元學習主題、確定單元學習目標、設(shè)計單元學習活動、開展持續(xù)性學習評價”四個重要環(huán)節(jié)（劉月霞，郭華，2018）。凝練單元學習主題是基于“深度學習—單元教學”的實踐研究。需要指出的是，這里的單元，是指學習單元，不是指知識單元，即不一定是教材中給定的章節(jié)。對高中數(shù)學教師而言，最熟悉的莫過于章節(jié)形式的單元設(shè)計了，為什么還要重新定義學習單元，這樣做有什么意義，究竟該從哪些方面入手，有沒有一些經(jīng)驗可以借鑒，還有不少教師感到困惑。

一、凝練單元學習主題的原則

1. 挑戰(zhàn)性原則

單元學習主題要具有一定的挑戰(zhàn)性，不是所有的板塊內(nèi)容都適宜成為單元學習主題，只有挑戰(zhàn)性的學習主題，才能讓學生積極參與、體驗付出后收獲成功的快樂。當然，是否具有挑戰(zhàn)性，與不同的學情有關(guān)。比如對大部分高一學生而言，“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“冪、指、對函數(shù)”“三角函數(shù)”，都具有一定的挑戰(zhàn)性，比較適宜從中抽取出單元學習主題。但是，對基礎(chǔ)較好的高二學生而言，選擇性必修中的“直線與圓”等內(nèi)容則不具備挑戰(zhàn)性，屬于容易掌握的知識，不宜選為單元學習主題。

2. 整體性原則

“深度學習—單元教學”要求培養(yǎng)學生的整體觀與聯(lián)系觀，即不要孤立地、碎片化看待某一板塊內(nèi)容。因此，單元學習主題首先必須體現(xiàn)出知識間的“承上啟下”，即學生原有的知識經(jīng)驗要得到傳承與發(fā)展，現(xiàn)在的學習也是為未來在這一板塊的學習打下更堅實的基礎(chǔ)。比如選擇性必修的“圓錐曲線”，是在初中“平面幾何”與高一“直線與圓”學習的基礎(chǔ)上進一步學習的內(nèi)容，用坐標法解決代數(shù)問題的方法可為高等數(shù)學的學習做充分的準備。

3. 發(fā)展性原則

“深度學習—單元教學”要求“以學生為中心”組織教學，最終目的是為了促進學生的發(fā)展。通過單元主題教學，學生要熟練掌握數(shù)學思想方法，數(shù)學思維能力與數(shù)學核心素養(yǎng)要得到提升。因此，單元學習主題應(yīng)該在數(shù)學思想方法、數(shù)學思維能力、數(shù)學核心素養(yǎng)這三方面有明顯的特征。比如通過學習“函數(shù)的概念與性質(zhì)”，進一步理解函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想，掌握研究函數(shù)的一般套路，數(shù)學抽象與數(shù)學建模素養(yǎng)得到不同程度的提升。

4. 進階性原則

“深度學習—單元教學”要達到的目標不可能一蹴而就，它要有一個整體的單元教學規(guī)劃，分為幾個實施階段，每個階段要有具體的目標和任務(wù)，最重要的是隨著教學的進程，學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學核心素養(yǎng)是逐漸提升的，即進階。否則，就失去了單元學習的意義。例如學習“函數(shù)的概念與性質(zhì)”，從概念學習中初步體驗數(shù)學抽象，在單調(diào)性的學習中進一步理解數(shù)學抽象，而在奇偶性的學習中則能熟練地使數(shù)學抽象得到遷移。

二、凝練單元學習主題的過程

要凝練單元學習主題，首先要有一個大致的研究對象，即具體研究哪一個知識單元，或者哪一個核心概念;然后對學習要達到的標準要求和學情，以及內(nèi)容本身和內(nèi)容的學習意義進行精準的分析;最后確定單元學習的主題。但是，不少教師對具體要分析什么，得出什么結(jié)論不夠清楚，往往把不同版本的教材編排抄一遍，把課程標準對此部分內(nèi)容的表述抄一遍，然后簡單分析一下學情，卻不知道該怎么凝練主題。具體過程如圖1所示：

1. 確定學習目標要求

學習首先要清楚究竟達到怎樣的標準要求才行，否則就沒了方向。因此，對課程標準的分析是確定單元學習主題的第一步?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版）》重視以學科大概念為核心，以主題為引領(lǐng)推動課程內(nèi)容情境化，促進學科核心素養(yǎng)的落實。故單元學習主題學習目標的設(shè)計，不僅應(yīng)關(guān)注該單元數(shù)學內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技巧，更應(yīng)提升到關(guān)注內(nèi)容所蘊含的基本思想，及通過設(shè)計好的單元學習過程給學生提供基本活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

其次，確定學習目標，應(yīng)結(jié)合學情分析，否則知識技巧不能落地生根，提升能力、發(fā)展核心素養(yǎng)就成了空話。分析學情應(yīng)包含對學生已有的知識儲備、思想方法經(jīng)驗和能力水平的分析，包含對學生生理、心理和認知規(guī)律的分析，還要包含對學生個體差異及不同層次的學生可能遇到的困難的分析，使教學更貼近學生的現(xiàn)實水平。

只有將要達到的課程標準和學情分析有機結(jié)合，才能確定適宜的單元學習目標要求。

2. 確定具體研究內(nèi)容

對內(nèi)容的分析首先要從學科層面準確地把握該單元教學內(nèi)容的定位、在整個數(shù)學學科中的定位，分析單元教學內(nèi)容與前后期知識的連續(xù)性和相關(guān)性;其次分析單元教學內(nèi)容本身包含的知識概念、本質(zhì)特征、思想方法，以及單元內(nèi)部的結(jié)構(gòu)層次特點和重難點，并構(gòu)建單元知識體系結(jié)構(gòu)關(guān)系圖;再次，除了分析內(nèi)容，還要理解內(nèi)容的學習意義，在培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上引領(lǐng)學生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀。

三、單元學習主題的分類

2020年修訂的高中數(shù)學教材，為了更好地基于主題（單元）開展深度學習，在認真研究各主題本質(zhì)內(nèi)涵的基礎(chǔ)之上，根據(jù)核心素養(yǎng)具有發(fā)展連續(xù)性和階段性的特點，將高中數(shù)學課程分解為5個主題板塊：預備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模和數(shù)學文化，從核心知識、核心思想方法和核心能力三個維度出發(fā)，構(gòu)建了新教材體系。

教師是主題內(nèi)容的決定者，在確定“數(shù)學主題”內(nèi)容時，教師可以根據(jù)教學內(nèi)容、學生的學習情況以及自己對教材的駕馭能力，選擇單元主題內(nèi)容。單元學習的主題通常有三種分類：內(nèi)容主題類、思想方法類、能力素養(yǎng)類。

1. 內(nèi)容主題類

內(nèi)容主題類是以重要的數(shù)學概念或核心數(shù)學知識為主線組織的的知識類主題。如函數(shù)的單調(diào)性、方程等，可以作為知識類主題對待。這些主題有些是教材中的章節(jié)主題，有些是跨章節(jié)的主題，同時從知識的邏輯性和相關(guān)性出發(fā)，可以考慮兩種呈現(xiàn)方式：對于知識的相關(guān)性不強的，可以用張網(wǎng)式呈現(xiàn)方式，對于邏輯聯(lián)系強，呈遞進關(guān)系的，可以前后依次展開，用線串式呈現(xiàn)方式。下面以單調(diào)性、度量關(guān)系和函數(shù)概念為例，構(gòu)建單元學習主題。

函數(shù)的單調(diào)性研究是高中數(shù)學課程展開的一條主線，它與義務(wù)教育階段的函數(shù)概念、函數(shù)圖像、代數(shù)運算，高中階段的函數(shù)概念、函數(shù)圖像、函數(shù)性質(zhì)、基本初等函數(shù)、數(shù)列、不等式、導數(shù)等內(nèi)容緊密結(jié)合，是高中課程的核心內(nèi)容之一，在中小學課程中起著承前啟后的作用 ，因此對函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)內(nèi)容進行重組和整合可以構(gòu)成一個跨章節(jié)的知識類主題，如圖2所示（呂世虎、吳振英、楊婷、王尚志，2016）。

度量關(guān)系是一類基本的空間關(guān)系。高中數(shù)學中的度量關(guān)系包括長度、角度、面積和體積，從平面度量到立體度量，貫穿于多個章節(jié)中。我們可以以度量關(guān)系為內(nèi)容主線，從長度、角度、面積和體積四個方面出發(fā)，構(gòu)成一個跨章節(jié)的知識類主題。比如函數(shù)相關(guān)的度量問題，平面中的長度、夾角問題，三角形中的距離、角度、高度、面積問題，直線和圓中的點、線間的距離，立體幾何中的點、線、面間距離、角度、體積問題，復平面內(nèi)的長度問題等（如圖3）。

函數(shù)主線中的函數(shù)概念，基本初等函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的典型范例，數(shù)列可以看作離散函數(shù)，并且從對應(yīng)關(guān)系出發(fā)，概率與統(tǒng)計中的概率以及隨機變量可以看作更廣義的函數(shù)，即從一般集合到實數(shù)集的映射。因此從函數(shù)的概念及延伸的角度，可以把這部分內(nèi)容重構(gòu)成一個跨章節(jié)的內(nèi)容主題（如圖4）。

2. 思想方法類

思想方法類主題是以數(shù)學思想方法為主線的主題。數(shù)學中的思想方法很多，例如數(shù)形結(jié)合、統(tǒng)計思想、坐標法、公理化、分類討論、類比、轉(zhuǎn)化（化歸）、微積分思想等。下面以坐標法、數(shù)形結(jié)合和統(tǒng)計思想方法為例構(gòu)建單元學習主題。

坐標法的基本思想主要有兩點：第一，建立平面坐標系，把平面中的點與一組有序?qū)崝?shù)對相對應(yīng);第二，平面上的一條曲線可以由包含兩個變量的一個代數(shù)方程來表示，這樣幾何問題就可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究。

基于以上分析，我們凝練出單元學習主題：坐標法，由橢圓體會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學生的數(shù)學抽象和數(shù)學運算核心素養(yǎng)。同時我們分三個階段研究橢圓：橢圓及其標準方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，橢圓的應(yīng)用。如此充分體現(xiàn)坐標法的思想，培養(yǎng)學生利用坐標法解決平面解析幾何問題，同時學生離開老師的引導后，能夠獨立或以團隊的形式研究雙曲線和拋物線，把知識進行遷移，解決新的問題。

高中數(shù)學中有很多體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容：函數(shù)與方程、導數(shù)應(yīng)用、圓與方程、直線與方程、圓錐曲線等，我們可以把這些內(nèi)容整合在一起，構(gòu)成“數(shù)形結(jié)合思想方法”張網(wǎng)式結(jié)構(gòu)主題。

統(tǒng)計思想包括均值、變異、估計、相關(guān)、擬合、檢驗等思想，而統(tǒng)計方法依據(jù)數(shù)據(jù)分析的過程，可以分為數(shù)據(jù)收集、描述以及推斷三個階段。義務(wù)教育階段的統(tǒng)計以數(shù)據(jù)收集和描述為主，而高中數(shù)學兼有二者，并以推斷為重點。因此以統(tǒng)計思想方法為主題，可以讓學生主動經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、描述和推斷的全過程，并滲透相應(yīng)的統(tǒng)計思想（如圖5）。

3. 能力素養(yǎng)類

以數(shù)學核心素養(yǎng)、基本能力為主線的主題是素養(yǎng)類主題。課程標準提出六個數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析。我們可以以一個核心素養(yǎng)或多個核心素養(yǎng)為主體，來確定單元學習主題。下面以數(shù)學建模素養(yǎng)為例，構(gòu)建素養(yǎng)類單元學習主題。

課程標準加強了數(shù)學建模的要求，并明確了數(shù)學建?；顒拥膶W時要求，體現(xiàn)了數(shù)學建模在數(shù)學學習中的重要地位。數(shù)學建模的一般過程是把實際問題抽象成數(shù)學問題，求解數(shù)學問題后，把得到的解轉(zhuǎn)換成實際問題的解。因此數(shù)學建模素養(yǎng)與其他五個核心素養(yǎng)緊密聯(lián)系，并且根據(jù)涉及數(shù)學問題的不同，關(guān)聯(lián)不同的核心素養(yǎng)。高中階段數(shù)學建模滲透在不同的主線中，比如函數(shù)主線中的指數(shù)、對數(shù)增長模型，三角函數(shù)中的摩天輪問題，幾何與代數(shù)主線中的力的合成與分解、做功問題，圓錐曲線的光學性質(zhì)等。高中涉及的數(shù)學模型可以按照幾大主線分為函數(shù)類模型、概率與統(tǒng)計類模型、幾何與代數(shù)類模型。各主線的數(shù)學建模單元教學可以安排在相應(yīng)主線的主題教學之后，比如函數(shù)模型，可以在函數(shù)主線有關(guān)的單元教學后組織數(shù)學建模單元教學。

在核心素養(yǎng)背景下，對數(shù)學建模單元主題的凝練，要從兩方面入手。一是要重視其技術(shù)性，體驗數(shù)學建模的一般過程。即首先創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，接著讓學生通過邏輯推理與猜想，設(shè)計解決問題的方案，用數(shù)學語言準確描述建立數(shù)學模型，然后運用模型科學求解，并檢驗結(jié)果，最后反饋現(xiàn)實情境，獲得最終結(jié)果（如圖6）。二是要重視其思想性。教師要引領(lǐng)學生領(lǐng)悟數(shù)學建模思想，體驗數(shù)學建模過程，建構(gòu)數(shù)學建模能力。