在“說題”中成長(zhǎng)

呂曉蘭 王瑾

摘 要 數(shù)學(xué)說題作為一種研究數(shù)學(xué)解題的教研活動(dòng)，有助于教師提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)專業(yè)發(fā)展。以二次函數(shù)綜合題為例，具體呈現(xiàn)說題過程，剖析如何從解題方法、數(shù)學(xué)思想、題目變式，教學(xué)方法等方面進(jìn)行對(duì)數(shù)學(xué)解題的深入研究。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)說題 解題過程 回顧反思

教師的說題是一個(gè)將審題，分析解題思路、方法和回顧的思維過程按照一定的邏輯深入淺出的表達(dá)出來的過程。不同于教師解題，教師說題不僅僅是解題過程的呈現(xiàn)，還是在此基礎(chǔ)上能夠?qū)︻}目進(jìn)行科學(xué)理性的分析和理解。因此，教師對(duì)說題的研究不僅能夠提升自身的教學(xué)技能及專業(yè)素養(yǎng)，更重要的是能夠提高學(xué)生的解題能力，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。教師的說題內(nèi)容大致包括命題意圖、命題背景、教學(xué)與評(píng)價(jià)、題后反思等幾個(gè)部分[1]。下面以沈陽中考模擬考試中一道二次函數(shù)壓軸題為例進(jìn)行“說題”。

一、原題呈現(xiàn)

題目：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，[-63]），AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，連接BC。點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，[-43]），點(diǎn)F是線段EO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。過點(diǎn)A、D、F的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)G，連接DG交線段AB于點(diǎn)M。

（1）求∠ACB的度數(shù);

（2）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)，求過A、D、F三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)G的坐標(biāo);

（3）以線段DM為一邊作等邊三角形DMP，點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線DG同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)。

二、命題背景分析

近幾年來，各地中考數(shù)學(xué)壓軸題多與二次函數(shù)有關(guān)，體現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用。其中，函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)結(jié)合的問題是考查的重難點(diǎn)。而有關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡、路徑的問題一直都是關(guān)注的重點(diǎn)。此類問題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，問題設(shè)置環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，巧妙融合多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，又蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體。

三、命題的立意分析

（一）數(shù)學(xué)知識(shí)技能方面

本題主要考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，利用消元法或者代入法求解二元一次方程組;解直角三角形中的利用三角函數(shù)求角的度數(shù)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等內(nèi)容。

（二）數(shù)學(xué)思想方法方面

本題中蘊(yùn)含豐富的思想方法，主要包括化歸、數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、特殊化、由特殊到一般等重要的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面

本題的解答需要學(xué)生能正確地識(shí)圖、作圖，注重考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)。

四、解題過程及思路評(píng)析

（一）第一問

弄清問題，找出已知中的關(guān)鍵信息及隱含信息。本問首先明確是求角度數(shù)的問題，再結(jié)合已知條件不難發(fā)現(xiàn)，所求∠ACB處在直角三角形中，因此可以想到利用三角函數(shù)求角的度數(shù)，而且已知條件明確A點(diǎn)坐標(biāo)（6，[-63]），由點(diǎn)的坐標(biāo)確定線段的長(zhǎng)，即可求出直角三角形兩直角邊，根據(jù)∠ACB的正切值求出角的度數(shù)，如圖2。

【評(píng)析】本道題的解決主要利用三角函數(shù)求角的度數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，從復(fù)雜的圖形中提取簡(jiǎn)單基本圖形，難度不大，計(jì)算簡(jiǎn)單，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的考查。

（二）第二問

關(guān)鍵信息：點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AC中點(diǎn)，從關(guān)鍵信息中挖掘隱含條件即點(diǎn)F與點(diǎn)O重合。由點(diǎn)A坐標(biāo)（6，[-63]）即可明確點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，[-63]）。因此，如圖3可將求過A、D、F三點(diǎn)拋物線的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為求過A、D、O三點(diǎn)的拋物線。并且在三點(diǎn)的坐標(biāo)已知的情況下，利用待定系數(shù)法設(shè)一般式即可求出。但在本問中，部分同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)A、D兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱，所以先求出對(duì)稱軸，再利用設(shè)頂點(diǎn)式也可求出二次函數(shù)表達(dá)式。

此問中，可以先畫出過A、D、E三點(diǎn)的拋物線，再畫出過A、D、O三點(diǎn)的拋物線，這樣容易結(jié)合圖形直觀發(fā)現(xiàn)在對(duì)稱軸不變的情況下，點(diǎn)G實(shí)質(zhì)上隨著點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)F從點(diǎn)E→O，點(diǎn)G由G→G′，（如圖3），這樣定點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)G連接而成的線段DG與線段AB的交點(diǎn)M又隨著G點(diǎn)的變化而變化：點(diǎn)M由M→M′（如圖4），從而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)的邏輯關(guān)系，為第三個(gè)問確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡作好鋪墊。

【評(píng)析】首先，本問利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想方法，將問題簡(jiǎn)化，難度依然不大，主要考查學(xué)生運(yùn)算能力。其次，在本題中，學(xué)生可以多角度觀察點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，運(yùn)用不同方法解決問題。最后，畫出所求拋物線的圖象，通過幾何直觀也更容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（三）第三問

最后一問的解難度較大，學(xué)生會(huì)遇到思維障礙。即使原題要求直接寫出答案，但實(shí)際的分析問題過程體現(xiàn)了這類問題的典型的“化動(dòng)為靜”解題策略，很好地考查學(xué)生的推理能力。基于此，筆者對(duì)此問進(jìn)行詳細(xì)分析：

關(guān)鍵信息：△DMP始終為等邊三角形，點(diǎn)F由E運(yùn)動(dòng)到O可以挖掘出隱含的條件：60°角、相等的邊、三線合一、動(dòng)點(diǎn)F的始末位置。問題為求點(diǎn)P的路徑，會(huì)想到求路徑首先要明確運(yùn)動(dòng)軌跡，因此將求點(diǎn)P的路徑問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡問題，而在明確點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡之后，再由始末點(diǎn)最終求出點(diǎn)P的路徑。但難點(diǎn)在于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么，又如何確定呢。那么解決這些問題需要突破三道關(guān)：讀懂“動(dòng)”——明確動(dòng)點(diǎn)之間位置關(guān)系;找“不動(dòng)”——抓不變量;怎么“動(dòng)”——確定動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。具體思維過程如下圖：

（1）讀懂“動(dòng)”——明確動(dòng)點(diǎn)之間位置關(guān)系

首先，思考本題中都有哪些動(dòng)點(diǎn)，想想是哪個(gè)最先動(dòng)，哪個(gè)最后動(dòng)，點(diǎn)與點(diǎn)之間是怎樣相互牽連著動(dòng)，并且與所求目標(biāo)動(dòng)點(diǎn)P聯(lián)系最密切的是哪個(gè)點(diǎn)。通過審題，不難發(fā)現(xiàn)：共有4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F最先動(dòng)，從而牽動(dòng)G點(diǎn)動(dòng)，而因點(diǎn)G而生的點(diǎn)M最終導(dǎo)致點(diǎn)P動(dòng)，因此與點(diǎn)P聯(lián)系最密切為點(diǎn)M，M動(dòng)牽動(dòng)著點(diǎn)P動(dòng)，在這里我們可稱之為“主動(dòng)點(diǎn)”，而點(diǎn)P可稱之為“從動(dòng)點(diǎn)”[2]點(diǎn)P隨著動(dòng)點(diǎn)M的變化而變化。其次，進(jìn)而猜想，“從動(dòng)點(diǎn)”P的軌跡與“主動(dòng)點(diǎn)”M的軌跡應(yīng)該存在某種特殊關(guān)系，具體關(guān)系是什么，而M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡又是什么。接下來解決第二個(gè)問題。

（2）找“不動(dòng)”——抓不變量，“化動(dòng)為靜”

點(diǎn)M的軌跡是什么呢？很明顯點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)，軌跡確定。在動(dòng)點(diǎn)問題中，常規(guī)的解題策略是“抓不變量”。因此，接著“動(dòng)”中找“靜”，即由F的始末固定位置——圖4的點(diǎn)E（[0，?43]）與原點(diǎn)，確定拋物線與x軸交點(diǎn)G的始末位置（圖4的G、G′），而求G、G′點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過求過E、A、D三點(diǎn)拋物線[y=39x2?3x?43]與過O、A、D三點(diǎn)拋物線[y=33x2?33x]與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)G（12，0）、G′（9，0）確定，進(jìn)而由DG及DG′與線段AB的交點(diǎn)確定點(diǎn)M的始末固定位置——圖4的點(diǎn)M、M′，最終確定點(diǎn)P的始末位置——圖6的P、P′點(diǎn)。但需要注意的是，學(xué)生容易受數(shù)學(xué)直覺思維的影響，認(rèn)為PP′就是點(diǎn)P的軌跡，但其實(shí)此時(shí)并沒有判斷出P點(diǎn)的軌跡就是直線。那么接著探究不難發(fā)現(xiàn)：

如圖6，△DMP始終為等邊三角形，點(diǎn)D為定點(diǎn)，即∠MDP始終為60°，就出現(xiàn)了共頂點(diǎn)的等邊三角形，那么“手拉手”模型就顯而易見了。通過證明△DMM′≌△DPP′，我們從而得出MM′=PP′，∠DM′M=∠DP′P，并且在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中MM′始終等于PP′，∠DM′M始終等于∠DP′P，這樣就相當(dāng)于又找到了不變的等量關(guān)系。

（3）怎么“動(dòng)”——最終確定動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡通過“找不動(dòng)”的解題策略只是確定了MM′=PP′，仍未確定點(diǎn)P的軌跡就是直線，因而繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：

如圖7，動(dòng)點(diǎn)M向終點(diǎn)H（H為線段AB中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P隨之向終點(diǎn)K運(yùn)動(dòng)的過程中，始終存在一組全等的三角形——△DKP與△DHM，即∠DKP始終等于∠DHM等于30°（∠DHM=30°，由點(diǎn)H為AB中點(diǎn)，判斷出DH//CB，進(jìn)而得出∠DHM=∠CBA=30°）。即動(dòng)點(diǎn)P被“綁在”過定點(diǎn)K（K為P最終位置）且與定直線CA夾角為30°的直線上，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)“本質(zhì)結(jié)果”，P的軌跡就確定了。確定了動(dòng)點(diǎn)P的軌跡后，則由MM′=PP′，動(dòng)點(diǎn)P的路徑迎刃而解。而線段MM′的長(zhǎng)可以令直線DG的解析式[y=3x?93]與直線[DG']的解析式[y=233x?83]中x=6就能分別求出M與M′的坐標(biāo)，求得為M（6，[?43]）、M′（6，[?，33]），所以MM′=PP′=[3]

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡最終確定實(shí)質(zhì)上采用的是夾角定位法：如圖8，已知直線l與定點(diǎn)A，若直線AB與定直線l的夾角確定，則動(dòng)點(diǎn)B始終在直線AB上，即動(dòng)點(diǎn)B的軌跡為直線AB。

【評(píng)析】此問體現(xiàn)了特殊化的數(shù)學(xué)方法，將問題引向極端，尋找定點(diǎn)、定線、定角是解決問題的關(guān)鍵，使解題方向更加明確。具體方法是采用夾角定位法，問題解決由淺入深，順藤摸瓜，環(huán)環(huán)相扣，在發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P與點(diǎn)M的關(guān)系后，經(jīng)歷猜想與推理論證，得出點(diǎn)P的軌跡是直線，使學(xué)生最終突破難點(diǎn)。

五、回顧與反思

（一）思“解法”

根據(jù)波利亞《怎樣解題》中的“怎樣解題表”最后一步“反思回顧”[3]：是否還有其他的解法，有沒有更直觀的方式說明P點(diǎn)的軌跡一定是直線呢。換個(gè)角度，用“旋轉(zhuǎn)”的眼光看動(dòng)點(diǎn)P，那么會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn)：△DMP始終為等邊三角形，即動(dòng)點(diǎn)P可以看成是動(dòng)點(diǎn)M繞著定點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而來。因此，所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡也必然是由動(dòng)點(diǎn)M的軌跡做相應(yīng)變換而來，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是由MM′繞定點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而來，而由圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知?jiǎng)狱c(diǎn)P軌跡也必然是直線。

（二）思“本”溯源

本題的源頭可以追溯到“北師大版八下教材”3.2.2節(jié)例題（圖9），需要應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)訓(xùn)練學(xué)生解題、畫圖，識(shí)圖能力。在北師大版八下教材第96頁章末復(fù)習(xí)題第12題（圖10），在觀察圖形旋轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)一步訓(xùn)練了學(xué)生的識(shí)圖能力，是典型“手拉手”幾何模型的雛形。

（三）思“變式”

1.變條件：

變式一：以線段DM為一邊作頂點(diǎn)為D的等腰直角三角形DMP，點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線DG同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)。

變式二：以線段DM為一邊作頂點(diǎn)為D，頂角為α的等腰三角形DMP，點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線DG同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)。

2.變結(jié)論：

變式三：以線段DM為一邊作等邊三角形DMP，點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線DG同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段PD的最小值。

變式四：以線段DM為一邊作等邊三角形DMP，點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線DG同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式。

【評(píng)析】變式是在原題的基礎(chǔ)上對(duì)條件或者結(jié)論進(jìn)行改變，有利于學(xué)生積極主動(dòng)進(jìn)行深入的探究，發(fā)現(xiàn)基本圖形特征和一般規(guī)律，總結(jié)解決有關(guān)題目的通法。做到一題多變，多題歸一的教學(xué)效果，真正培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

（四）思“教法”

教學(xué)中教師要立足教材，落實(shí)“四基”，注重識(shí)圖、作圖能力的訓(xùn)練;幫助學(xué)生提高解題能力的關(guān)鍵不僅僅在于“怎么做”和“為什么這么做”，更在于多讓學(xué)生思考“我是怎么想到的”，重視剖析解題思路的形成過程。合理利用變式，達(dá)到“一題多解，一題多變，多題歸一，多解歸一，錯(cuò)例眾評(píng)”的教學(xué)效果[4]。

數(shù)學(xué)教學(xué)要突出數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的同時(shí)能夠自覺有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，提高解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]李云萍.說題說出別樣天[J].中國數(shù)學(xué)教育，2015（4）：26-29.

[2]劉彬，徐春艷.例談“說題”：一次數(shù)學(xué)“說題比賽”的實(shí)錄與反思[J].數(shù)學(xué)通訊，2015（3）下半月：4-7.

[3]波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2001：11-12.

[4]馮劍.在“說題”中經(jīng)歷 在“說題”中提升[J].中國數(shù)學(xué)教育，2013（3）：45-47.

（責(zé)任編輯：楊紅波）