基于g-h分布的我國地震巨災債券定價研究

■劉 洋，朱 衡

一、引言與文獻綜述

近年來在世界范圍內大型自然災害頻頻發生，并且災害類型復雜多樣，給經濟社會帶來了巨大的損失。如何分散巨災風險，進行科學有效的巨災風險管理，一直是學術界研究的一個重要課題。巨災風險證券化的核心就是將傳統保險公司難以獨自承保的巨災風險通過保險資產證券化的方式轉嫁給資本市場，讓風險在資本市場進行分散，而巨災債券是目前市場上發行規模最大，應用最多也是最為成熟的巨災風險證券化產品。因此，探討地震巨災債券在我國的運行模式，并在此基礎上進行定價研究和產品設計，有助于分散地震風險，減輕政府的財政負擔，為人民群眾的生活提供更好的保障。

關于巨災債券定價模型，國內外主要集中在均衡定價理論模型、損失精算定價理論模型和無套利定價理論模型。關于均衡定價理論模型的研究：Cox&Pedersen（2000）認為傳統債券不能完全對沖巨災風險，因此他們假設市場不完全，以典型代理人理論為基礎，建立無風險利率模型，再結合巨災發生的概率得到了均衡定價模型；Zimbidis et al.（2007）利用極值理論建立了地震震級的風險動力學模型，并將建立的地震風險模型與不完全市場框架下的均衡定價模型相結合，得到巨災債券定價模型；Reshetar（2007）考慮巨災保險損失和巨災死亡率兩個觸發因素，建立了多事件觸發機制下的付息巨災債券定價模型；Egami&Young（2008）假設再保險索賠遵循泊松跳躍—擴散過程，對結構化巨災債券進行了無差異定價；Shao et al.（2015）運用均衡定價理論，結合利率期限結構和通貨膨脹率動態模型對加州地震巨災債券進行了定價分析。

關于損失精算定價理論模型的研究：Lane（2000）把巨災債券的價格組成分為面向投資者的期望損失和非期望損失，用損失頻率和損失程度進行分析，結合歷史數據建立了LFC 定價模型；Wang（2004）在債券定價模型中增加了概率乘積和參數不確定性調整兩個因素，用t分布代替正態分布進行經驗估計，結合損失超越曲線得到了Wang 兩因素定價模型；Christofides（2004）發現不存在系統性風險時，可以由Wang概率轉換得到巨災債券的風險成本，由此提出了基于預期損失的Christofides 模型；Chen et al.（2013）結合非壽險精算方法和Wang 兩因素模型，得到一年期極端洪水巨災債券定價模型；田玲和向飛（2006）對LFC 模型、Wang 兩因素模型和Christofides 模型進行比較研究，發現Wang 兩因素模型在精度上最優；施建祥和鄔云玲（2006）利用非壽險精算方法和資本資產定價模型對我國臺風巨災債券進行了初步設計；劉昕龍等（2017）通過構造基于共保體的風險過程模型，應用蒙特卡羅方法進行地震風險的仿真模擬，探討了不同模式下巨災風險的轉移效率；王力（2018）在考慮破產風險的情況下建立了巨災可轉換債券的定價模型，提出將巨災債券與可轉換債券相結合，形成優勢互補的創新型金融產品。

關于無套利定價理論模型的研究：Cummins & Geman（2009）用確定性利率代替了隨機利率，用正常數代替損失建模中的隨機數，得到簡化的巨災債券無套利定價模型；Litzenberger et al.（1996）把巨災事件是否發生作為唯一的觸發條件，通過對數正態分布進行了損失擬合，并結合現金流貼現模型進行了一年期零息巨災債券的定價；Nowak & Romaniuk（2013）假設巨災的發生與金融市場的行為無關，應用無風險即期利率模型對具有不同收益函數的巨災債券進行定價，并利用CIR 模型和Hull-White 模型建立了不同利率動態下的定價模型。

從現有文獻可以看出，國外學者在巨災債券的制度設計和定價模型方面都已經有了比較豐富的研究成果，國內學者大部分研究主要著眼于通過金融經濟理論和風險精算理論進行與自然災害損失相關聯的巨災債券模型構建和定價。整體上看，國內關于巨災債券研究更偏向于實證方面，尚無一個嚴密完整的理論體系框架，且現有巨災債券的定價研究沒有充分考慮到投資市場的負擔能力。對于類似汶川大地震的部分極端風險，如果完全由巨災債券進行損失補償那么就有可能使債券投資者喪失全部的本金，這顯然會及極大地影響巨災債券投資者的投資熱情；此外，現有的巨災債券定價研究沒有充分考慮不同我國資本市場上不同投資人群的投資需求，并不利于債券的發行和推廣。

鑒于此，考慮到定價過程中市場不完全的問題，本文對均衡定價理論模型進行簡化和改進，構建了我國地震巨災債券的定價模型，利用我國1969—2019年間成災地震的直接經濟損失數據，結合g-h 分布對地震損失進行分布擬合，并最終結合地震巨災債券定價模型進行定價分析。本文的貢獻在于：第一，創新性地通過均衡定價理論與g-h 分布相結合的方法建立地震巨災債券定價模型，為地震巨災債券提供了新的定價思路；第二，在傳統概率分布的基礎上，引入了g-h 分布對我國地震巨災損失數據進行擬合，為尖峰厚尾型分布提供了新的擬合方法；第三，通過地震巨災債券定價模型進行實證研究，分析討論了道德風險和個別奇異點對于地震巨災債券定價的影響，為我國地震巨災債券的進一步研究提供了理論基礎。

二、研究設計

（一）基礎定價模型選取

金融經濟理論下的定價模型優點在于具有系統的金融理論支撐和嚴格的推導過程，不需要債券的歷史價格數據就能得到巨災債券的公平價格，能夠比較清晰準確地反映定價過程。缺點在于需要的假設往往比較嚴苛，使其在實務中的應用性不夠好，更適合用于進行理論分析和研究。保險精算理論下的定價模型，如LFC模型、Wang兩因素模型等，其共同點在于都是在完全市場的假設下運用計量的方法對巨災債券進行定價。由于這類模型從實證的角度出發考慮影響債券價格的主要因素，因此比較注重實務，能夠對于發行人和投資者起到一定的指導作用，并且能夠解釋巨災債券的高溢價現象，而它們的缺點在于缺乏系統的理論支撐，需要考慮大量的影響因素來保證模型的精度，并且完全市場的假設也限制了此類模型的應用。

由于巨災風險是否發生與金融市場無關，所以巨災債券的現金流無法由市場已有債券來復制，定價過程需要在市場不完全的假設下進行，因此選擇均衡定價理論模型作為基礎定價模型，并對模型進行適當改進和簡化，得到更具操作性的我國地震巨災債券定價模型。

表1 巨災債券定價模型對比

（二）地震巨災債券定價模型構建

1.地震巨災債券定價模型

在均衡定價理論下，投資者可以在市場自由地買入和賣出債券來實現自身效用的最大化，當所有的投資者都實現了效用最大化時，他們就不再有動機改變自己的市場行為，市場達到暫時的均衡狀態，此時的市場價格即為均衡價格。假設市場中每個投資者都有相同的效用函數且與狀態無關，投資者根據效用函數進行消費相關決策，那么就可以引入代表性經濟人的概念來對市場進行簡化。在地震巨災債券定價的框架下，可以將地震巨災債券的投資者作為代表性經濟人，他們基于同一效用函數進行消費決策，此時保險公司、投資者、信托機構和SPV 一起構成了一個獨立金融市場。由于SPV起著金融中介的作用，所有的現金流向都與它有關，當SPV 的資金流入和資金流出達到均衡時，市場也達到均衡狀態，再結合地震巨災風險發生的概率就可以得到該條件下的地震巨災債券定價模型。

為了簡化計算，這里假設特殊目的機構SPV的資金流入來自保險公司繳納的再保費收入B、從投資者處募集到的本金M以及將資金交由信托機構得到的投資收益I；SPV 的資金流出主要用于保險公司的賠償L、返還給投資者的本金KM以及支付給投資者的利息，其中為對投資者本金的保證償付比例，取值在0%～100%之間；r為地震巨災債券的利率，要通過模型計算得到。

圖1 地震巨災債券運作結構圖（簡化）

設地震發生的時間為t，債券到期時間為T，地震損失的值不超過某一觸發點的概率為q，巨災損失的值在該觸發點和下一個觸發點之間的概率為p，那么可以得到SPV 的期望現金流入E的計算公式如下所示。

其中，P為風險測度，I為SPV將資金交給信托機構獲得的投資收益，是時間的函數。設信托賬戶中資金的收益率為r，沒有發生地震巨災時的SPV 獲得的投資收益為I，發生地震巨災時的SPV獲得的投資收益為I，那么則有：

考慮到地震巨災低頻高損的特點以及巨災債券的實際運作，這里假定SPV 對保險公司和債券投資者都統一在年末進行給付，那么此時可以得到SPV的期望現金流入E的計算公式如下所示。

同理，可以得到SPV 的期望現金流出E的計算公式如下所示：

設地震巨災債券的收益率為r，沒有發生地震巨災時的SPV 的現金流出為C，發生地震巨災時的SPV的現金流出C，那么則有：

將兩式代入E得到：

當市場達到均衡狀態時，SPV的現金流入與現金流出相等，此時有E=E，將以上各式代入可以得到式（9）。

式（9）為均衡定價理論框架下的地震巨災債券利率計算公式。

2.道德風險下的模型修正

在實務中，地震巨災的經濟損失接近或者達到保險公司的賠償條件時，投保人就有動機夸大實際損失來獲得更多的保險賠償。由于地震巨災債券特殊的運行機制，在發生地震巨災且達到觸發條件時SPV 就可以不再支付債券投資者利息和本金，而是將這筆資金交由作為債券發起人的保險公司進行賠付，因此保險公司在理賠時可能不夠嚴格，并且在實際損失接近觸發條件時，保險公司自身也可能為了獲得SPV支付的損失補償來轉移風險，從而夸大實際損失。

綜上所述，在地震巨災債券的定價過程中，道德風險是一個無法忽略的因素，需要在定價時予以考慮和分析。由于道德風險的影響在實際損失接近觸發臨界值時更為明顯，所以假設損失觸發值為K，道德風險因子β∈（0，1），在實際損失達到K（1-β）時會產生道德風險，那么此時則有SPV對保險公式的巨災損失補償L如下：

其中，α為實際的地震巨災損失，L為地震巨災發生時的SPV 對保險公司的實際支付。通過上述公式，可以在考慮道德風險因素的情況下得到巨災賠付L，用L代替初始模型中的L就可以對模型做出初步修正。

3.分布模型選取與參數估計

由于地震巨災發生概率低，風險預測難度較大，一旦發生地震災害將就會帶來巨大的損失，損失數據存在明顯的尖峰厚尾特點，而g-h分布能通過偏斜參數、形態參數和位置參數的調整來得到如正態分布、對數正態分布、拉普拉斯分布、柯西分布等一般分布，具有很好的柔性和靈活度。并且相較于極值理論來說，g-h分布的方法相對簡單便于理解，對于數據和閾值選取的要求不如極值理論嚴苛，能夠在不同條件和要求下描述地震損失分布的偏度特征和峰度特征。考慮到以上因素，本文選取了g-h分布來對地震巨災損失進行擬合。

（1）g-h 分布的相關參數。假設z 服從標準正態分布，為標準正態隨機變量，記作z～N（0，1），如果隨機變量Y 是z 的函數，且滿足如下關系式。

那么就稱隨機變量Y 服從g-h 分布，其中g和h均為常數。通過改變偏度參數g的正負和大小，可以改變分布的對稱方向和對稱程度；通過改變峰度參數h 的正負和大小可以改變分布的拉伸方向和拉伸程度。將g分布和h分布結合起來就可以得到g-h分布的簡單形式，在此基礎上引入位置參數A 和尺度參數B 就能得到完整的g-h分布，如下所示。

其中，參數A，B，g，h 均為常數，該分布即為完整的g-h 分布。當h=0 且g→0 時，g-h 分布退化為標準正態分布，并且可以通過參數A，B，g，h的調整，得到一些在研究中應用較多的分布。

（2）g-h分布的參數估計方法。陳倩和李金林（2018）利用g-h 分布的分位數估計法在風險度量、收益率分布等方面取得了不錯的擬合效果，因此本文采用分位數估計方法來得到g-h分布的相關參數。

假設隨機變量X 的p 分位數為x，則有P（X≤x）=p，標準正態隨機變量z的p分位數為z，其中p∈（0，1），那么可以得到：

步驟1：估計g-h 分布的位置參數A。當p=0.5時，有z=0，x=A，因此位置參數A可以用隨機變量X的中位數x進行估計。

步驟2：估計g-h 分布的偏度參數g。由于z為標準正態隨機變量，那么則有z=-z，且有x=A，那么當p∈（0，0.5）時有；

步驟3：估計g-h 分布的尺度參數B 和峰度參數h。

聯立以上兩式可得：

三、我國地震巨災債券定價實證研究

（一）樣本數據選取

本文收集了1969—2019年間我國成災地震的直接經濟損失數據，并選取其中1億元以上的部分作為樣本數據，數據主要來自《中國地震年鑒》（1982—2004年）以及《中國大陸地震災害損失述評》（2005—2019 年）。考慮到通貨膨脹帶來的影響，以2019年的居民消費價格指數（CPI）作為定基指數對數據進行調整。其中，2011 年緬甸地震、2011年印度錫金邦地震、2015年尼泊爾地震均屬于境外地震，但對中國大陸造成了地震災害，屬于成災事件，且造成了1 億元以上的直接經濟損失，故仍然選取在內。

（二）描述性統計

將通過CPI 定基指數換算得到的137 組數據分別劃分至9個損失區間，并算出各個區間的損失頻率分布表，見表2。

表2 我國1969—2019年地震損失頻率分布表①數據來源：1982—2004年《中國地震年鑒》、2005—2019年《中國大陸地震災害損失述評》。

可以看出，80%的地震損失數據在0—30 億元的區間內，并且500億元以下的地震損失數據占到了全部數據的95%以上，符合地震巨災低頻高損的特點。

由表3可知，樣本中地震損失數據的偏度為11.48，說明樣本數據大多位于均值的左側，表明樣本數據的分布具有右偏態的特點。樣本中地震損失數據的峰度為133.38，這是因為如汶川地震等少數極值點的存在，使得大量其余的值分布在眾數周圍，使樣本數據的分布產生了極為陡峭的尖峰。通過上述分析可以發現，我國地震巨災損失存在尖峰厚尾的特點。

表3 我國1969—2019年地震損失統計分析表

（三）我國地震損失分布的擬合

Gamma 分布、對數正態分布和威布爾分布都能較好描述損失分布的厚尾偏斜特性，被廣泛應用于非壽險、壽險、健康險等保險領域的損失分布擬合，并且能夠較好地契合保險業的損失數據特征。考慮到地震風險同樣屬于巨災領域可保風險，而Gamma分布、對數正態分布和威布爾分布在臺風、洪水等保險損失領域取得了良好的擬合效果，因此本節首先選取這三種分布對地震巨災損失進行擬合，再通過g-h分布進行對比分析。

1.Gamma分布

假設隨機變量x的概率密度函數為：

當α＞0，β＞0，則稱X 為服從參數為α，β的Gamma 分布。г（α）=∫

t

e

dt 為Gamma 函數，當形態參數α=1 時，Gamma 分布轉化為指數分布。擬合過程如下：

首先根據極大似然估計法得到α=0.6198，β=0.0314，擬合圖見圖2。

圖2 Gamma分布擬合QQ圖

從圖2可以看出，Gamma分布擬合的整體效果不夠理想，相對來說尾部數據擬合效果較好，前部和中部數據的擬合程度都較低。利用K-S檢驗進行分布的擬合優度檢驗，計算得到K-S統計量D=0.1586，P=0.0024，小于5%，說明在0.05 的顯著性水平下，樣本數據不服從Gamma分布。

2.對數正態分布

如果隨機變量x的自然對數Inx服從正態分布，則該隨機變量服從對數正態分布，隨機變量x的密度函數為：

通過極大似然估計法得到μ=1.9905，σ=1.3061，擬合圖見圖3。

圖3 對數正態分布擬合QQ圖

可以看出，對數正態分布在數據前部和中部的擬合情況都比較好，尾部數據存在個別極值點偏離直線較遠，但整體上來說近似分布在直線周圍。擬合優度檢驗計算得到K-S 統計量D=0.0995，P=0.1408，大于5%，說明在0.05 的顯著性水平下，樣本數據服從對數正態分布。

3.威布爾分布

如果隨機變量X服從威布爾分布，那么其概率密度函數為：

通過極大似然估計法得到形狀參數k=0.7037，比例參數λ=14.5132，擬合圖見圖4。

圖4 威布爾分布擬合QQ圖

可以看出，威布爾分布對數據前部和中部的擬合程度整體來說較Gamma 分布稍好，但不如對數正態分布，尾部數據仍然存在較大的偏差。擬合優度檢驗計算得到K-S 統計量D=0.1454，P=0.0069，小于5%，說明在0.05 的顯著性水平下，樣本數據不服從威布爾分布。

4.g-h分布

根據樣本數據計算得到A=x=5.4508；g=1.8114，回歸分析得到h=-0.1722，B=9.8345。偏度參數g＞0，表明分布呈右偏態，形態參數h＜0，表明分布存在厚尾現象，這也和地震損失分布的特點相吻合，因此得到隨機變量X的表達式如下。

由擬合圖5 可以看出，g-h 分布對于樣本數據的擬合效果整體較好，明顯優于Gamma 分布和威布爾分布。雖然尾部數據個別極值點仍有偏離，但相較于對數正態分布來說其偏離程度更小，樣本數據整體基本分布在直線周圍。擬合優度檢驗計算得到K-S 統計量D=0.0672，P=0.5356，大于0.05，說明在5%的顯著性水平下，樣本數據服從g-h 分布，因此本文選取g-h 分布作為地震損失數據的概率分布。

圖5 g-h分布擬合QQ圖

（四）我國地震巨災債券的定價分析

觀察我國1969—2019 年共51 年的地震損失統計數據可以發現，地震災害頻發的地區主要集中在新疆、四川、西藏、云南、青海、甘肅、內蒙古、吉林、河北這9 個省份。部分區域幾乎每年都會發生地震，地震災害帶來的經濟損失也主要集中在這些地區，因此可以把以上9個省份作為地震巨災保險保費的主要來源。查閱2020年的《中國保險年鑒》可以得到9 個省份的財產險保費收入總計為2209.86 億元，地震保險的保費約占全部財險保費的4%。假設投保人有50%的概率選擇購買地震巨災保險，可以計算得到地震保險的保險費率為50%×4%=2.0%；國外巨災債券市場的運作過程中，保險公司一般將約20%的地震保險保費提交給SPV 機構作為再保險費用，那么SPV 機構預期將收到的再保險費用就為2209.86×20%×2.0%=8.84 億元。假設地震巨災債券發行總額為100億元，風險期限設置為1 年，那么T=1；參考中央結算公司統計檢測部發布的2019 年債券市場統計分析報告，設SPV 的市場平均投資回報率為2.28%，那么則有r=2.28%。

1.地震巨災債券定價

根據我國地震巨災損失的實際情況，選取損失金額50 億元、80 億元和100 億元分別作為本金保證型、本金部分保證型和本金沒收型三種地震巨災債券的損失觸發點。根據上文計算得到的g-h分布擬合公式，計算出各個損失金額的對應概率區間如下。

將上述數據代入模型（26）得到如下計算結果。

（1）本金保證型。該類債券的地震損失觸發點為50 億元，在發生約定的地震巨災時，保證100%償還本金，得到r=0.0639。因此，本金保證型債券票面年利率為6.39%，高于同期國債利率。

（2）本金部分保證型。該類債券的地震損失觸發點為80億元，在發生約定的地震巨災時，保證80%償還本金，得到r=0.0844。因此，本金部分保證型債券票面年利率為8.44%，高于同期國債利率。

（3）本金沒收型。該類債券的地震損失觸發點為100 億元，在發生約定的地震巨災時，不保證償還本金，得到r=0.1177。因此，本金沒收型債券票面年利率為11.77%，同樣高于同期國債利率。

通過以上計算可以看出，三種類型的地震巨災債券利率都高于同時期的一年期國債利率，表明地震巨災債券確實有相對更高的收益率，這也符合風險越高收益越高的基本規律。同時也可發現，雖然本金沒收型債券的收益率最高，但與其投資者承擔的風險并不夠匹配，原因在于大型地震災害發生的概率總體來說不高，一旦發生帶來的損失又極為巨大，此時風險急劇增大，但SPV 的投資收益卻沒有顯著變化，所以利率漲幅不大。

2.道德風險下的地震巨災債券定價

由于道德風險的存在，發起人和投保人在地震損失接近臨界值K 時都有動機夸大損失。因此假設存在一個道德風險因子β∈（0，1），由于β的存在，損失觸發點L 將會提前為K（1-β），并且為了簡化計算，取β=0.1，則觸發點變為50×（1-0.1）=45 億元，80×（1-0.1）=72 億元，100（1-0.1）=90億元，損失金額的概率區間變為：

計算得到：在考慮道德風險且取道德風險因子β=0.1的情況下，本金保證型利率為6.19%；本部分保證型利率為8.14%；本金沒收型利率為11.65%，均較不考慮道德風險時的利率有所下降。

可以看出，道德風險會使地震巨災債券的收益率下降。因為在這種情況下投資者承擔了本不應承擔的損失，這種影響反映在巨災債券上就是債券利率的下降，但在地震損失較低的情況下，道德風險給債券利率帶來的影響會更為明顯。這是因為在損失觸發點較低的情況下，投保人和發起人故意夸大損失，帶來的風險波動更大，因此對于定價的影響也更大，使得利率變化更明顯。在高損失觸發點的情況下，由于原本發生的概率就較低，因此在高損失點附近道德風險對利率的影響會變小，使得利率的下降幅度相對降低。

四、結論與對策建議

本文通過不完全市場下的均衡定價理論和g-h 分布理論構建了我國地震巨災債券的利率定價模型，并把g-h分布對地震損失的擬合效果和傳統的Gamma 分布、對數正態分布等進行了對比，最后，在考慮道德風險的情況下進行了地震巨災債券的初步設計和實證計算。研究發現：一是相較于傳統概率分布，g-h 能夠更好地擬合地震損失數據尖峰、厚尾、偏態的分布特征；二是不同本金保障程度的地震巨災債券都能給投資者帶來高于普通債券的收益，但本金保障程度高的地震巨災債券更有利于投資者；三是整體而言，道德風險的存在會使得地震巨災債券的利率下降，但本金保障程度更高的債券對于道德風險的影響更為敏感。

由于我國的巨災債券市場還處于探索階段，與發達國家相比還有許多地方需要完善，為了我國地震巨災債券能夠更好地發展，在已有結論的基礎上提出如下對策建議：

第一，由于現有巨災債券主要在國外發行和交易，我國對于巨災債券的研究還不夠深入，各高校和科研機構的學者應當積極進行地震巨災保險和巨災債券方面的相關探索，結合中國的市場特點和地震風險進行定價模型的構建和產品設計，為地震巨災債券的發行提供理論支持。

第二，作為保險公司和保險行業協會，應該積極進行地震巨災模型的搭建和研發，深化與相關科研機構、同業機構的學習和交流，在結合中國地質特點的情況下不斷提高模型精確度和可用性，以便于進行地震風險評估，提高自身的巨災風險管理技術水平，使保險市場在面對巨災風險時具有充足的承保能力。

第三，政府部門和相關監管機構要加快推進我國地震巨災債券相關的制度建設，明確SPV的設立條件，完善巨災債券風險隔離方面的法律法規，積極推動巨災債券發行、流通和監管領域的立法進程，可以借鑒國外已有的成功經驗，有針對性地在我國部分地區進行地震巨災保險和地震巨災債券的試點項目，為我國巨災債券的發行和推廣打下良好的基礎。