基于小波閾值的電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)去噪研究

王昌盛，丁 松，鄭 平

(安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引言

由于電力系統(tǒng)中的電能常常受到很多污染，人們?yōu)榱烁踩厥褂秒娔芫托枰獙?duì)受影響的電能信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)[1]，分析各種類型的擾動(dòng)信號(hào)的頻率、幅值以及持續(xù)時(shí)間.這些擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行采樣收集后，往往伴隨各種噪聲的污染，使人們無法判斷其屬于哪種擾動(dòng)類型，那么對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行去噪處理，使其最大程度上還原出原始信號(hào)就顯得極為關(guān)鍵[2-4].小波變換由于對(duì)突變以及非平穩(wěn)信號(hào)具有較強(qiáng)的適應(yīng)性分析，如今已廣泛應(yīng)用于電能擾動(dòng)信號(hào)的檢測(cè)與識(shí)別當(dāng)中.而基于小波變換的擾動(dòng)信號(hào)去噪也成為當(dāng)下的研究熱點(diǎn)，常見的小波去噪方法有；小波閾值去噪法、小波系數(shù)相關(guān)性去噪法、模極大值去噪法等[5].其中應(yīng)用最廣泛的是閾值去噪算法.由D L Donoho等[6]提出的傳統(tǒng)的軟硬閾值降噪法，小波分解層數(shù)與小波基難以確定，同時(shí)硬閾值函數(shù)在處理信號(hào)上會(huì)出現(xiàn)閾值處不連續(xù)性，呈現(xiàn)“一刀切”現(xiàn)象.軟閾值函數(shù)則出現(xiàn)邊緣模糊、固定偏差等情況，使其去噪效果都差強(qiáng)人意.綜上所述，在剖析了傳統(tǒng)軟硬閾值去噪的基本原理及其函數(shù)方程后，理解各自存在的優(yōu)缺點(diǎn)，給出了采用自適應(yīng)閾值門限結(jié)合改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪算法，在Matlab環(huán)境下模擬仿真電能擾動(dòng)信號(hào)，分別使用傳統(tǒng)和改進(jìn)的算法進(jìn)行去噪對(duì)比實(shí)驗(yàn)，最后從信噪比和均方根誤差兩方面綜合分析，證明了改進(jìn)的去噪方法能夠有效克服傳統(tǒng)去噪的缺陷[7].

1 小波閾值去噪原理

假設(shè)在接收端采集到的一維含噪信號(hào)為

s(t)=f(t)+n(t)，

(1)

其中，s(t)表示含有噪聲的采集信號(hào)；f(t)表示理想狀態(tài)下的原始信號(hào)；n(t)表示包括噪聲、脈沖等的干擾信號(hào).研究表明，噪聲信號(hào)往往以高頻信號(hào)的形式出現(xiàn)，而原始信號(hào)一般為低頻且平穩(wěn)的信號(hào)[8].這樣的區(qū)別就給小波去噪提供了依據(jù).而去噪就是將采集信號(hào)s(t)中的原始信號(hào)f(t)及干擾信號(hào)n(t)拆分開，通過閾值量化將干擾信號(hào)n(t)盡可能剔除[7]，最后通過小波重構(gòu)最大程度上還原出原始信號(hào).小波變換去噪的具體實(shí)現(xiàn)過程如圖1所示.但其中需要注意的是，不光是閾值門限和閾值函數(shù)的選取會(huì)對(duì)去噪結(jié)果產(chǎn)生影響，小波變換去噪法在選擇什么樣的小波基分解以及具體分解多少層上均會(huì)影響最后的去噪結(jié)果.本文在這4個(gè)方面均有介紹并都進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，著重闡述前兩部分，即改進(jìn)閾值處理部分.

圖1 小波閾值去噪流程圖

2 傳統(tǒng)閾值去噪算法

2.1 閾值的選取

去噪閾值門限的量化選取會(huì)對(duì)最后的去噪結(jié)果造成影響.當(dāng)閾值選取過小時(shí)，干擾信號(hào)的小波系數(shù)會(huì)大于所設(shè)定的閾值，從而導(dǎo)致算法判斷其為有用信號(hào)而被保留下來；當(dāng)閾值選擇過大時(shí)，則一些有用信號(hào)因?yàn)榈陀谒x定的閾值，而被當(dāng)成干擾信號(hào)給過濾掉.

目前傳統(tǒng)的閾值選擇方法可以分為以下4種：

(1)無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)閾值(rigrsure)

先將信號(hào)s(i)中包含的所有元素取絕對(duì)值，并根據(jù)從小到大進(jìn)行排序，再將各個(gè)元素求平方，則新的元素序列為

f(k)=

(sort(|s|))2(k=0,1,…,N-1).

(2)

然后對(duì)閾值為f(k)的第k個(gè)元素取平方根，

λk=

(3)

則該閾值所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)為

Rish(k)=

(4)

在得到風(fēng)險(xiǎn)曲線Rish(k)后，取最小風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)值kmin，即rigrsure閾值為

(5)

(2)固定閾值(sqtwolog)

(6)

式中，N為信號(hào)長度.

(3)啟發(fā)式閾值(heursure)

它是由rigrsure閾值和sqtwolog閾值折中而來的，當(dāng)信噪比SNR較大時(shí)，它會(huì)自適應(yīng)選擇rigrsure閾值，當(dāng)SNR較小時(shí)，會(huì)選擇sqtwolog閾值.

(4)極大極小閾值(minimaxi)

(7)

N為信號(hào)長度.

2.2 小波閾值函數(shù)

傳統(tǒng)的小波閾值函數(shù)分為硬閾值和軟閾值函數(shù).其中硬閾值函數(shù)表達(dá)式為

(8)

對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像如圖2所示.上式中λ為給定的閾值門限，當(dāng)經(jīng)過尺度函數(shù)分解得到的小波系數(shù)絕對(duì)值大于等于閾值門限時(shí)，其值保持不變；當(dāng)絕對(duì)值小于閾值時(shí)，則令該情況為零.

圖2 硬閾值函數(shù)圖

軟閾值函數(shù)表達(dá)式為

(9)

其中：λ為給定閾值；sgn()為符號(hào)函數(shù).其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像如圖3所示.

圖3 軟閾值函數(shù)圖

綜上所述，經(jīng)由函數(shù)圖像以及表達(dá)式能夠發(fā)現(xiàn)硬閾值函數(shù)在對(duì)含噪聲信號(hào)進(jìn)行去噪時(shí)可以很好地保留其主要特征.但是因?yàn)橛查撝岛瘮?shù)在所選閾值±λ處具有間斷點(diǎn)，從而導(dǎo)致函數(shù)不連續(xù)，直接造成了重構(gòu)后的信號(hào)波形產(chǎn)生震蕩.而軟閾值函數(shù)則解決了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的缺陷，使處理后的信號(hào)波形變得平滑且連續(xù)，但由于所得到的小波系數(shù)估計(jì)值與原小波系數(shù)之間存在固有偏差，從而造成重構(gòu)的信號(hào)出現(xiàn)波形失真.

3 改進(jìn)的小波閾值和閾值函數(shù)

3.1 改進(jìn)小波閾值

第二節(jié)內(nèi)容介紹了4種傳統(tǒng)閾值選取規(guī)則，可以發(fā)現(xiàn)上述方法都沒有考慮到噪聲的方差，且對(duì)于每一層分解所用的小波系數(shù)都采用同一閾值估計(jì)，這樣經(jīng)過分解重構(gòu)后的小波信號(hào)會(huì)發(fā)生嚴(yán)重失真.本文在考慮上述問題后，采用改進(jìn)傳統(tǒng)閾值量化規(guī)則的新閾值，其表達(dá)式為

(10)

式(10)中噪聲方差σ由式(9)得到.

σ=median(|cD|)/0.6745，

(11)

其中,cD為處理后的高頻小波系數(shù).

式中λ可隨分解層數(shù)n的變化而發(fā)生改變，滿足自適應(yīng)調(diào)整閾值的條件，使得分解重構(gòu)后的小波信號(hào)得到更好的還原.

3.2 改進(jìn)閾值函數(shù)

由上文分析可知，軟、硬閾值函數(shù)在處理噪聲信號(hào)上均存在缺陷，為此本文改進(jìn)了閾值函數(shù)，使其能夠更好地剔除干擾信號(hào).其數(shù)學(xué)表達(dá)為

(12)

由式(12)可得出新的小波閾值函數(shù)具有以下特征：

(1)該函數(shù)克服了硬閾值在±λ附近存在間斷點(diǎn)的缺點(diǎn)，整體是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

(2)在|wj,k|≥λ區(qū)間內(nèi)，新函數(shù)能夠快速逼近硬閾值函數(shù)，從而改善了軟閾值函數(shù)存在的固有偏差問題.

(3)指數(shù)函數(shù)和調(diào)節(jié)因子的引入使得改進(jìn)后的新函數(shù)自適應(yīng)能力相較于傳統(tǒng)函數(shù)有了很大提升，當(dāng)含噪信號(hào)經(jīng)去噪重構(gòu)后得到的波形毛刺較多不平滑，可以增大調(diào)節(jié)因子a的取值，若情況相反則可減少其取值.

新函數(shù)對(duì)比傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)的圖像如圖4所示.

圖4 3種函數(shù)圖像對(duì)比圖

4 實(shí)驗(yàn)仿真

本文依據(jù)IEEE對(duì)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的定義，利用代數(shù)方程式在Matlab仿真軟件中隨機(jī)生成電能質(zhì)量擾動(dòng)的信號(hào)波形，這里以電壓暫降的擾動(dòng)類型舉例，其數(shù)學(xué)模型為

{1-c[u(t-t1)-u(t-t2)]}sin(w0t)，

c=0.9～1.0，T

(13)

其中:c為電壓幅值.

接下來為原始擾動(dòng)信號(hào)添加SNR為10 dB的高斯白噪聲，信號(hào)的取樣頻率為50 Hz，取樣點(diǎn)數(shù)為1001.其原始信號(hào)以及染噪波形如圖5所示.

圖5 原始及染噪信號(hào)波形圖

為了更客觀地對(duì)比去噪算法的優(yōu)劣，這里引入了信噪比(SNR)以及均方誤差(MSE)作為衡量標(biāo)準(zhǔn).其計(jì)算公式分別為

(14)

(15)

其中：s(i)為原始信號(hào)；y(i)為去噪后的信號(hào).

由式(14)、式(15)可知，若信號(hào)經(jīng)去噪后得到的信噪比SNR值越大，均方根誤差MSE值越小，則說明去噪算法性能越優(yōu)良.

由于在使用小波去噪時(shí)，其小波基的選取以及分解層數(shù)不是自適應(yīng)確定的，這也是小波變換的缺點(diǎn)，這里通過調(diào)用并計(jì)算sym小波基、db小波基以及coif小波基與去噪后信噪比的關(guān)系，經(jīng)過30次試驗(yàn)對(duì)比，結(jié)果顯示最優(yōu)小波基為sym8小波基，其函數(shù)曲線圖如圖6所示.通過比較4種傳統(tǒng)閾值與去噪后信噪比的關(guān)系計(jì)算出最佳分解層數(shù)，經(jīng)過30次仿真實(shí)驗(yàn)，其函數(shù)圖像如圖7所示，可以看出最佳分解層數(shù)為4層.

圖6 小波基和去噪后信噪比的關(guān)系圖

圖7 分解層數(shù)和去噪后信噪比的關(guān)系圖

在確定完最優(yōu)小波基和最佳分解層數(shù)后，開始進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比仿真.這里拿軟、硬閾值函數(shù)與4種傳統(tǒng)閾值相互結(jié)合，得到8種組合結(jié)果，分別仿真出去噪重構(gòu)后的波形，與改進(jìn)后的閾值去噪法相對(duì)比，其仿真結(jié)果如圖8所示.

由圖8可知，9種仿真結(jié)果總體上都能保留大部分有用信息，4種傳統(tǒng)閾值與軟閾值結(jié)合去噪后的效果明顯優(yōu)于硬閾值，從直觀上很難分析出仿真結(jié)果的好壞.接下來針對(duì)這9種去噪方法進(jìn)行定量分析，使用上文介紹過的信噪比和均方誤差作為衡量算法好壞的標(biāo)準(zhǔn)，隨機(jī)生成30組含10 dB高斯白噪聲的信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，取平均值，具體結(jié)果如表1所列.

由表1可以看出，4種傳統(tǒng)閾值與軟閾值函數(shù)結(jié)合的去噪效果在定量標(biāo)準(zhǔn)下是優(yōu)于與硬閾值結(jié)合的，而改進(jìn)后的去噪算法信噪比最高，均方誤差最小，從結(jié)果上看要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的8種算法組合.

表1 9種去噪算法定量比較

5 結(jié)語

小波去噪在一維信號(hào)噪聲處理方面具有廣泛的應(yīng)用.文中在解決擾動(dòng)信號(hào)噪聲問題上較傳統(tǒng)方法具有以下3個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，通過算法可以自適應(yīng)確定最優(yōu)小波基和分解層數(shù)；第二，從MATLAB的仿真結(jié)果上看，改進(jìn)后的去噪算法進(jìn)一步優(yōu)化了傳統(tǒng)算法，不管在圖像還是定量分析上都具有顯著的提高；第三，改進(jìn)后的閾值去噪算法在應(yīng)用于電能擾動(dòng)信號(hào)去噪后能夠較好地保留擾動(dòng)波形的特征信息，從而為后續(xù)研究的擾動(dòng)突變定位、突變幅值以及擾動(dòng)持續(xù)的時(shí)間等提供可靠的研究依據(jù).綜上所述，證明了改進(jìn)后的算法是要優(yōu)于傳統(tǒng)去噪算法.