基于偽譜法的城軌列車虛擬編隊優化控制

張熠雯，李樹凱，楊立興

（北京交通大學，軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044）

0 引言

隨著城市軌道交通出行需求不斷增大，城市軌道交通在大客流及多變環境下面臨巨大的客運壓力[1-2]。車車通信等技術不斷發展，列車虛擬編隊具有列車速度趨同，運行間隔距離小的特征，有效提高了列車既有運行線路的空間利用率。此外，基于滿足高實時性要求的列車虛擬編隊控制策略，虛擬編隊可通過列車的靈活組編及解編實現車流及客流間更好的匹配，使城市軌道交通列車資源得到充分利用。因此，研究基于虛擬編隊技術的列車控制方法對推動智慧城市軌道交通相關技術及運營管理方法的理論發展及應用落地具有重要的實際意義。

虛擬編隊的概念最早在2000 年左右被提出[3-4]，但該領域的進一步研究受到了相關技術的限制。近年來，隨著車車通信技術不斷成熟，虛擬編隊應用于軌道交通系統成為一種可能，學者們對虛擬編隊技術的可行性和虛擬編隊模型等展開了進一步研究。2014 年，歐盟通過S2R 研究計劃，并在先進運輸管理與控制系統創新計劃中提出“虛擬掛聯”相關技術的研究與應用[5]；Joelle等[6]從多個角度分析了虛擬編隊及移動閉塞的相關表現；Nold等[7]分析了虛擬編隊列車對基礎設施和車載設備的需求及兼容性；Schumann[8]研究了不同情況下列車虛擬編隊的運行模式；荀徑等[9]建立了列車跟馳模型；Cao 等[10]設計了一種控制器并結合混合人工勢場法協同控制虛擬編隊列車；劉俊囡[11]設計了列車協同優化方法及列車協同延誤方法。現有文獻探究了虛擬編隊技術的理論及優勢，并研究了虛擬編隊列車運行模型，但對于列車虛擬編隊控制策略，仍缺少相關研究。

為實現虛擬編隊追蹤運行目標，列車追蹤運行曲線的實時計算也至關重要。對于列車運行控制算法，相關學者對該領域已開展了大量研究。Goverde 等[12]對比分析了最大值原理和偽譜法求解列車最優控制問題；Gu 等[13]基于非線性規劃方法提出了一種實時更新的列車節能運行控制策略；Liu 等[14]以節能、準點及乘客舒適度為評價指標，提出了一種改進的多目標粒子群算法求解基于移動閉塞的高速列車運行曲線；Felez 等[15]采用動態規劃計算列車虛擬編隊參考曲線；Li等[16]提出了一種基于交替乘子法的高速列車最優控制方法；Zhou 等[17]針對擾動下的高速電力列車，設計了一種具有雙環結構的實時最優控制算法?，F有文獻對傳統優化控制策略下列車運行追蹤曲線優化進行了大量研究，但虛擬編隊技術下列車運行軌跡需滿足動態生成及實時調整的需求。因此，針對虛擬編隊技術的列車優化控制策略需展開進一步研究。

基于對上述文獻的討論，考慮虛擬編隊內各列車優化目標及安全約束，本文建立了列車虛擬編隊最優控制模型。為實現虛擬編隊內各列車追蹤運行曲線的在線生成與調整，本文采用MPC 算法作為算法框架，將各采樣點下的最優控制問題轉化為多階段最優控制問題，并采用偽譜法進一步將其轉化為離散的NLP 問題求解。通過求解一系列最優控制問題，最終得到列車最優控制序列。最后，對本文提出的模型和方法，結合北京地鐵昌平線進行了仿真與分析。

1 問題描述與建模

1.1 問題描述

根據編組計劃，傳統列車編組按照一定的編掛次序、編掛結構等通過機械掛聯的形式將多車輛聯結。而虛擬編隊采用無線車車通信技術將多輛列車聯結，使各列車以虛擬耦合的形式同步移動。各列車具有較高的自主性，且構成虛擬編隊的多輛列車可看作單列車編隊運行。為達到“編隊”要求，在滿足安全約束的條件下，虛擬編隊內列車在運行過程中速度應盡可能保持一致，間隔距離應盡可能小。

本文研究的每個虛擬編隊由n(n≥2)輛列車組成。圖1 為列車虛擬編隊示意圖。編隊內列車可分領導列車及跟隨列車：領導列車是編隊內第一輛列車；跟隨列車是編隊內領導列車所有后行列車的集合。列車虛擬編隊采用分布式控制。分布式控制通過設置車載控制器來負責編隊內各跟隨列車運行軌跡，僅需考慮該列車及其前行列車運行狀態。此外，領導列車運行軌跡由控制中心計算得到。與集中式控制相比，分布式控制降低了計算空間及時間的復雜度，更易滿足多列車虛擬編隊的高實時性協同控制。

圖1 列車虛擬編隊示意圖

為實現小間隔距離的多車運行，虛擬編隊技術采用相對制動模式進行制動。當列車緊急制動時，虛擬編隊內的后行列車可根據前行列車所傳輸的速度、位置等相關信息進行制動，從而實現相對制動模式下的列車安全防護。而傳統移動閉塞采用絕對制動模式進行制動。絕對制動模式下，基于前行列車傳遞的位置信息，通過令后行列車在到達該位置前完全制動來保證列車運行安全防護距離。當列車虛擬編隊面臨通信失靈等特殊情況或處于較大坡度等特殊路段時，虛擬編隊內列車發生解編，即不再作為一個“虛擬編隊”運行，此時，解編后的列車基于移動閉塞技術以絕對制動模式優化控制列車速度軌跡。

基于虛擬編隊技術，設計列車虛擬編隊優化控制策略，實時生成列車虛擬編隊追蹤運行曲線，發揮虛擬編隊技術優勢，進一步提升城市軌道交通運輸能力。為建立虛擬編隊列車最優控制模型，本文作出以下假設：

（1）站臺長度滿足多列車停站需求，列車自動控制系統滿足信息傳輸高實時性要求。

（2）多列車虛擬編隊運行于單條線路，不考慮運行過程中虛擬編隊內列車在線路交叉處的組編及解編。

（3）忽略列車在運行過程中由天氣、客流等因素引起的相關約束擾動。

1.2 參考速度曲線的最優控制模型

為構建列車給定運行區間內最優控制模型，以時間t為獨立變量，速度v和位置s為狀態變量，控制力u為決策變量，并將列車作為質點，根據牛頓運動學定律，可得到列車運行動態方程：

式中：i=1時，表示領導列車，i=2,3,…,n時，表示跟隨列車；ui為列車i的控制力；τB(vi)為列車i的單位基本阻力，該值取決于列車運行速度；τA(si)為列車i的單位附加阻力，該值取決于列車運行線路條件。

單位基本阻力及單位附加阻力可通過下式計算得到：

式中：α、β、γ為基本阻力系數；fr為坡度阻力；fc為彎道阻力；ft為隧道空氣阻力；κ為軌道坡度的千分數；ρ為彎道曲率半徑；Ls為隧道長度。

列車受到的控制力約束為：

式中：ui,min為列車i的最大制動力，為負值；ui,max為列車i的最大牽引動力，為正值。

在列車實際運行過程中，列車運行受到最大允許速度的限制，最大允許速度與列車運行的線路條件有關。因此，列車運行的速度約束如下所示：

式中：vi,max(s(t))為列車i在時間t時運行至某一位置所對應的最大允許速度。

列車在給定運行區間內運行，起點與終點位置確定，初始與終端速度都為0，則邊界約束為：

式中：t0和tf為給定運行區間列車i的發車時間和到站時間；s0和sf為給定運行區間列車i的起點里程和終點里程。

為縮短發車間隔，提高既有線路運營效率，本文以最小化列車總運行時間為優化目標。因此，得到生成參考速度曲線的最優控制模型為：

式中：TTi為給定運行區間列車i的總運行時間。

該最優控制問題可采用最大值原理或偽譜法離線求解。

1.3 基于MPC框架的虛擬編隊最優控制模型

MPC 算法將問題的有限時域分為若干子時域，各控制步驟下可得到預測時域Tp內的最優控制問題?；跐L動時域，結合實際情況不斷更新列車的狀態信息，重復計算一系列最優控制問題，最終可得到列車運行的最優控制序列。利用MPC算法，只需求解預測時域內的最優控制問題，減小了計算復雜度，且能夠根據實況信息對初始輸入值進行實時更新與動態反饋。

1.3.1 虛擬編隊最優控制模型

根據列車參考速度曲線，設置列車運行時間區間為[T0,TH]?；贛PC 算法，對于給定運行區間，考慮列車虛擬編隊實時控制要求，設置離散點[T0,T1,…,Th,…,TH]，將區間運行時間離散為H個階段，各階段對應時間區間為[Th-1,Th]，采樣時間間隔為ΔT。不同階段的相關參數及約束需根據各階段初始狀態信息、狀態變量預測值以及最大限速曲線來確定。令當前采樣點對應控制步驟為h。

在控制步驟h，輸入列車狀態信息初始值為：

對于預測時域端點，各列車狀態變量受到邊界約束：

此外，由于虛擬編隊領導列車及跟隨列車優化目標及需要考慮的安全約束有所不同，因此，領導列車及跟隨列車具有不同的最優控制模型。

(1)領導列車最優控制模型

本文旨在通過虛擬編隊技術縮短列車發車間隔，因此，對于領導列車i=1，給定參考速度曲線，令領導列車追蹤參考速度曲線運行。在控制步驟h，預測時域內領導列車最優控制模型為：

(2)跟隨列車最優控制模型

對于跟隨列車i=2,3,…,n，由于跟隨列車需根據前行列車狀態信息實時追蹤運行，因此，在控制步驟h，跟隨列車應考慮的安全距離約束為：

式中：d0為相鄰列車間的最小安全距離；和分別為在控制步驟h，列車i的前行列車i-1 在上一控制步驟預測得到的預測時域終端時刻Th+Tp-1的位置及速度；Li-1為列車i-1 的長度。式(12)表示在預測時域內，相鄰列車在運行過程中能夠保證最小安全距離。式(13)表示當列車i-1 以最大制動加速度ai-1制動時，列車i以最大制動加速度ai進行制動，制動過程中任何時刻都能夠滿足安全距離，進一步保證了列車運行安全性。

跟隨列車需在滿足相關約束的條件下，追蹤前行列車運行速度，減小與前行列車的間隔距離，使n輛列車組成一個有效的虛擬編隊。因此，在控制步驟h，得到預測時域內跟隨列車最優控制模型為：

式 中：dref為相鄰列車參考間隔距離為列車i與前行列車i-1 的實際間隔距離；ζi,v為列車i與前行列車i-1 間速度偏差的權重；ζi,d為參考間隔距離和相鄰列車實際間隔距離偏差的權重。

1.3.2 閉環控制

在當前采樣點，對應控制步驟h，給定列車運行狀態初始值通過列車運行動態方程更新狀態變量并求解預測時域Tp內的最優控制問題，可得到預測時域Tc內的列車最優控制序列及狀態變量預測值將控制時域Tc內的列車最優控制序列應用于列車控制系統，并結合實際情況更新下一控制步驟h+1 的列車初始狀態信息，由此完成一次閉環控制?；跐L動時域，求解一系列預測時域內的最優控制問題，可得到運行區間有限時域的列車最優控制序列。MPC框架下列車最優控制過程如圖2所示。

圖2 基于MPC框架的列車最優控制示意圖

2 算法求解

考慮列車運行區間內不同階段下參數或約束不同，因此，預測時域內的最優控制問題可轉化為多階段最優控制問題。對于多階段最優控制問題，可采用偽譜法進行求解。

Radau 偽譜法(RPM)利用Legendre-Gauss-Radau(LGR)配置點對各階段進一步離散得到多個子階段，并采用全局插值多項式近似最優控制問題的狀態變量、控制變量以及協態變量，從而得到離散的NLP問題并進行求解[18]。RPM 具有較高的精度及計算收斂速度，在實時優化控制方面具有廣泛的應用前景[19-20]。

2.1 多階段最優控制問題

基于1.3 內容，將區間運行時間離散為H個階段。在控制步驟h，第k個階段所對應的區間為[Tk-1,Tk]。為便于模型中符號的理解，將其表示為，k=h,…,h+Tp-1。則在控制步驟h的第k個階段，列車運行動態方程(1)，路徑約束(4)、(5)和(11)可重構為：

與安全距離相關的預測時域終端約束(13)可轉化為如下形式，該約束也稱作事件約束：

此外，第k個階段的邊界約束為：

式(20)、(21)表示預測時域內第k個階段列車i的狀態變量初始約束。在當前控制步驟h，初始值為輸入值。式(22)、(23)為預測時域內第k個階段列車運行速度及位置的終端約束。

此外，為保證預測時域內各階段列車狀態變量的連續性，考慮如下連接約束：

綜上所述，在當前控制步驟h，預測時域內領導列車的多階段最優控制模型為：

以及當前控制步驟下預測時域內跟隨列車的多階段最優控制模型為：

2.2 Radau偽譜法

首先，對于預測時域內第k個階段，對獨立變量進行轉化：

式中：ξ為新的獨立變量，且由式(27)可知，ξk(t)∈[-1,1]。

則t(ξk)可由下式表示：

令列車i第k個階段的狀態變量列車運行動態方程則基于R+1 個LGR 配置點可采用全局拉格朗日插值多項式近似狀態變量

基于離散后狀態變量及控制變量在各配置點的數值近似，第k個階段的列車運行動態方程(15)可由多項式的微分近似表示：

此外，在控制步驟h的第k個階段，領導列車及跟隨列車所包括的路徑約束(16)～(18)轉化為：

同樣地，事件約束(19)重構為：

邊界約束(20)～(23)可轉化為第1 個和第R+1個配置點的約束：

各階段間的連接約束(24)轉化為以下形式：

綜上所述，將預測時域內領導列車最優控制模型離散并轉化，得到如下NLP問題：

同樣地，預測時域內由配置點離散得到NLP形式的跟隨列車最優控制問題為：

2.3 算法流程

基于上述內容，求解MPC 框架下基于偽譜法的列車虛擬編隊最優控制問題主要算法流程圖如圖3所示。

圖3 基于偽譜法的列車虛擬編隊最優控制問題算法流程圖

3 仿真驗證

3.1 算例描述

以北京昌平地鐵線全線為例，依據11 個運行區間相關數據，設置地鐵列車虛擬編隊運行的基本場景進行仿真驗證。對于由多輛列車組成的虛擬編隊，除領導列車外，各列車同其前行列車的最優控制模型與方法和領導列車及其后一輛跟隨列車所采用的最優控制模型與方法一致。因此，本文以2 輛地鐵列車組成的虛擬編隊為例進行建模與分析。與此同時，為驗證本文所提出的列車虛擬編隊最優控制模型與方法對于提升既有線路運輸能力的有效性，本節對比了虛擬編隊相對制動模式及傳統移動閉塞絕對制動模式下跟隨列車對領導列車的追蹤運行效果。

此外，由于缺少地鐵列車實際的車型及運行參數，因此對相關參數進行假設，在工程應用當中可根據實際需要調整相關參數數值。設置模型中相關參數如表1所示。

表1 模型參數

基于線路最大允許速度和模型相關參數，以最小化列車總運行時間為優化目標，離線計算得到領導列車及跟隨列車的參考速度曲線如圖4所示。

圖4 地鐵列車最大限速曲線及參考速度曲線

3.2 結果分析

在操作系統為Windows 10，CPU 為Intel(R)Core(TM) i5-6300HQ CPU，運行內存為4.0GB 的64 位計算機上，調用MATLAB R2020a GPOPS 對地鐵列車虛擬編隊最優控制問題進行仿真驗證。

當ζv:ζd=1 時，分別求解虛擬編隊領導列車和相對制動模式及移動閉塞絕對制動模式下跟隨列車追蹤運行曲線，仿真結果如圖5(a)～(d)所示。

圖5 虛擬編隊領導列車及跟隨列車運行曲線

由圖5(a)、(b)和(c)可以看出，虛擬編隊相對制動模式下跟隨列車與領導列車的速度曲線幾乎保持相同，且與領導列車相比，跟隨列車可在無時間延遲的條件下到達運行終點。對于移動閉塞，跟隨列車的速度曲線在初始加速階段及制動階段存在波動，且該制動模式下列車的平均運行速度小于領導列車及虛擬編隊相對制動模式下跟隨列車的平均運行速度。因此，絕對制動模式下跟隨列車到達運行終點具有較大的時間延遲，達101.0 s。此外，由圖5(d)可以得到，虛擬編隊相對制動模式下地鐵列車最大運行間隔距離為65.48 m，顯著小于絕對制動模式下地鐵列車最大運行間隔距離231.86 m。因此，與移動閉塞絕對制動模式相比，相對制動模式下地鐵列車虛擬編隊具有更短的運行間隔距離和到達運行終點的時間延遲，有效提高了既有線路的空間利用率。此外，求解預測時域內最優控制模型所需時間為0.10～1.01 s，平均運行時間為0.287 s，小于控制時域Tc 對應的時間周期2 s，滿足列車虛擬編隊最優控制的實時性要求。

此外，不同權重比下跟隨列車追蹤運行曲線不同，如圖6 所示。在領導列車開始減速之前，不同權重比下的跟隨列車具有相同的運行曲線。這是由于在當前考慮的既有線路條件下，根據最大允許速度曲線及計算得到的參考速度曲線，在滿足相關約束的條件下，跟隨列車以其最大運行速度行駛，可同時滿足速度追蹤偏差及運行間隔距離最小。因此，當前條件下權重比不影響這一階段內跟隨列車的追蹤運行曲線。當領導列車進入減速區間，不同權重比下虛擬編隊相對制動模式所生成的跟隨列車運行追蹤曲線不同。ζv:ζd=1000 時，跟隨列車與領導列車間的最小運行間隔距離為22.00 m；ζv:ζd=1 時，跟隨列車與領導列車間的最小運行間距為12.69 m。權重比越小，跟隨列車開始制動的時間越遲，對應階段跟隨列車與領導列車間的間隔距離越小，區間內列車的運行時間越短，相應地，以領導列車達到運行終點的時間為基準，跟隨列車到站時間延遲也減小。由此可知，隨著權重比減小，跟隨列車追蹤領導列車組成虛擬編隊的整體性有所降低，但既有線路的運輸能力略有提高。同時，由于列車運行間隔距離小，對列車的安全性要求也更高。

圖6 不同權重比下虛擬編隊跟隨列車運行追蹤曲線（區間1）

4 結束語

對于城市軌道交通列車虛擬編隊問題，具有實時性的列車運行優化控制策略至關重要。本文以最小化列車總運行時間為優化目標，構建了列車虛擬編隊參考速度曲線最優控制模型。針對領導列車及跟隨列車，構建了兩類MPC 框架下的列車最優控制模型以及多階段最優控制模型，并采用RPM 將多階段最優控制模型進一步離散得到NLP 問題進行求解，得到實時生成及動態調整的城市軌道交通列車虛擬編隊運行追蹤曲線。以北京地鐵昌平線為例，驗證了本文提出的城市軌道交通列車虛擬編隊優化控制策略能夠顯著提升既有線路的運輸能力。本文針對高速小間隔下運行的虛擬編隊列車，設計了一種能夠滿足高實時性要求的列車優化控制策略，為智慧城市軌道交通運營的智能控制技術發展提供了方法支撐，具有重要的實際應用價值。

此外，本文只考慮了單條線路及確定性列車動態模型下的列車虛擬編隊優化控制策略，對于復雜線路網絡以及復雜運行條件下如何針對具有不確定性的列車虛擬編隊系統來設計優化控制策略需展開進一步研究。