“分區”與“契合”思想求解半空間含凸起地形對SH波散射問題的研究進展

屈恩相，齊 輝，郭 晶，楊 杰，鄭 易

(1.齊齊哈爾大學 建筑與土木工程學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.上海電機學院 機械學院，上海 201306)

自然界中存在著不同種類的地形，地形對地面運動的影響是地震工程學中重要的研究課題。關于地形變化主要可以分為凸起和凹陷兩種不同形式的地形，分析其地形的方法主要包括解析法和數值法兩種。在解析法的應用上，科研人員常常采用波函數展開法、Green法、復變函數法、多極坐標法等研究凸起與凹陷相關地形對SH波的散射問題。對于含凸起地形問題的研究要比凹陷地形復雜的多，凸起地形的研究對于地震工程學來說具有重要的研究價值和意義?！胺謪^”與“契合”的思想應用十分廣泛，比如界面復合缺陷問題與其他缺陷相互作用[1-4]、等值線圖的局部精確性評價[5]、地鐵列車振動誘發的層狀地基振動問題[6]、沉積盆地對地震波的散射問題[7]、SV波入射下隧道山體問題[8]、qP波入射橫觀各向同性場襯砌隧道問題[9]以及橫觀各向同性介質沉積谷地對平面qP和qSV波的散射問題[10]、任意多個凸起地形對平面P波的散射問題[11]、彈性半空間中半圓隧道對波場散射問題[12]、梯形凸起地形與淺埋夾雜之間的相互作用[13]以及半空間凸起地形缺陷[14-41]等方面都有應用。文中論述的半空間凸起地形缺陷主要包括圓弧形凸起、等腰三角形凸起、非等腰三角形凸起等等或者是孔洞、襯砌、夾雜與凸起地形相互作用的組合缺陷形式，例如凸起與圓孔問題、凸起與“隱蔽地形”問題、凸起附近淺埋襯砌問題、凸起與淺埋裂紋問題、凸起與凹陷相連問題；求解的區域又可分為全空間、半空間及直角域等等，該類問題又可以與多種缺陷形式相結合；含多種缺陷組合而成的介質還可以分為均勻的、非均勻的、各向同性、各向異性，等等。

研究含凸起地形對SH波散射問題時，需要將求解區域進行分解。這將會導致需要對混合邊值問題進行處理，使得該問題的解析解更為困難。應用“分區”與“契合”思想可以有效的避免混合邊值問題帶來的麻煩，“分區”的思想是用一種全新的方法對含凸起地形散射問題研究，將問題轉化為滿足公共邊界“契合”的邊值問題。

1 求解SH波入射純凸起地形的散射問題

半空間的純凸起地形問題可以分為圓弧形凸起、等腰三角形凸起等等，或者是凸起的組合缺陷形式。與凹陷問題相比含凸起地形問題的研究更為復雜，波函數展開法求解該類問題會涉及混合邊值問題。

袁曉銘[14-15]等人通過引入輔助函數和Graf加法公式解決了圓弧形凸起所帶來的混合邊值問題的困難，得出小高寬比凸起地形對地面運動的放大和空間分布有影響的結論。崔志剛[16]等人使用“分區”與“契合”方法，求解了圓弧形凸起地形對SH波散射問題。理論模型如圖1所示，地表S和界面C滿足應力為零，其余邊界應力任意?；镜那蠼馑枷肴鐖D2所示，將模型分成兩個求解區域，即“分區”思想。區域I是包含弧形邊界在內的C和C，區域Ⅱ是包含水平邊界S和C挖掉余下的S所組成?！捌鹾稀彼枷胧菍⑦吔鏢和C在公共邊界滿足位移連續和應力連續的條件?！胺謪^”與“契合”思想有效地解決了圓弧形凸起的地形問題，將其轉化為只需滿足公共邊界契合條件的問題。Zhang[17]利用“分區”與“契合”思想求解了彈性半空間中非均勻山丘對SH波散射問題。模型如圖3所示，區域分解圖如圖4所示。模型分為兩個區域。區域Θ是包括圓形山丘的圓形區域，其中上邊界和下邊界分別表示為L和L；區域D形成了其余的半空間。區域Θ和D的共同邊界是L，水平邊界用L表示。將復雜模型劃分為兩個完全獨立的圓形區域和含有凹陷直邊界區域，再結合兩個區域間位移和應力的連續性可以推導出原模型的邊界條件。曹欣榮[18]等人使用“分區”與“契合”思想，求解了任意形狀凸起對SH波的散射問題。與崔志剛[16]不同的是使用保角映射思想將區域Ⅰ外域映射為單位圓域，引入了映射函數。該方法求解高寬比過小或者有尖角的凸起地形有限制，需要另尋其他路徑解決。邱發強[19]等人使用“分區”與“契合”求解了等腰三角形凸起的理論模型如圖5所示；運用“分區”的思想先將理論模型分成兩個區域輔助問題，區域分割圖如圖6。區域Ⅰ是包含等腰三角形的夾雜凸起，區域Ⅱ是整個理論模型挖去區域Ⅰ余下的部分。理論模型邊界地表S和界面C滿足應力為零。區域Ⅰ在邊界D構造駐波解，區域Ⅱ中D的總波場由入射波、反射波、散射波所構成。在公共邊界進行契合，公共邊界D和D位移和應力都連續。Lin[20]等人研究了斜三角形山丘地形對SH波的散射問題。帶有斜三角山丘地形為區域Ⅰ，余下含有凹陷地形為區域Ⅱ。在區域Ⅰ中構造了一個駐波函數，該駐波函數在三角形楔塊處滿足零應力條件。在區域II中構造散射波函數，該散射波函數在水平面處滿足零應力條件，在兩個區域公共交界面滿足位移和應力連續條件。杜永軍[21]等人展開了對雙等腰三角形凸起地形對SH波散射問題的研究，使用“分區”與“契合”思想求解了雙等腰三角形凸起的理論模型；運用“分區”的思想先將理論模型分成三個區域輔助問題，兩個帶有半圓形弧線的等腰三角形夾雜凸起為區域Ⅰ和區域Ⅱ，余下含有兩個半圓形凹陷的地形為區域Ⅲ。運用“契合”思想在公共邊界進行契合裝配，滿足公共邊界上位移和應力連續。杜永軍[22]等人又進行了等腰三角形凸起地形與半圓形凹陷地形相互作用對SH波散射問題的研究。運用“分區”的思想先將理論模型分成三個區域輔助問題，半圓形弧線的等腰三角形夾雜凸起為區域Ⅰ，圓形夾雜為區域Ⅲ，余下含有兩個半圓形凹陷的地形為區域Ⅱ。運用契合思想在公共邊界進行契合裝配，滿足公共邊界上位移和應力連續。

圖1 圓弧形凸起地形模型

圖2 區域分割圖

圖3 彈性半空間中非均勻山丘地形模型

圖4 區域分割圖

圖5 等腰三角形凸起地形模型

圖6 區域分割圖

“分區”和“契合”關鍵思想在求解純凸起類地形對SH波散射問題具有關鍵作用，首先將該類地形模型進行分區，分成若干個輔助問題，構造滿足各個部分波場的條件。契合是將分成的若干區域在公共邊界進行裝配，分別滿足應力和位移連續性條件。這樣“分區”和“契合”思想有效的避免了求解混合邊值問題的影響。

2 求解SH波入射凸起與凹陷地形的散射問題

凸起與凹陷地形相互作用在自然界廣泛存在，在修建高鐵時，通常會經過山峰與河谷相連的地形。凸起與凹陷地形主要包括圓形凸起與凹陷、三角形凸起與凹陷、凸起與沉積谷地等問題；“分區”與“契合”關鍵思想在求解SH波入射該類地形問題時也有應用。

呂曉棠[23]等人采用“分區”與“契合”方法求解了半圓形凸起與凹陷地形相連的地震動問題，理論模型如圖7，區域分割圖如圖8所示。分區是將理論模型分解成兩個區域問題，含有圓形夾雜為區域Ⅰ，余下含有兩個凹陷地形為區域Ⅱ；地形邊界中S、C、S2應力為零。區域Ⅰ需要構造滿足上半圓形凸起應力為零，其余位移、應力為任意駐波。區域Ⅱ利用復變函數法、多極坐標法構造其相應的散射波、反射波和入射波場；契合思想是將公共邊界S1上位移和應力連續進行裝配。楊在林[24-26]等人對等腰三角形凸起、非等腰三角形凸起與半圓形凹陷地形相連問題進行研究，采用“分區”與“契合”關鍵思想進行處理。將三角形凸起夾雜地形分成兩個輔助問題，區域Ⅰ和區域Ⅲ，余下含有半圓形凹陷地形為區域Ⅱ。水平邊界S和斜邊界C滿足應力自由條件，“契合”思想表現在區域Ⅰ和區域Ⅱ，區域Ⅲ和區域Ⅱ的公共邊界D1和D3進行裝配，滿足位移連續、應力連續。帶有半圓形沉積谷地地形也同樣可以使用“分區”與“契合”思想，呂曉棠[27]等人研究了半圓形凸起與沉積谷地相連地形問題。理論模型如圖9所示，區域分割圖如圖10所示。邊界S和C滿足應力自由，沉積谷地S2滿足應力、位移連續條件。“分區”是將模型分成三個輔助問題，分別是區域Ⅰ、區域Ⅱ、區域Ⅲ，分別構造滿足各自的波場。在公共邊界進行契合，S1邊界上滿足圓形夾雜駐波與SH入射波、反射波以及S1和S2邊界的散射波位移和應力連續。

圖7 半圓形凸起和凹陷相互作用理論模型

圖8 區域分割圖

圖9 半圓形凸起與半圓形沉積谷地相連地形模型

圖10 區域分割圖

對于沉積地形部分同樣也滿足契合條件。韓峰[28-29]等人研究了半圓柱形峽谷與三角形山丘相連地形及多個凸起與凹陷相連的地形問題。“分區”思想是將模型分解成兩個求解區域。包含三角形山丘地形為區域為Ⅰ，余下帶有半圓形凹陷地形為區域Ⅱ。使用復變函數法和多極坐標法構造區域Ⅰ、區域Ⅱ滿足的邊界條件。利用“契合”思想，在公共邊界S1和S2進行裝配，在公共邊界上滿足位移和應力連續條件。雙等腰三角形凸起與半圓形凹陷地形模型如圖11所示，區域分割圖如12所示?！胺謪^”思想是將模型分解成三個求解區域。雙等腰三角形的求解區域為Ⅰ和Ⅲ，余下帶有半圓形凹陷地形為區域Ⅱ。使用復變函數法和多極坐標法構造區域Ⅰ、區域Ⅱ、區域Ⅲ滿足的邊界條件。利“契合”思想，在公共邊界S1和S3進行裝配。

圖11 雙等腰三角形凸起與半圓形凹陷地形模型

圖12 區域分割圖

“分區”與“契合”關鍵思想在求解凸起與凹陷相連地形問題上有廣泛應用，“分區”思想是將地形分成若干個凸起與凹陷的區域，分別構造滿足各自的波場。“契合”思想將分成區域的若干公共邊界進行裝配，需要說明原模型中存在凹陷部分不需要進行裝配，只需滿足公共邊界滿足應力和位移連續性條件。

3 求解SH波入射孔洞、襯砌、夾雜、裂紋與凸起地形相互作用的散射問題

“分區”與“契合”思想在處理半圓形凸起與圓形孔洞問題、半圓形凸起與圓形襯砌問題、淺埋圓孔與多個半圓形凸起地形相互作用問題、孔洞與三角形凸起地形、多個淺埋圓形孔洞與多個含孔半圓形凸起地形上有關鍵作用。

李彤[30]等人對含圓形孔洞的半圓形凸起問題進行研究，理論模型如圖13，區域分割圖如14所示。半圓形孔洞問題與半圓形凸起不同，半圓形凸起是將區域分成圓形夾雜部分和半圓形凹陷部分。圓形空洞問題是分解成圓環部分和半圓形凹陷部分，所滿足的邊界條件有所不同。分區和契合作為關鍵思想求解該類問題，分區是將模型分解成兩個區域，分別是有圓環的區域Ⅰ和有凹陷部分為區域Ⅱ。理論模型邊界S和C滿足應力為零，對于圓環區域的上部分C也應滿足應力為零，其余邊界應力任意。區域Ⅱ所構造的波場有入射波、反射波、散射波。在公共邊界進行契合，問題轉化為區域Ⅰ存在的駐波在公共邊界與區域Ⅱ波場所滿足的條件裝配。李敏[31-33]在李彤[30]的基礎上增加了單個圓形孔洞[31]、多個圓形孔洞[32]、多個圓孔的半圓形凸起與多個圓形孔洞[33]，同樣采用了“分區”與“契合”的思想。分區是將模型分成兩個區域，分別是含有圓環的區域Ⅰ和余下還有凹陷與圓形孔洞相互作用的區域Ⅱ。邊界S、C以及圓孔滿足應力為零，其余邊界應力自由。在公共邊界進行契合，滿足位移連續和應力連續的條件。李敏[32-33]在研究中發現類似使用了“分區”與“契合”思想，兩者分區中的區域Ⅰ都是圓環形，所不同的是區域Ⅱ波場的構造，包括多個孔洞相互作用，反射與散射波場要更為復雜，在公共邊界契合時同樣滿足應力與位移連續性條件；另外，其在研究中還發現相同的是區域分割圖中的區域Ⅱ，所不同的是區域Ⅰ，包含的是多個圓環形，需要構造每一個不同圓環所滿足的波場。區域Ⅰ中每一個圓環都要在公共邊界上進行裝配，契合都應滿足每一個公共邊界部位的應力和位移連續的條件。

圖13 含圓形孔洞的半圓形凸起模型

圖14 區域分割圖

劉殿魁[34]等人對半圓形凸起附近的淺埋圓孔問題進行研究，對于該類問題“分區”與“契合”方法有效地進行解決。理論模型如圖15所示，區域分割圖如圖16所示。該地形分區成兩個區域，圓形夾雜為區域Ⅰ，余下半圓形凹陷與附近圓形孔洞為區域Ⅱ。邊界S和C邊界條件應力為零，區域Ⅰ半圓形凸起地形上半部分應力為零而其余部分位移、應力均為任意駐波，區域Ⅱ中要考慮“公共邊界”和地下孔洞所產生的散射波，并滿足水平界面上應力為零的邊界條件。該問題轉為只需要滿足“公共邊界”上的“契合”條件和地下孔洞邊界條件的邊值問題。杜永軍[35]等人在凸起的地形基礎上增加圓形襯砌結構，進一步豐富了復雜缺陷形式存在對SH波散射的影響。地形模型如圖17所示，區域分割圖如圖18所示?！胺謪^”思想是將模型分成三個區域，分別是圓形夾雜區域Ⅰ、含有半圓形凹陷區域Ⅱ、圓形襯砌結構為區域Ⅲ。“契合”思想是將區域Ⅰ和區域Ⅱ在公共邊界進行裝配，滿足位移和應力連續性條件。圓形襯砌結構與圓形夾雜、圓形孔洞問題的邊界條件有所不同，即區域Ⅲ中T1和T2邊界所滿足的條件有所不同，T1邊界既要滿足位移連續又要滿足應力連續，而T2邊界只需要滿足應力為零條件。劉剛[36]等人對等腰三角形凸起地形與圓孔作用進行研究，分區是將求解模型分割成兩個區域，區域Ⅰ是由半圓形弧和等腰三角形組成，區域Ⅱ是其余部分。在區域Ⅰ中構造一個滿足等腰三角形兩斜邊上應力自由的駐波函數，在區域Ⅱ中構造出半圓形凹陷和淺埋圓孔的散射波并滿足水平界面上應力為零的邊界條件。利用復平面下坐標移動，滿足公共邊界的位移和應力連續和淺埋孔洞內邊界應力自由條件。

圖15 半圓形凸起與圓孔相互作用地形模型

圖16 區域分割圖

圖17 半圓形凸起與襯砌相互作用地形模型

圖18 區域分割圖

對于多個半圓形凸起與圓形孔洞相互作用問題，也可以采用“分區”與“契合”的思想進行處理。杜永軍[37]等人使用“分區”與“契合”求解了多個凸起地形與淺埋孔洞相互作用的理論模型；運用“分區”的思想先將理論模型分成兩個區域輔助問題。區域Ⅰ是包含多個圓形夾雜，區域Ⅱ是整個理論模型挖去區域Ⅰ余下的部分。Lv[38]在淺埋圓柱形彈性夾雜附近多個半圓形凸起地形上進行延伸，同樣使用了“分區”和“契合”的思想。理論模型如圖19所示，區域分割圖如圖20所示?！胺謪^”是將模型分成區域Ⅰ和區域Ⅱ，區域Ⅰ是包括多個圓形夾雜所組成、區域Ⅱ是余下部分。Lv[38]與杜永軍[37]所不同的是區域Ⅱ中圓形孔洞與圓形夾雜滿足的邊界條件有所不同。圓形夾雜邊界條件需要滿足應力和位移連續性條件，而圓形孔洞滿足應力自由。Lv[39]等人對半圓形山丘和半圓形峽谷對淺埋隧道影響的動力分析問題進行研究。該類問題理論模型如圖21所示，運用“分區”和“契合”思想對二維平面模型進行分解如圖22所示。“分區”是將模型分解成兩個區域，分別是凸起地形為區域Ⅰ，余下部分為區域Ⅱ。運用“分區”與“契合”思想有效地避免求解混合邊值問題，只要滿足公共邊界契合問題即可。Lv[40]對SH波作用下含裂紋與半圓形凸起地形的地震動問題進行研究。分區是將求解區域分成兩個部分包括半圓形凸起在內的圓形區域為區域Ⅱ，余下部分為區域Ⅰ。契合是在兩個區域的公共邊界進行裝配，滿足位移和應力連續性條件。

圖19 多個半圓形凸起與圓柱形彈性夾雜相互作用地形模型

圖20 區域分割圖

圖21 半圓形山丘與峽谷相連附近淺埋隧道理論模型

圖22 區域分割圖

張海[41]等人結合“分區”和“契合”思想研究半圓形山嶺襯砌隧道對SH波散射的影響，理論模型如圖23所示。運用分區的方法將理論模型分成四個區域，分別如圖24所示。第Ⅰ區域是由上部L和下部L組成的外邊界與上部L1和下部L組成的內邊界共同形成的圓環形Θ域；第Ⅱ區域是上部L1和下部L組成的外邊界與由上部L2和下部L2組成的內邊界共同形成的環形Ω域；第Ⅲ區域是上邊界地表L3與所圍成的半圓形Λ區域。第Ⅳ區域是余下的含有半空間凹陷的D區域。契合思想是將每個區域相連的公共部分進行裝配，滿足應力和位移連續。第Ⅰ區域與第Ⅱ區域的公共邊界是L1和L1；第Ⅱ區域和第Ⅲ區域的公共邊界是L；第Ⅳ區域和第Ⅰ區域的公共邊界是。邊界L、Г、L2、L3應力為零。“分區”和“契合”的思想有效地求解了該類復雜多區域的地形問題。從外至內依次分解，然后在公共邊界部分組裝。

圖23 凸起地形中半圓形襯砌隧道理論模型

圖24 區域分割圖

結語

本文對半空間凸起類地形問題進行分析，論述了“分區”與“契合”關鍵思想求解該類問題的應用性研究。該種方法是先分后合的處理辦法，分是將問題模型分成多干個問題求解區域，然后分別處理每一個輔助問題所滿足的條件；合則是將拆分的求解區域在公共邊界進行組裝，分別滿足相應的連續性條件。通過研究“分區”與“契合”思想可以對半空間含凸起類問題進行求解，有效地解決了不同缺陷組合的混合邊值問題，還可以進一步的豐富和推廣到復雜地形、任意形狀或者是不規則的特殊地形問題。