基于Kriging模型的液壓柱塞泵可靠性靈敏度分析*

杜尊令 張義民

(沈陽化工大學裝備可靠性研究所 遼寧沈陽 110142)

柱塞泵因具有高壓、大流量、高效和高可靠性等優點，廣泛用于航空航天、工程機械、機床等領域。在液壓系統中柱塞泵將原動機的機械能轉換為液壓能，為能量轉換裝置，其能量轉換效率很大程度上決定了整個液壓系統的性能及可靠性[1-3]。柱塞泵在設計、制造及運行過程中其工程材料、結構尺寸和運行工況等均具有隨機性[4-6]，致使柱塞泵總效率具有隨機不確定性，確定性的效率分析模型難以準確反映柱塞泵在工程應用中的真實運行狀態，且節能與環保是液壓技術發展的永恒主題，因此開展柱塞泵總效率及可靠性的研究意義重大。

以上研究表明柱塞泵總效率是關于轉速和壓差的高度非線性模型，常用的擬合模型有多項式響應模型、人工神經網絡模型[7]和Kriging 模型[13]。多項式模型對高維強非線性問題的擬合精度較差，人工神經網絡模型所需要的實驗樣本較多，文中采用Kriging 模型擬合柱塞泵總效率。

以上模型多為確定性數值模型，沒有考慮參數隨機性的影響，無法真實反映柱塞泵的實際運行狀態。受內因(設計因素)和外因(環境、負載)等不確定性因素影響，柱塞泵性能參數具有隨機性，采用概率統計理論對柱塞泵進行可靠性研究更加符合工程實際[4-6]。液壓元件和系統的可靠性研究興起于 20 世紀 70 年代，國內外許多學者在不同層面上做了相關的研究工作，取得了許多成果[14-17]。但目前對軸向柱塞泵可靠性方面的研究較少，孫毅剛[18]以摩擦副應力-強度干涉模型為基礎,建立了軸向柱塞泵缸體-配流盤、滑靴-斜盤這兩對關鍵摩擦副的耐磨可靠性設計模型。YIN、YANG等[5,15]采用非概率的方法對水壓柱塞泵的滑靴副、配流副進行了可靠性分析。ZHANG等[16-17]以比功(PV)和強度指標為度量，基于矩量法提出了液壓柱塞泵的典型摩擦副的抗磨損和抗疲勞可靠性模型，并進行了可靠性靈敏度和可靠性穩健設計。上述對柱塞泵可靠性的研究主要集中在單個摩擦副磨損和疲勞可靠性分析，對整個柱塞泵總效率特性的可靠性分析很少涉及。

本文作者對柱塞泵影響效率特性的因素進行全面分析，研究了基于Kriging模型的柱塞泵總效率建模方法，揭示了壓力和轉速對柱塞泵總效率的影響規律；以建立的總效率Kriging模型為基礎，把極限總效率作為可靠性失效判據，分別采用改進的一次二階矩法和Monte-Carlo數值仿真法對柱塞泵總效率進行了可靠性和可靠性靈敏度分析。文中所提方法可推廣至其他液壓泵效率模型的建立及可靠性靈敏度分析。

1 柱塞泵總效率分析

液壓軸向柱塞泵主要由泵軸、斜盤、滑靴、柱塞、缸體和配流盤等部件組成，構成了滑靴-斜盤副、柱塞-缸體副、缸體-配流盤副3對主要摩擦副(如圖1所示)。泵軸在原動機(內燃機或電動機)的驅動下作旋轉運動，帶動缸體與柱塞滑靴組一起旋轉，在斜盤的作用下，柱塞滑靴組在旋轉運動的同時，沿缸體孔軸線作直線往復運動，實現密封腔容積變化；在配流盤吸油腰槽和排油腰槽的作用下，實現吸油和排油的過程。

圖1 斜盤式軸向柱塞泵結構示意

軸向柱塞泵各摩擦副之間相對運動產生的摩擦損失將導致機械效率降低，為減少運動過程中各摩擦副之間的摩擦及功率損失，各摩擦副之間要形成適當的油膜，所形成的油膜間隙勢必造成一定的泄漏損失，從而降低容積效率。如圖2所示，柱塞泵總效率主要由容積效率和機械效率構成。容積效率損失主要是由泄漏損失產生，在柱塞泵中造成容積效率損失主要因素有滑靴-斜盤副、柱塞-缸體副、缸體-配流盤副和滑靴-柱塞球鉸副4對摩擦副的的間隙泄漏損失，油液的壓縮損失和油液物理特性(受溫度影響油液黏度的變化)等；機械效率損失主要是由摩擦損失造成，除上述4對摩擦副的摩擦損失外，還有滑靴-回程盤、軸承和黏性攪拌摩擦等損失。

圖2 液壓柱塞泵總效率特性影響因素

柱塞泵總效率為機械效率與容積效率的乘積，容積效率、機械效率和總效率特性是液壓系統設計和參數選擇的重要依據，也是評價液壓泵性能的重要技術指標。如圖3所示為柱塞泵效率傳送簡圖，主要損失來源于柱塞泵的泄漏和摩擦產生的熱量損失。其容積效率為柱塞泵實際輸出流量Qd與輸出流量Qi之比，容積效率為

圖3 柱塞泵效率傳輸簡圖

(1)

式中：QL為泄漏流量；Vd為柱塞泵排量；ω為缸體轉動角速度。

其機械效率為理論轉矩與實際輸入轉矩之比

(2)

式中：MP為輸入轉矩；ML為損失轉矩；pd為負載壓力；pi為進油口壓力；Δp為進出油口壓力差。

其總效率為柱塞泵輸出的液壓功率與輸入的機械功率之比

(3)

2 Kriging模型

上述柱塞泵總效率模型多是基于不同轉速、不同壓力、不同溫度、不同排量下的試驗樣本數據進行擬合的數值模型，為了獲得全面的柱塞泵效率特性，需要足夠多工況點的樣本試驗數據，這必然耗費大量測試時間，勞動強度大，能源消耗多。擬合數值模型常用的方法有多項式模型、人工神經網絡模型和Kriging模型。Kriging模型作為一種估計方差最小的無偏估計模型，具有全局近似和局部隨機誤差相結合的特點，它的有效性不依賴于隨機誤差的存在，對非線性程度較高和局部響應突變問題具有良好的擬合效果，因此文中采用Kriging模型對柱塞泵總效率模型進行函數近似。

Kriging模型可近似為響應值與自變量之間的關系，為一個多項式和一個隨機分布函數之和，即

(4)

式中：F(x)=[F1(x),F2(x),…,Fm(x)]T為多項式函數；β=[β1,β2,…,βm]T為回歸待定系數；z(x)為服從正態分布的隨機過程，協方差為

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R(θ,xi,xj)

(5)

式中：σ為標準差；R(θ,xi,xj)為2個樣本點之間的相關函數，為相關矩陣。

為了滿足模擬過程的無偏性，根據Kriging理論，隨機響應的估計值為

(6)

當樣本值確定后，利用以上公式就可以確定函數的表達式，基于表達式就可以獲知未知樣本點的響應值。

3 可靠性靈敏度分析

由于不合理的設計制造，惡劣工況下應用，磨損腐蝕等導致的性能退化，柱塞泵均會表現出總效率的降低。因此，可以采用總效率作為柱塞泵的失效判據。根據應力-強度干涉模型，其可靠性極限狀態方程為

g(X)=η-ηlim

(7)

式中：X為基本隨機變量；ηlim為柱塞泵總效率極限值，由JB/T 7043—2006《液壓軸向柱塞泵》[19]，公稱排量為25 mL/r≤V≤250 mL/r時，ηlim≥87%。g(X)具有以下狀態

(8)

其可靠度定義為

(9)

文中采用改進一次二階矩法(AFOSM)[20]，通過將非線性功能函數線性展開近似求得非線性功能函數的可靠度。AFOSM將功能函數線性化的點取在設計驗算點，相對于均值一次二階矩中的均值點，提高了計算的準確度和精確性?；倦S機變量X相對應的設計驗算點為X*，g(X)在X*處泰勒展開取一次相近似為

(10)

其可靠性指標為

(11)

可靠度RAFOSM為

RAFOSM=Φ(βAFOSM)

(12)

式中：Φ(·)為標準正態分布函數。

由于設計驗算點X*事先無法確定，采用迭代法得到可靠指標和設計驗算點的值

(13)

設計驗算點的計算公式為

(14)

可靠度對隨機變量均值和方差的靈敏度為

(15)

(16)

式中：

式中：符號?代表Kronecker積。

將設計參數代入可靠性分析結果和式(15)和式(16)就可獲得液壓柱塞泵的可靠性對基本隨機參數均值和方差的敏感度。

用Kriging模型對柱塞泵總效率進行可靠性靈敏度分析步驟如圖4所示。

圖4 柱塞泵總效率可靠性靈敏度分析流程

4 數值算例

4.1 基于Kriging模型的柱塞泵總效率仿真

仿真所用試驗樣本數據[7]見表1，選用排量為39.57 mL/r的柱塞泵作為建模對象，選取轉速500、1 500、2 500、3 000 r/min分別作為柱塞泵效率的輸入樣本數據，選取1 000、2 000 r/min作為驗證樣本。由式(3)可知，柱塞泵總效率與輸出流量、壓差、輸入轉矩和轉速相關，壓差和轉速為已知量，因此需要分別獲取輸出流量、輸入轉矩與壓差、轉速的對應關系，文中分別采用Kriging模型建立映射關系。

表1 不同工況下的試驗數據

建立后的模型采用轉速分別為1 000和2 000 r/min的試驗樣本數據進行驗證。圖5給出了Kriging模型仿真與試驗的流量對比曲線，兩者最大相對誤差為1.37×10-4，因此Kriging方法建立的流量模型具有較高的精確性。從圖5也可以看出，隨著轉速的增加，柱塞泵輸出流量逐漸增加；隨著壓差的增加，輸出流量逐漸降低。

圖5 仿真與試驗的流量對比

圖6給出了總效率仿真與試驗對比曲線，2種方法的總效率最大相對誤差為1.58×10-3，表明采用Kriging模型建立的流量和轉矩模型具有較高的精度，精確的效率模型有助于在特定工況下優化柱塞泵效率。

圖6 仿真與試驗的總效率對比

從圖6中可以看出，轉速為1 000 r/min時總效率明顯高于2 000 r/min。隨著壓差的增加，摩擦副的油膜厚度將會逐漸增厚，造成間隙泄漏損失增加，致使容積效率逐漸降低；而摩擦副油膜厚度的增加，為摩擦副運行提供了較好的潤滑條件，摩擦轉矩損失降低，從而機械效率逐漸提高?？傂蕿槿莘e效率和機械效率的乘積，因效率值均小于1，所以總效率受兩者較小值的影響較大。因此，隨著壓差的增加，總效率先主要受機械效率影響而逐漸增加，后主要受容積效率影響而逐漸降低，呈先升高后降低的拋物線形式。

基于Kriging模型分別建立的輸出流量、輸入轉矩模型，給出了全面的柱塞泵總效率分布，如圖7所示?？梢钥闯鲭S壓差和轉速的增加，總效率呈先增后降的趨勢，極大值區域出現在低速中壓區域。在高壓低轉速的工況下，總效率主要受容積效率影響，在低壓高速工況下，主要受機械效率影響。因此該方法通過少量的試驗樣本即可獲得全面的柱塞泵總效率，利于柱塞泵在選型過程中能量的高效利用。

圖7 柱塞泵總效率分布

4.2 柱塞泵總效率可靠性靈敏度分析

選取X=[Δpnηlim]T作為極限狀態方程的基本隨機變量，假設各基本隨機變量相互獨立，其概率分布信息見表2。

表2 柱塞泵隨機變量概率分布信息

Monte-Carlo法又稱為隨機數值模擬法，具有直觀、精確、通用性強等特點，隨著模擬次數的增加可以獲得較高的精度，缺點是計算工作量較大，特別是在實際大型復雜機械結構系統中小概率事件發生時很難應用，常被作為標準驗證其他方法的準確性。文中采用Monte-Carlo法對極限狀態方程進行106次抽樣，2種方法得到的結果如下:

βAFORM=2.403 698，RAFORM=0.991 885

βMCS=2.401 635，RMCS=0.991 839

可以看出采用AFOSM法可靠度計算結果與Monte-Carlo法十分接近，2種方法的最大相對誤差為4.6×10-5，AFOSM法計算效率上明顯優于Monte-Carlo法。

將表2中柱塞泵參數代入式(15)和式(16)得到基本隨機變量均值和方差靈敏度，見圖8和圖9?？芍?種方法獲得的靈敏度大小和趨勢基本一致，在此工況下，均值靈敏度和方差靈敏度均為負值，即隨著均值和方差的增大，可靠度降低；絕對值最大的是極限總效率，其次是壓差。

圖8 柱塞泵無量綱均值靈敏度

圖9 柱塞泵無量綱方差靈敏度

為了證實不同工況下靈敏度的變化情況，圖10和圖11分別給出了轉速為1 500 r/min或壓差為20 MPa工況下均值靈敏度隨壓差和轉速的變化情況。圖10中，隨著壓差的增加，摩擦副油膜厚度增加，潤滑條件有所改善，摩擦轉矩損失降低，但間隙泄漏損失增加。在低壓時機械效率快速增長，總效率主要受機械效率影響而升高，可靠性對壓差的靈敏度為正值(正相關)，其值隨壓差增加急劇降低，即隨著壓差均值的增加，可靠度將迅速提高；在中間壓力區域，靈敏度趨近于0，即壓差的均值對靈敏度影響相對較小，趨近于穩健；在高壓時，總效率主要受容積效率的影響呈降低趨勢，可靠性對壓差的靈敏度為負值(負相關)，其值隨壓差增加迅速降低。隨著壓差的增加，轉速的靈敏度一直為負值，但影響程度呈現由大變小再變大的拋物線形式，即低壓時和高壓時轉速均值對可靠性影響較大，在1 500 r/min轉速工況下，降低一定轉速有利于提高可靠度。圖11中，隨著轉速的增加，在壓差為20 MPa工況下，轉速的靈敏度由正值逐漸降低為負值，即轉速對可靠性的影響由正相關逐漸變為負相關，在速度較低時升高轉速，在速度較高時降低速度有利于提高可靠度；壓差的靈敏度一直為負值，影響程度呈現由大變小后變大的拋物線形式，在壓差為20 MPa工況下，降低壓差有利于提高總效率可靠度。因此隨機變量對柱塞泵總效率可靠性影響依賴于運行工況，不同工況下靈敏度具有較大差異。

圖10 柱塞泵均值靈敏度隨壓差變化曲線

圖11 柱塞泵均值靈敏度隨轉速變化曲線

5 結論

(1)首次采用Kriging模型擬合了液壓柱塞泵輸出流量和輸出轉矩與轉速和壓差之間的映射關系，建立的總效率模型具有較高的精度，模擬結果可以獲取全面的柱塞泵效率特性。

(2)分別采用AFOSM法和Monte-Carlo法獲得了不同工況下的可靠性靈敏度，結果表明，在壓差為20 MPa、轉速為1 500 r/min工況下，壓差和轉速均值對總效率可靠性的影響均為負值，且壓差對可靠性的影響較大，即該工況下降低壓差和轉速有利于提高總效率可靠度；不同運行工況下柱塞泵總效率可靠性靈敏度差異較大，甚至正負值可能發生改變，因此在優化設計時要重視運行工況的影響。